數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識學(xué)習(xí)與能力培養(yǎng)

楊有龍+吳艷

[摘 要] 簡要論述了“知識學(xué)習(xí)”和“能力培養(yǎng)”的關(guān)系，指出在教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要性，重點(diǎn)探討了教學(xué)直覺思維的培養(yǎng)、求異思維的培養(yǎng)以及逆向思維的培養(yǎng)，論述了慣性思維隱藏的危險性，同時通過具體實(shí)例加以論證。最后指出創(chuàng)新能力的培養(yǎng)就是盡量挖掘教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)造性元素，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教育;教學(xué)方法;知識學(xué)習(xí);創(chuàng)新能力

[中圖分類號] G424.74 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 1005-4634（2014）04-0062-04

0 引言

受中小學(xué)應(yīng)試教育“熏陶”，邁入高等學(xué)府的青年學(xué)生往往以為“知識學(xué)習(xí)”就是大學(xué)生活的全部，豈不知“能力培養(yǎng)”才是學(xué)習(xí)的目的;當(dāng)教學(xué)管理者只以學(xué)生課業(yè)成績的高低評價教師教學(xué)水平、評定學(xué)生的獎學(xué)金時，進(jìn)一步使青年學(xué)生誤認(rèn)為只要課業(yè)分?jǐn)?shù)高就擁有一切。這種現(xiàn)象、認(rèn)識與教育教學(xué)目的背道而馳，與培養(yǎng)創(chuàng)新人才、精英人才的目的相向而行。本文論述了大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“知識學(xué)習(xí)”和“能力培養(yǎng)”的關(guān)系，探討了能力培養(yǎng)的途徑和方法，以期為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究提供一個視角，確定一條主線。

1 數(shù)學(xué)“能力培養(yǎng)”是“知識學(xué)習(xí)”的提升

通過中小學(xué)的學(xué)習(xí)，大學(xué)在校生具備了較好的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)能力，例如對數(shù)學(xué)定義的理解、簡單性質(zhì)和定理的推導(dǎo)、模仿例題求解相似的數(shù)學(xué)題等。還有一部分學(xué)生通過做大量的習(xí)題提高計(jì)算能力，我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青當(dāng)年學(xué)習(xí)微積分時，做了一萬道習(xí)題，可見大師也是付出了辛苦的汗水?！爸R學(xué)習(xí)”是“能力培養(yǎng)”的前提條件，只有掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，才會具有培養(yǎng)能力的保障。特別是工科學(xué)生，掌握“數(shù)學(xué)”這個工具是進(jìn)一步學(xué)好專業(yè)的基礎(chǔ)，要達(dá)到靈活運(yùn)用“數(shù)學(xué)”工具的目的，還需要深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，提出問題，建立模型，運(yùn)用知識解決問題。這就涉及到“數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，重在應(yīng)用，應(yīng)用的需求反過來推動知識的學(xué)習(xí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)就是具有“數(shù)學(xué)思維”的能力。因此“數(shù)學(xué)能力”的培養(yǎng)在于教學(xué)過程中“數(shù)學(xué)思想”的培養(yǎng)和訓(xùn)練，“數(shù)學(xué)能力”的培養(yǎng)也是數(shù)學(xué)“知識學(xué)習(xí)”的提高和深化。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識;基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會有一個大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

創(chuàng)新是在國際上搶占科技和經(jīng)濟(jì)的制高點(diǎn)、在國際競爭中立于不敗之地的基本保證。要大力強(qiáng)調(diào)創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)，把不斷提高培養(yǎng)質(zhì)量、培養(yǎng)更多的高層次創(chuàng)造性人才作為教育的重要任務(wù)。當(dāng)前及以后的國際競爭就是綜合國力的競爭。綜合國力的競爭歸根結(jié)底是人才的競爭。誰擁有大量的高素質(zhì)、創(chuàng)造性人才，誰就能搶占、控制科技和經(jīng)濟(jì)的制高點(diǎn)，誰就能在國際競爭中掌握主動，立于不敗之地。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，不僅是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的工具、認(rèn)識的工具，還是思維的工具;不僅具有很強(qiáng)的思想性、綜合性，而且還具有很強(qiáng)的實(shí)踐性。數(shù)學(xué)是思維的體操，是一切抽象科學(xué)方法的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)[1，2]。

