數(shù)形結合：高中數(shù)學教學中一路上有你

張海云

一、數(shù)形結合的概念與本質

在當前的教育體制下，高中數(shù)學的幾個基本組成模塊：基本知識、基本技能、基本思想方法，稱為“三基”。而數(shù)學思想方法是數(shù)學的重要組成部分。數(shù)形結合，是把題設的數(shù)量關系與空間圖形相結合，它是貫穿于數(shù)學發(fā)展歷史長河中的一條主干線。數(shù)指的是數(shù)據(jù)和式子，形指的是幾何圖形，其本質是將抽象的數(shù)學符號與直觀的圖形聯(lián)系起來，使高中數(shù)學抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的分析與處理，起到直觀對抽象的解釋，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的圖形相聯(lián)系和轉化，化難為易，化抽象為直觀，以獲得精確的結論。所以，數(shù)形結合不僅可作為一種解題方法，還可以作為一種重要的數(shù)學思想。而當今課堂多媒體的應用，更有利于體現(xiàn)數(shù)形結合的本質。有利于突破難點，增加學生的學習興趣。華羅庚曾說 “數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。換句話說，數(shù)形結合可以相互取長補短.

二、數(shù)形結合的優(yōu)勢所在

高中數(shù)學的特點，幾何圖形比較直觀，代數(shù)問題比較抽象，如果能把抽象的代數(shù)問題與幾何圖形結合起來，可以使問題通俗易懂。數(shù)形結合是培養(yǎng)數(shù)學思維的一種特別有效的途徑。高中數(shù)學教學中，數(shù)形結合對啟發(fā)思路，理解題意，深入研究，分析思考，判斷結論有著事半功倍的作用。同時，數(shù)形結合滲透在中學數(shù)學的各個部分，可以通過對數(shù)量的研究來討論圖像的性質，也可以用圖像的特征來反饋變量之間的關系。因此，在中學數(shù)學教學中，數(shù)形結合應作為經?；囊环N思想而被灌輸?shù)綄W生的學習中，形成良好的思維習慣。

三、數(shù)形結合在解題中的運用

1.函數(shù)方程與數(shù)形結合

在高中數(shù)學教學中，數(shù)、形在一定條件下相互轉化是數(shù)學教學中很常見的一個規(guī)律，比如在介紹函數(shù)問題時，函數(shù)關系與圖像可以用平面點集組成的曲線來描述函數(shù)的性質：奇偶性—對稱的特點，單調性—圖像走勢的升降，周期性—圖像是否有規(guī)律的重復出現(xiàn)或疊合等等。如果能結合圖形來解，顯得特別直觀，“腦中有圖像，直觀又形象”。具體來說，它的優(yōu)越性包括以下幾點：①能簡化復雜的計算和論證推理;②能看到整體特點與結果。③能啟發(fā)解題思路。比如說2014年泉州質檢題第12題：

例1.給出關于函數(shù)的下列結論：

解析：作出函數(shù)y=f（x）的圖像，對于①容易知道f（-5）=f（0）=f（5）=0成立，正確;

對于②，可以看出在x∈[-5，5]時，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=k（x+5）的下方，故k的值不可能小于1-2，正確; 對于③，實數(shù)對（m，n）有且只有四對（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）正確.故選D.

評析：“動”是絕對的，“靜”是相對的，這是自然規(guī)律，也是一種數(shù)學思想。本題把抽象的函數(shù)關系轉化為直觀的圖形比較，一目了然，避免了復雜的計算和推理。

2.解幾中的數(shù)形結合

解析幾何是數(shù)學發(fā)展史上的重大成果之一，它的本質是用代數(shù)方法研究幾何圖像，曲線與方程是同一對象的兩種表現(xiàn)形式，幾何圖形具有直觀的優(yōu)勢，代數(shù)形式具有便于運算的優(yōu)點。因此，在解幾中，數(shù)形結合思想是最核心的思想方法。比如說2014年泉州質檢題第16題：

例2.與相關的代數(shù)問題可以轉化為點A（x，y）與點B（a，b）之間距離的幾何問題，結合上述觀點， 可得方程的解為 .

