回溯“基點” 展開過程

倪志敏

《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理?！边@里指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供有效的思維線索，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，從而深入理解所學(xué)知識，獲得更具啟示意義的思維靈感。由此，我認為，要發(fā)展“四基”教學(xué)，必須注重過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一。下面，我結(jié)合“用字母表示數(shù)”一課的教學(xué)來談?wù)勛约捍譁\的看法。

“用字母表示數(shù)”是“代數(shù)學(xué)”的一個基本特點。從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示一定范圍內(nèi)的任意一個數(shù)，從用數(shù)字算式表示具體的數(shù)量關(guān)系到用含有字母的式子表示一般的數(shù)量關(guān)系，反映了人的思維從特殊到一般、從具體到抽象的飛躍。由于提高了學(xué)生抽象思維能力的要求，所以從學(xué)生的知識層面上來說，本課教學(xué)無疑顯得格外重要。

一、尋根溯源，探尋字母教學(xué)的“基點”

表示數(shù)的符號叫做數(shù)字，且我們早已習慣用0、1、2……這些阿拉伯數(shù)字來表示數(shù)。有了這些數(shù)字和十進制計數(shù)法，就可以表示出任何一個自然數(shù)，以及數(shù)概念擴展后的其他的數(shù)。那我們?yōu)槭裁催€要學(xué)習用字母表示數(shù)呢？仔細閱讀教材后，我發(fā)現(xiàn)教材以小棒圍圖形為素材，直接類推出用含有字母的式子表示小棒的根數(shù)，但關(guān)于用字母表示數(shù)的可行性，教材中沒有一字說明。

“一個數(shù)學(xué)教師究竟應(yīng)該有什么樣的數(shù)學(xué)功底，對數(shù)學(xué)知識有什么樣的思想認識……什么樣的數(shù)學(xué)教師才能使學(xué)生懂得并追求嚴謹科學(xué)的規(guī)律或要求呢……要注重對數(shù)學(xué)的原理、道理、科學(xué)方法、智慧思考的發(fā)掘，并將這些貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，使學(xué)生從數(shù)學(xué)中獲取盡可能多、盡可能大的思想力量。”于是，我決定尋根溯源。查閱一至三年級教材后，我發(fā)現(xiàn)教材在編排上對于這一知識做到了早期蘊伏、逐步滲透。如一年級“求未知數(shù)”一課中的7+（ ）=10，二年級“用乘法口訣求商”中的□×8=56，三年級用字母表示長方形和正方形的面積計算公式，四年級上冊用字母表示運算律……至此，我心中的疑惑終于得到了解釋，原來教材中的這些蘊伏、滲透，除讓學(xué)生逐步感受到數(shù)字外，還可以用某種圖形或符號表示參與運算的數(shù)。既然字母也是一種符號，為什么不能用字母來表示數(shù)呢？基于以上對各冊教材的解讀，我在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時設(shè)計如下。

教學(xué)片斷1：

（1）回憶用數(shù)字表示數(shù)。

師（出示）：這表示多少？

師（再出示）：這表示多少？

師（小結(jié)）：看來，同學(xué)們早就學(xué)會了用0、1、2……9這些阿拉伯數(shù)字來表示數(shù)。

（2）回憶用圖形或某種特殊的符號表示數(shù)。

師[出示7+（ ）=10、△+△=10]：在一二年級，我們還見過這樣的式子，這里的括號中填幾？這里的三角形符號中填幾？你是怎么知道的？

師（小結(jié)）：你們看，圖形或某種特殊的符號（括號）也可以表示數(shù)。

（3）回憶用字母表示數(shù)。

師（出示“算24點”的6、7、A、10）：那你們知道字母可以表示數(shù)嗎？這里的A表示1。

師（總結(jié)）：我們不僅可以用數(shù)字、圖形或某種特殊的符號來表示數(shù)，還可以用字母來表示數(shù)。今天這節(jié)課，我們就一起來研究用字母表示數(shù)。

……

思考：我循著知識的“基點”，從低年級的認數(shù)到求括號里的未知數(shù)和圖形所表示的數(shù)再到用撲克牌算24點，揭開了教材中早期蘊伏、逐步滲透的用字母表示數(shù)的內(nèi)容的層層面紗，讓學(xué)生在熟悉的場景中喚起記憶，明白用數(shù)字、圖形、符號、字母都可以表示數(shù)。