2 直覺思維是數(shù)學(xué)能力的源泉

直覺思維是創(chuàng)造發(fā)明的先導(dǎo)，是進(jìn)行創(chuàng)造活動的基本心理成分，著名物理學(xué)家愛因斯坦根據(jù)自己親身的科學(xué)創(chuàng)造實(shí)踐認(rèn)為，科學(xué)研究“真正可貴的因素是直覺思維”。他把科學(xué)創(chuàng)造的過程簡捷地概括為這樣一種模式：經(jīng)驗(yàn)-直覺-概括或假設(shè)-邏輯推理-理論?？梢?，直覺思維是創(chuàng)造的關(guān)鍵，一般創(chuàng)造發(fā)明多是在觀察和實(shí)驗(yàn)所取得經(jīng)驗(yàn)材料的基礎(chǔ)上，通過直覺思維提出假設(shè)、猜測而形成新思想。所以院校進(jìn)行學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)，必須注意直覺思維的培養(yǎng)。

直覺思維的教學(xué)方法不同于分析思維的教學(xué)方法，分析思維的教學(xué)方法是按照知識內(nèi)部的邏輯結(jié)構(gòu)循序漸進(jìn)的推理，最后得出結(jié)論。例如，在講解定積分定義的時候，從歷史發(fā)展的背景、問題的提出、解決問題到總結(jié)歸納，進(jìn)行逐步分析，最后得出定積分的定義。這種方法有利于學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握，但長期循規(guī)蹈矩，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。直覺思維的教學(xué)方法是積極引導(dǎo)學(xué)生從整體上、本質(zhì)上研究問題，在學(xué)生初步觀察了解學(xué)習(xí)材料的基礎(chǔ)上，直接提出核心的本質(zhì)的問題，讓學(xué)生立即動員全部生活經(jīng)驗(yàn)和知識進(jìn)行快速思維，對問題進(jìn)行試探性地猜測和假設(shè)，跟著感覺走[3]。然后通過邏輯分析對問題的答案進(jìn)行檢查驗(yàn)證。例如，在線性代數(shù)中，可以讓學(xué)員憑直覺判斷在矩陣運(yùn)算中，“若AB=0，則A和B，至少有一個是零矩陣”的命題是否正確，然后論證。講解空間解析幾何可利用平面解析幾何的諸多結(jié)論，直接判斷或直接寫出在空間解析幾何中的結(jié)論，然后加以論證，不僅使學(xué)生有一種成就感，而且學(xué)生會更加注意論證過程，從而由論證過程得到分析問題、猜測結(jié)論、證明結(jié)論的一套思維訓(xùn)練。

直覺思維有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、創(chuàng)造性，提高學(xué)生對問題的洞察能力和應(yīng)變能力。學(xué)生掌握了基本理論、學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)，知識就能廣泛遷移，成為推理的依據(jù)和直覺思維的基礎(chǔ)。無論在科學(xué)研究還是在日常生活中，直覺思維都非常重要。一個人不能直覺思維，在科學(xué)研究中就不可能提出假說和設(shè)想;一個人不能直覺思維，工作中遇事就會優(yōu)柔寡斷，學(xué)習(xí)中就不可能擁有主動權(quán)。

