多樣性分布參數(shù)的粒子群算法及其在過程動態(tài)優(yōu)化中的應用

王應虎 范勤勤 顏學峰

(華東理工大學化工過程先進控制和優(yōu)化技術教育部重點實驗室,上海 200237)

粒子群優(yōu)化(PSO)算法是Kennedy J和Eberhart R在1995年通過模擬鳥群覓食過程中的遷徙和群聚行為而提出的一種基于群體智能的啟發(fā)式算法[1]。PSO算法有較快的收斂速度且對非線性、多峰問題具有較強的全局搜索能力，在PID控制器優(yōu)化及系統(tǒng)辨識等領域得到了廣泛的應用[2～4]。為了提高PSO算法的穩(wěn)定性并避免早熟收斂，文獻[5]通過一個模糊慣性權重和模糊控制器實現(xiàn)速度和位置的更新；文獻[6]通過K均值分類技術將種群分為3個簇，根據(jù)簇中最優(yōu)和最差粒子的變化實現(xiàn)加速因子自適應；文獻[7]基于相對距離提出了一種自適應參數(shù)改進算法，使個體在進化中有不同的慣性權重和社會因子。相關的研究工作均表明：通過算法參數(shù)的自適應，可以有效提高PSO算法的尋優(yōu)性能。但何種自適應策略是算法參數(shù)最佳自適應策略仍是一個廣泛研究的問題。

筆者針對PSO算法參數(shù)自適應策略進行研究，提出一種多樣性分布參數(shù)的粒子群算法(DDPPSO)。該算法在初始化時增加了參數(shù)種群，即每個粒子在迭代中擁有自己的控制參數(shù)，由當前適應度值確定每個粒子的參數(shù)權重，進而計算下一代的控制參數(shù)均值，通過控制參數(shù)均值與自適應方差的正態(tài)分布來產(chǎn)生下一代控制參數(shù)，控制參數(shù)呈現(xiàn)多樣性分布，使粒子群體與參數(shù)群體通過交互協(xié)同進化，優(yōu)秀的參數(shù)個體能使粒子獲得良好的進化，粒子的進化性能又作為參數(shù)個體多樣性分布的評價，進而為優(yōu)化算法提供實時的最佳參數(shù)，提高算法的搜索性能。假設優(yōu)化函數(shù)為求最小值問題，粒子xi的參數(shù)種群為ωiG、c1iG、c2iG，DDPPSO算法的步驟為：

a. 隨機生成粒子種群和參數(shù)種群，種群規(guī)模為NP，最大進化代數(shù)為Gm，當前進化代數(shù)G=0；

b. 計算個體適應度值f(xiG),令個體最優(yōu)值pbestiG=xiG，最小適應度值個體作為種群最優(yōu)值gbestG；

c. 更新粒子速度和位置；

d. 計算最大適應度值和參數(shù)權重；

e. 計算參數(shù)的加權平均值；

f. 計算參數(shù)的自適應方差；

g. 參數(shù)加權平均值與自適應方差通過正態(tài)分布產(chǎn)生下一代參數(shù)群體，并隨機一對一地分配給粒子種群；

h. 更新局部最優(yōu)和全局最優(yōu)；

i. 重復步驟c～h的操作，直到進化代數(shù)超過最大進化代數(shù)或已找到全局極值。

更新粒子速度和位置的公式為；

viG+1=viG×ω+c1×rand1×(pbesti-xiG)+

c2×rand2×(gbest-xiG)

(1)

xiG+1=xiG+viG+1

(2)

計算最大適應度值和參數(shù)權重公式為：

計算參數(shù)的加權平均值公式為：

計算參數(shù)自適應方差的公式為：

2 參數(shù)選取

為了實現(xiàn)多樣性分布參數(shù)的粒子群算法，對參數(shù)的選取進行了多次實驗，主要是參數(shù)種群中各個參數(shù)初始化的范圍和自適應方差的計算公式。在實驗中，種群大小為40、30維，最大迭代次數(shù)為1 000，算法獨立運行20次的均值和方差作為比較結果(表1)，其中參數(shù)1、2、3分別表示慣性權重、認知因子和社會因子。

