一無所有并非一無所用

龔兵

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2014）24-0236-01

在集合的大家庭里，有一個(gè)重要的成員——空集?？占亩x是不含任何元素的集合?？占瘺]有任何元素，而且又被稱為空集，可以說是一無所有，那一無所有的空集是不是一無所用呢？當(dāng)然不。

空集雖然沒有內(nèi)部的元素，但他卻有集合的外衣。就像是一個(gè)裝元素的袋子，袋子里雖是空的，而袋子是存在的?？占鋵?shí)并不像白紙那樣明了，忽略了這個(gè)一個(gè)所有的袋子那你很可能就已經(jīng)掉進(jìn)它的陷阱之中了?？占缓魏卧?，卻將它歸為有限集的行列當(dāng)中。 空集是任意集合的子集，按子集的定義是：每個(gè)屬于的元素都在集合A中，雖然中沒有元素，因而這條性質(zhì)顯得沒有意義。但從另一個(gè)角度來說，中沒有一個(gè)元素不在集合A中，所以也可以說空集是任何集合的子集了。這條性質(zhì)的應(yīng)用十分廣泛，在做任何關(guān)于集合的題目時(shí)，都要謹(jǐn)防空集的出現(xiàn)。

例如下面這個(gè)題：

若集合A={x|x2-2x-15=0}，B={x|ax-3=0}，且A∩B=B，求實(shí)數(shù)a組成的集合C。

錯(cuò)解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

因?yàn)锳∩B=B，所以B包含于A，

從而B={-3}或B={5}。

當(dāng)B={-3}時(shí)，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

當(dāng)B={5}時(shí)，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

故由實(shí)數(shù)a組成的集合 C={-1，5}.

剖析：因?yàn)槿魏渭隙加蠥∩ ==，所以錯(cuò)解又忽視了B=時(shí)的情況。

正解：由A={x|x2-2x-15=0}，

解得A={-3，5}.

當(dāng)a=0時(shí)，ax-3=0無實(shí)數(shù)根，B=，滿足題意

當(dāng)a10時(shí)，

因?yàn)锳∩B=B，所以B包含于A，

從而B={-3}或B={5}。

當(dāng)B={-3}時(shí)，

由a×（-3）-3=0，解的a=-1;

當(dāng)B={5}時(shí)，

由a×5-3=0，解的a=3/5.

所以，實(shí)數(shù)a組成的集合C={-1，0，3/5}。

這個(gè)題中空集的存在常常被忘掉，因此要小心空集設(shè)下的陷阱。

綜上所述，空集并不像其名字那樣空空如也，反而，它的內(nèi)容豐富多彩。這些內(nèi)容只有真正與空集接觸時(shí)，感受才最真切。