3 求異思維是數(shù)學(xué)能力的核心

求異思維是創(chuàng)造力的核心，思維要敢于不遵循已有的軌跡，敢于想前人不曾想或不敢想的事物，敢于用別人不曾用過的方法去探索。這要求學(xué)生要有獨(dú)立果斷的品質(zhì)，因此，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生要敢于發(fā)表自己獨(dú)立的見解，不謀求唯一正確的答案，求同辨異。課堂上給學(xué)生留出時間空間，積極為學(xué)生提供討論學(xué)習(xí)的機(jī)會，努力形成教與學(xué)之間、學(xué)與學(xué)之間的思維活動，讓學(xué)生自由發(fā)表意見。這些意見對每一個學(xué)生而言都是一種信息刺激，如被理解就會被納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在新信息與舊信息融合時，或者在新信息的刺激下，通過聯(lián)想作用激活另一個有價值的新概念，這種新觀點(diǎn)便是學(xué)生自己的獨(dú)立見解，在求同辨異中創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的結(jié)果。數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，經(jīng)典的例子是通過求異思維由歐氏幾何發(fā)展了非歐幾何，由標(biāo)準(zhǔn)分析產(chǎn)生了非標(biāo)準(zhǔn)分析。

教師要肯定學(xué)生的標(biāo)新立異和異想天開，從而保護(hù)學(xué)生的好奇心、求知欲和想象力。激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情，學(xué)生不是接受知識的“容器”，而是未來文明的創(chuàng)造者，只有今天敢于質(zhì)疑、敢于批判，明天才能善于創(chuàng)新、善于超越。一個美國孩子在美術(shù)課上畫了一個藍(lán)色的太陽。老師問為什么，孩子答道：“我畫的是大海里的太陽”。多么奇特的觀察和想象，老師讓全班同學(xué)為他鼓掌，這個奇怪的“藍(lán)太陽”得了最高分。這是老師對孩子與眾不同想法的充分肯定。鼓勵還是扼殺“特別”，會直接影響孩子的創(chuàng)造思維的發(fā)展。

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指學(xué)生思維具有創(chuàng)見性。它不僅能揭示客觀事物的本質(zhì)特征和內(nèi)部規(guī)律，而且能產(chǎn)生新穎的、從未有過的思維效果。在教學(xué)過程中抓住分析問題的時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生大膽設(shè)疑、標(biāo)新立異，拓寬思維空間。尋找多種有效解題的方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。教師要善于調(diào)動學(xué)生積極參與，明確目標(biāo)、合理猜想、提出問題，使學(xué)生主動參與知識的形成過程，誘發(fā)良好的思維情感，使學(xué)生的思維更積極、感知更敏銳、想像更豐富、記憶更牢固。求異思維的內(nèi)核是：敏于生疑，敢于存疑，勇于質(zhì)疑。由生疑，到存疑，到質(zhì)疑[1]，到新發(fā)現(xiàn)、新發(fā)明，這往往是各種創(chuàng)新活動的共同歷程。相反，由輕信，到篤信，乃至到迷信，則往往導(dǎo)致人們漸漸喪失自主的理性、智性，喪失自主判識的自尊自信，漸漸地陷入只知唯書、唯上、唯權(quán)、唯命是從的馴服心理和盲從心態(tài)。

當(dāng)然，倡導(dǎo)求異思維，并不是讓人們不著邊際地去胡思亂想、去異想天開、去任意蠻干。求異思維也是要在科學(xué)精神、科學(xué)理性、科學(xué)方法的引導(dǎo)下，才會有正確的方向和積極的成果。創(chuàng)新是人類社會發(fā)展與進(jìn)步的永恒主題，具有個性化的求異思維能力是創(chuàng)新能力的一個重要體現(xiàn)，興趣和學(xué)生求異思維的不可分割性，要求教師要創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，積極激發(fā)并保持學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，最終啟發(fā)學(xué)生的求異思維。

4 逆向思維是數(shù)學(xué)能力的創(chuàng)新

逆向思維是一種啟發(fā)智力的方式，它有悖于通常人們的習(xí)慣，而正是這一特點(diǎn)，使得許多靠正常思維不能或是難于解決的問題迎刃而解。一些正常思維能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高，正思與反思就象分析的一對翅膀，不可或缺。人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。然而習(xí)慣于正向思維的人一但得到了逆向思維的幫助，就象戰(zhàn)爭的統(tǒng)帥得到了一支奇兵。其實(shí)，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉，甚至因此而有所發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造出驚天動地的奇跡來，這就是逆向思維的魅力。