解析：可以將原方程變形為，其代表的幾何意義是點（x，2）到點（-4，0）的距離與到點（4，0）的距離之差的絕對值為4.結合雙曲線的定義可知，在直線y=2與雙曲線的交點M，N符合題意，將y=2代入中，得，所以原方程的解為.

評析：這是一個運用數(shù)形結合法的非常經典的題目，把極其抽象的絕對值不等式轉化為非常直觀的到兩定點的距離之差的絕對值，滿足雙曲線的定義，解題思路獨特。這種“由形到數(shù)”的解題模式，使問題解得簡單、直觀、明了，省略了繁雜的運算。

人教版必修2平面解析幾何，用幾何的方法處理代數(shù)問題的最佳結合點是直線與圓，因為圓既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，具有非常良好的幾何性質，很好的詮釋了數(shù)形結合，因此，在圓的問題上，更加突顯了數(shù)形結合的重要性。

例3.已知實數(shù)x、y滿足x2+y2-4x+3=0，求2x-y的最大值和最小值。

解析：（1）把方程x2+y2-4x+3=0化為圓的標準形式

（x-2）2+y2=1并得出圓心C（2，0）和半徑r=1;

（2）依方程作出準確的圖形，如圖所示;

（3）設（x，y）是該圓上任一點;

設2x+y=b，則題問轉化為求b的最大值與最小值。

（4）將2x+y=b變形為直線的斜截式y(tǒng)=-2x+b，接著分析直線圖像的特征，很容易得到直線y=-2x+b是斜率為-2平行直線系且在y軸上的截距為b;

（5）用直尺平行移動，可以看出平移直尺的過程中截距b的變化趨勢，進而發(fā)現(xiàn)當且僅當直線與圓（x-2）2+y2=1相切時b取得最大或最小值;

（6）由點線的距離公式：， ，因此，。

評析：本題解題的方法稱之為圖解法，解題過程中不需要太大的計算，其巧妙之處在于數(shù)形結合，所求的最值b的幾何意義——斜率為-2的直線在y軸上的截距。這樣轉化問題就容易理解和接受，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的有效性和可行性。

四、三角中的數(shù)形結合

在三角函數(shù)這一章中數(shù)形結合更是比比皆是，利用單位圓來刻畫任意角的概念，圖像與性質，利用部分圖像求三角函數(shù)的解析式等等.三角中的數(shù)形結合，本質上是抓住正余弦，正切的圖像與性質來應用和推廣.

例4.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y=f（x）的圖像關于直線對稱，當時， ，如果關于 x的方程f（x）=a有解，記所有解的和為S，則S不可能為（ ）

解析：如圖，作出函數(shù)y=f（x）的圖像，

直線y=a與x軸平行，

當-1≤a≤0時，f（x）=a有解，分類如下：①a=-1或時，;②時，;③時， S=-π. 故答案為B.

評析：本題是數(shù)形結合體現(xiàn)在三角中的一種解題思路，是一種非常典型的“由形到數(shù)”的解題模式，是問題簡單，易懂，明了，省略了繁雜的運算過程。

數(shù)形結合的本質是運用圖形反映數(shù)量關系，教學中多媒體技術的普遍實施為數(shù)形結合的廣泛應用架設了橋梁.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征;恰當設參、巧妙用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化;正確確定參數(shù)的取值范圍。鉆研教材，從數(shù)學發(fā)展的全局著手，從具體的教學過程感知，逐步滲透數(shù)形結合的思想，使學生能夠養(yǎng)成數(shù)形結合的良好習慣，簡單的說，用“數(shù)”的精確澄清“形”的含糊，用“形”的直觀啟發(fā)“數(shù)”的計算，使它成為分析問題、解決問題的有效工具。