二、抽絲剝繭，展現(xiàn)字母教學(xué)的過程

教材中的例1教學(xué)用含有字母的式子表示倍數(shù)關(guān)系，例2教學(xué)用含有字母的式子表示相差關(guān)系。由此可見，“用字母表示數(shù)”一課應(yīng)當建立在學(xué)生已經(jīng)理解了四則運算意義的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。但是，還有一些細節(jié)始終縈繞在我的心頭：第一，a個三角形是教材中出現(xiàn)的，這是一個已知量和未知量的問題，已知的可以用一個具體的數(shù)來表示，未知的用什么表示是不是可以由學(xué)生“創(chuàng)造”，而不需要書本“代勞”呢？第二，a在這里代表的是什么數(shù)，教學(xué)中是一帶而過，還是引導(dǎo)學(xué)生細細品味？第三，例2不僅教學(xué)用字母表示數(shù)，而且讓學(xué)生體會用字母表示一個具體的數(shù)時，含有字母的式子就有一個確定的值，這里還蘊伏著用字母表示數(shù)從概括到具體的認識過程，該如何引導(dǎo)學(xué)生探究呢？因此，例題的教學(xué)看似簡單，實則盤根錯節(jié)，在實際教學(xué)中很容易“眉毛胡子一把抓”，陷入“剪不斷，理還亂”的境地。基于以上三個問題的思考，我決定依據(jù)“用什么字母表示數(shù)”“用字母表示什么樣的數(shù)”“字母是否能像數(shù)一樣進行四則運算”三個問題板塊進行教學(xué)。

教學(xué)片斷2：

（1）用26個字母表示一個數(shù)。

師（出示一個儲蓄罐）：老師這兒有一個儲蓄罐，里面放了一些1元錢，請你們猜一猜里面放了多少錢？（學(xué)生猜測）

師：你們能確定儲蓄罐里究竟有多少錢嗎？（不能）那我們該怎樣表示儲蓄罐里的錢數(shù)呢？

師：對你們而言，這里面有多少錢根本不知道，不適合用一個具體的數(shù)來表示，在這種情況下就需要用到字母來表示。剛才這位同學(xué)用字母n來表示，還可以用別的字母來表示嗎？（生答略）

師：也就是說，26個英文字母，用哪一個表示都可以。儲蓄罐里的錢數(shù)，就選用其中的一個字母n來表示。

（2）用一個字母表示任意一個數(shù)。

①師：那么，這個n究竟代表多少錢呢？有辦法確認嗎？

師（把儲蓄罐里的錢倒出來，數(shù)出一共有5元錢）：此時此刻，n表示幾？我們就說n=5。

②師再往儲蓄罐里放進2元錢。

師：此時此刻，n等于幾？

③師把儲蓄罐里的錢全部倒出來，只放進5角錢。

師：此時此刻，n等于幾？0.5還可以寫成分數(shù)，所以n=。看來，字母可以表示整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等。

（3）用含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系。

①加法。

師（課件出示一個儲蓄罐）：這里面有多少錢？老師也想到了用字母（x）表示數(shù)。

師（課件播放往儲蓄罐里再放入3元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲蓄罐里原有x元錢，又放入3元錢，現(xiàn)在一共有（ ）元錢。

師：你能列出一個式子嗎？

②減法。

師（課件出示里面有x元錢的儲蓄罐，播放動畫，掉出2元錢）：你看到了什么？

師邊說邊出示：儲蓄罐里原有x元錢，拿走2元錢，現(xiàn)在還剩（ ）元錢。

③乘法。

師邊說邊出示：2個儲蓄罐（分別標明里面有x元）里一共有（ ）元，5個這樣的儲蓄罐里一共有（ ）元錢。

④除法。

師（課件出示里面有x元錢的儲蓄罐）：捐給災(zāi)區(qū)的4個同學(xué)，平均每個同學(xué)能分到（ ）元錢。

師（小結(jié)）：我們不知道x是多少元錢，但是我們可以讓x與這些數(shù)進行加、減、乘、除，寫出含有字母的式子。所以，含有字母的式子也可以表示數(shù)。