在教學(xué)中有時碰到一些問題，順向思維易陷入困境，從反方向思維往往茅塞頓開。例如，欲求極限，這是型未定式，顯然必須變形，如何變形呢？中學(xué)階段學(xué)的方法是分母有理化，變形后仍為型未定式。如果教師提示學(xué)生采用逆向思維，讓學(xué)生采用分子有理化，變形后便可得所求極限。有些題目既可以引導(dǎo)學(xué)生用正向思維去解答，也可以從所求的結(jié)論出發(fā)，反向推理。尋找所需的已知條件、概念、原理和規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維來解題。這樣做既培養(yǎng)了學(xué)生從正逆兩個方向去解決具體問題的能力，又促進(jìn)了正逆向思維的聯(lián)結(jié)，使兩者相互檢驗(yàn)、相互補(bǔ)充，進(jìn)而產(chǎn)生良好的交叉效應(yīng)。任何事物都是矛盾的統(tǒng)一體，如果從矛盾的不同方面去引導(dǎo)學(xué)生逆向思維，往往能認(rèn)識事物更多的方面。例如，在講到羅爾中值定理時，教師給出了四個函數(shù)：

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）中的函數(shù)不滿足羅爾中值定理的任何條件，但卻有羅爾定理的結(jié)論。（2）、（3）、（4）中的函數(shù)僅不滿足羅爾中值定理的某一個條件，但卻沒有羅爾定理的結(jié)論。通過對這4個反例的設(shè)置，學(xué)生就會清楚地認(rèn)識到羅爾中值定理的條件只是充分條件，而非充要條件。因此在應(yīng)用羅爾定理時，若得不到想要的結(jié)果，就需另辟蹊徑。

在日常生活中，有許多通過逆向思維取得成功的例子。例如有4個相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個瓶口的距離都相等呢？原來，把3個瓶子放在正三角形的頂點(diǎn)，將第4個瓶子放在三角形的中心位置，答案就出來了。逆向思維最寶貴的價值是它對人們認(rèn)識的挑戰(zhàn)，由此而產(chǎn)生不可估量的威力，人們應(yīng)當(dāng)自覺地運(yùn)用逆向思維方法，創(chuàng)造更多奇跡。

5 慣性思維是數(shù)學(xué)能力的羈絆

事實(shí)上，本文只是簡單舉例并討論了直覺思維、求異思維和逆向思維等數(shù)學(xué)思想，還有函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、隱含條件思想和概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)思想沒有涉及。同時還要注意避免慣性思維的潛在危害，例如人們習(xí)慣于把有限運(yùn)算的法則不知不覺地運(yùn)用到無限運(yùn)算中去。當(dāng)人們?yōu)槟承┱_的成果而歡欣鼓舞的時候，往往忽略了思維中的潛在危險。

