函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之含參問題教學(xué)設(shè)計(jì)

許小華 鄭婧婧

導(dǎo)數(shù)在新課標(biāo)卷中以壓軸題的形式考查，涉及函數(shù)的切線、單調(diào)性、極值、最值、含參問題的分類討論、求參數(shù)的取值范圍等問題，其中以含參問題求函數(shù)單調(diào)性和最值為學(xué)生的難點(diǎn)和困擾點(diǎn)。因此，在新課學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性之后，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)含參函數(shù)的單調(diào)性問題，以此來引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解并且掌握含參問題的解決。

一、教學(xué)背景與教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生在學(xué)習(xí)集合與函數(shù)章節(jié)時(shí)經(jīng)常遇到含參問題，需要進(jìn)行分類討論，因此對(duì)含有參數(shù)的一類問題并不陌生，但是對(duì)于含有參數(shù)的單調(diào)性問題，何時(shí)需要分類討論，以及如何進(jìn)行分類討論并做到不重不漏并不清楚，也沒有形成解題系統(tǒng)，因此有必要針對(duì)性強(qiáng)化。

本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)掌握了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)求解其單調(diào)性，使學(xué)生掌握解決一類問題的思想方法并鞏固已學(xué)知識(shí)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)回顧

求下列函數(shù)的單調(diào)性，畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，并說出導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

（1）y=x3+3x （2）y=sinx-x，x∈（0，π）

（3）y=x2-2x+4 （4）y=x3-x2-x （5）y=x-lnx

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，強(qiáng)化利用導(dǎo)函數(shù)圖象分析原函數(shù)單調(diào)性的能力，為含參問題的解決做鋪墊

2.探究新知

問題1：求下列函數(shù)的單調(diào)性

① ②f（x）=x3-3ax

③f（x）=x3-3ax2 ④f（x）= 1-x -alnx

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)回顧的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠自然想到遇到參數(shù)何時(shí)需要分類討論，并且如何進(jìn)行分類討論，使學(xué)生在處理分類討論問題時(shí)能夠自然地解決，而不是死記硬背。

以其中一個(gè)的解決過程為例：

由題知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）<0，可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，- 1-a ）上單調(diào)遞減;在（- 1-a ，+∞）上單調(diào)遞增

歸納：解決含參問題的函數(shù)單調(diào)性問題時(shí)，注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，從而清楚何時(shí)需要分類討論以及如何分類討論，對(duì)參數(shù)的討論要做到不重不漏。

3.鞏固提升

（2013浙江）已知a∈R，

函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax.

若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程.

若|a|>1，求f（x）在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值.

三、教學(xué)反思

本節(jié)課是在學(xué)生基本掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上進(jìn)行的拓展學(xué)習(xí)，一方面為后續(xù)的含參問題作出基礎(chǔ)的鋪墊，另一方面鞏固強(qiáng)化學(xué)生利用圖形解決抽象問題的能力。在實(shí)際教學(xué)中，遇到不少學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問題比較懼怕，一方面是經(jīng)驗(yàn)比較少，另一方面學(xué)生沒有好的方法來應(yīng)對(duì)這類問題，因此在教學(xué)過程中要根據(jù)考試的要求適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行含有參數(shù)問題的解題教學(xué)，重在培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，弱化學(xué)生對(duì)參數(shù)問題的懼怕心理，強(qiáng)化學(xué)生用自然的思路思考和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

作者簡(jiǎn)介：

許小華（1983～），男，陜西漢中人，研究方向：高中數(shù)學(xué)。