……

思考：通過猜儲蓄罐里有多少錢，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)未知量用哪一個具體的數(shù)表示都不合適，可以用26個字母中的任何一個字母來表示；再把儲蓄罐里的錢倒出來數(shù)或放入5角錢，向?qū)W生揭示字母可以表示整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等，使學(xué)生明確了字母可以表示的范圍。在第三個問題板塊中，仍然以一個不知道多少錢的儲蓄罐為“引子”，既延續(xù)前兩個問題板塊的情境，又巧妙地利用低年級圖文結(jié)合解決問題的形式，讓學(xué)生感受到字母不僅和數(shù)一樣可以進行加減乘除運算，而且能組成含有字母的式子，明白含有字母的式子也可以表示數(shù)，實現(xiàn)了學(xué)生思想上的一次新的飛躍。

三、深入淺出，實現(xiàn)過程和結(jié)果的和諧統(tǒng)一

“用字母表示數(shù)”這節(jié)課的知識難點不易于學(xué)生理解：用字母既可以表示數(shù)，也可以表示數(shù)量關(guān)系；用字母表示的數(shù)有時是概括的（變量），有時又是具體的（常量）；用字母表示數(shù)具有簡潔性……所有這些知識難點都蘊含在教材中，但未被一一點明。在教學(xué)中，我們只有深入淺出，才能將學(xué)生的思維推向一個新的高潮。

教學(xué)片斷3：

出示： 小明的年齡 小明爸爸的年齡

a a+30

師：從這個字母和含有字母的式子中，你能看出小明和他爸爸年齡之間的關(guān)系嗎？（生答略）

師（小結(jié)）：小明和他爸爸之間的年齡關(guān)系，可以從這個字母和含有字母的式子中能清楚地看出。

師：當a=1時，是什么意思？那么，這時小明的爸爸多少歲？你是怎樣算的？當a=4時呢？當a=10時呢？那么，a還可以等于多少歲？那時小明的爸爸多少歲？（學(xué)生舉例略）

師（強調(diào)）：在這里，a一般表示100以內(nèi)的自然數(shù)，當然也有特殊情況。

師：10與a都表示小明的年齡，那10與a又有什么不同呢？（生討論交流）

師（小結(jié)）：10只表示小明的一個年齡，a可以表示小明所有可能的年齡?？梢?，用字母表示是多么的簡潔！同樣，10+30表示什么呢？a+30呢？

師（總結(jié)）：用字母可以表示數(shù)，這個數(shù)可以是變化中的數(shù)。用含有字母的式子也可以表示變化中的數(shù)，還能表示數(shù)量之間的關(guān)系。

……

思考：“講授數(shù)學(xué)知識應(yīng)強調(diào)通過邏輯鏈條以及由淺入深的認知路徑，以承前啟后的方式將數(shù)學(xué)新知識揭示給學(xué)生，這樣才符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的特點，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的智慧作用。”首先，通過比較10與a、10+30與a+30之間的不同，我有意識地將學(xué)生的思維推向縱深：用一個字母能表示小明所有可能的年齡，用一個含有字母的式子也能表示小明爸爸所有可能的年齡，以“一”代表“所有”，不僅體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的簡潔性，而且能從含有字母的式子中看出數(shù)量之間的關(guān)系。其次，字母與含有字母的式子在一定程度上和常數(shù)一樣能互相比較、互相運算，這就是它們之間的聯(lián)系。這樣教學(xué)，利于讓學(xué)生體驗到字母表示數(shù)的現(xiàn)實性、優(yōu)越性，辨析常量與變量的區(qū)別和聯(lián)系。

小學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)，一般都是有意義的學(xué)習，對于前人積累的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識必須積極思考，理解每個符號、式子所代表的實際含義，才能真正將所學(xué)內(nèi)化成自己的知識。因此，教師在教學(xué)中要盡可能地回溯知識“基點”，展開過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，在豐富教學(xué)價值的同時，實現(xiàn)過程與結(jié)果的和諧統(tǒng)一。

（責編 杜 華）endprint