例如有人用除法得到：=及=，兩式相加，因?yàn)?=0，推得的這個等式成立嗎？看似上述推理毫無錯誤，卻不知已經(jīng)觸礁“思維中的潛在危險”。

當(dāng)然不能成立。因?yàn)?只有在時才成立，而=，只有在時才成立。由于這兩個級數(shù)的收斂域沒有公共點(diǎn)，因此不能相加。

又例如：三個學(xué)生用不同的方法，計(jì)算式子，竟然得出各不相同的結(jié)果。

甲學(xué)生：原式=（11）+（11）+（11）+…=0+0+0…=0

乙學(xué)生：原式=1+（1+1）+（1+1）+（1+1）+…=1+0+0+0+…=1

丙學(xué)生：令…，因?yàn)?（11+11+11+…）=，所以，

這正是把有限運(yùn)算的法則，不知不覺地運(yùn)用到無限運(yùn)算中去的典型錯誤。

古希臘的學(xué)者芝諾曾提出一個著名的“追龜”詭辯題[3]。烏龜素以動作遲緩著稱，阿基里斯則是古希臘傳說中的英雄，善跑的神。芝諾斷言：阿基里斯與烏龜賽跑，如果開始時烏龜在阿基里斯前面，那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜。芝諾的理由是：假設(shè)阿基里斯開始時在 處，烏龜在 處，為了趕上烏龜，阿基里斯必須先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，當(dāng)他到達(dá) 點(diǎn)時，烏龜已前進(jìn)到點(diǎn);當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)時，烏龜已前進(jìn)到 點(diǎn)，如此等等。當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜前次到達(dá)過的地方，烏龜已向前又爬動了一段距離。因此，阿基里斯是永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)?。芝諾的論斷顯然違背常理，是錯誤的。無限多個很小的量的和，未必是無限大，“無限”地累加，也可能得出有限的結(jié)果。

設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，烏龜在前面100米，當(dāng)阿基里斯跑了100米時，烏龜已前進(jìn)了10米;當(dāng)阿基里斯再追10米時，烏龜又前進(jìn)了1米;阿基里斯再追1米時，烏龜又前進(jìn)了米，如此等等。于是，阿基里斯追上烏龜所跑的路程（單位：米）為：+…，利用等比級數(shù)的公式可知，=（米）。

例如求極限+…+，有些學(xué)生認(rèn)為，括號中的每一項(xiàng)的極限均為零，即對于，=0，因此+…+=（）=++…+=0

如果所求極限是有限個式子的和，上述的思路顯然正確。正是因?yàn)樗髽O限是無限個式子的和，要避免思維陷入誤區(qū)，謹(jǐn)記無限多個很小的量的和，未必是無限大，也未必是無限小。設(shè)上述所求極限為，可知，利用夾逼定理可得=1。

6 結(jié)束語

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的事，需要教師和學(xué)生的長期鉆研和體會，它是創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)訓(xùn)練，需要創(chuàng)新教學(xué)模式。創(chuàng)新教學(xué)模式不僅要教給學(xué)生知識，更重要的是要學(xué)生掌握知識是怎樣形成的，既知其然，又知其所以然，盡量挖掘教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)造性元素，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識;訓(xùn)練學(xué)生把分散的、個別的知識，經(jīng)過分析、分類變成綜合的、系統(tǒng)的知識，這種綜合能力是學(xué)生創(chuàng)新能力[2]的重要體現(xiàn);不僅教會學(xué)生知識，更重要的是教會學(xué)生學(xué)習(xí)，走自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新之路，這對學(xué)生來說，終生受用無窮[4]。

數(shù)學(xué)教育的目的在于培養(yǎng)全面領(lǐng)會數(shù)學(xué)功能的人才，使他們既會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，又能掌握科學(xué)的精神、思想和方法。例如，學(xué)過數(shù)學(xué)的大多數(shù)人，一生中可能很少使用已學(xué)過的專業(yè)知識，但這并不等于說他們的學(xué)習(xí)沒有效用。很可能它們最大的收益在于掌握了數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，提高了自己的思維能力，而且終身受益。不僅如此，數(shù)學(xué)研究水平的提高也需要深厚的思想基礎(chǔ)，只有深刻理解和掌握數(shù)學(xué)精神和思想的人，才有可能取得數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用上的卓越成就。

在教學(xué)中，過分地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想，學(xué)生會感覺老師像在打太極，聽的糊涂。怎樣把握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式二者之間的度就成為教學(xué)中很重要的一環(huán)，同樣值得研究和探討。希望數(shù)學(xué)教育教學(xué)能夠豐富學(xué)生觀察世界的方式，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，鍛煉學(xué)生的理性思維，發(fā)揚(yáng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識，使其利用自己的勤奮和智慧去做出發(fā)明和創(chuàng)造[5]。

參考文獻(xiàn)

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