表1 參數(shù)選取實驗結果

由實驗結果可以看出，在參數(shù)初始化中，慣性權重為0～1的均勻分布，認知因子、社會因子為0～4的均勻分布時，方差和均值均最優(yōu)；在自適應方差中，慣性權重在0.2～0.5之間變化，認知因子、社會因子在0.7～1.0之間變化時結果較好。

3 實驗結果及分析

3.1 實驗

為了檢驗DDPPSO算法的全局搜索能力，將DDPPSO算法與4種新改進的粒子群算法進行比較。這4種算法分別是：文獻[8]提出的鄰域搜索多樣性增強的粒子群算法(DNSPSO)、文獻[9]提出的全面學習粒子群算法(CLPSO)、文獻[10]提出的自適應粒子群算法(APSO)和文獻[11]中基于相反學習的粒子群算法(GOPSO)。算法的參數(shù)設置如下：種群大小統(tǒng)一為40，維數(shù)為30時目標函數(shù)評價次數(shù)為200 000，維數(shù)為100時目標函數(shù)評價次數(shù)為500 000。為排除隨機性，實驗以30次獨立實驗的統(tǒng)計結果進行分析，各種算法的其他參數(shù)設置可參考其文獻。實驗系統(tǒng)基于Intel Core(TM)2 Duo CPU E7500@2.93GHz，2.00GB，Windows7，MATLAB R2010b環(huán)境。

3.2 結果分析

表2列出了DDPPSO與對比的4種算法對15個標準測試函數(shù)獨立運行30次的均值和方差，除了DDPPSO之外，其他各種算法的結果均來自于文獻[8]。在用于比較的各種算法中，CLPSO和APSO算法在15個測試函數(shù)中均未找到最優(yōu)解，其優(yōu)化性能較差；GOPSO算法在6個測試函數(shù)中找到極值，其尋優(yōu)性能和優(yōu)化精度較好；DNSPSO算法在15個測試函數(shù)中，有8個測試函數(shù)能找到全局極值，3個測試函數(shù)搜索結果較好，在尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性方面有更好的性能；但DDPPSO算法有10個測試函數(shù)找到全局極值，有13個測試函數(shù)的均值和方差較其他4種算法表現(xiàn)更優(yōu)，特別在Rosenbrock函數(shù)的尋優(yōu)上有著非常優(yōu)秀的表現(xiàn)，有兩個測試函數(shù)的結果相比文獻最優(yōu)值較接近。從總體而言，DDPPSO算法比其他4種改進算法在全局搜索和穩(wěn)定性方面有更強的優(yōu)勢。

表2 測試函數(shù)運行30次的均值和方差

4 DDPPSO算法應用于生物反應器動態(tài)優(yōu)化

4.1 Park-Ramirez生物反應器模型

Park和Ramirez提出了生物反應器的優(yōu)化模型，其物理意義為：生物反應器中酵母菌在生產(chǎn)內(nèi)源蛋白質(zhì)時，通過流加的方式為菌體新陳代謝提供補料，過程優(yōu)化數(shù)學模型如下[12]：

maxJ=x1(tf)x5(tf)

4.2 Park-Ramirez生物反應器優(yōu)化結果

使用Runge-Kutta法求解微分方程，計算出J來進行比較，算法獨立運行10次的比較結果見表3。

表3 動態(tài)優(yōu)化結果對比

文獻[14]采用Restricted second-order information法進行求解，因時間劃分越多控制操作越復雜，考慮實際問題，筆者只對區(qū)間進行20等分，文獻[14]未記載種群大小和迭代次數(shù)。從表4的實驗結果可以看出，在種群規(guī)模和迭代次數(shù)明顯減少的情況下，DDPPSO所得優(yōu)化結果較文獻[13～15]有較大改進?？梢姡肈DPPSO求解生物反應器的動態(tài)優(yōu)化問題是有效的，解的精度較高而且比較穩(wěn)定。

5 結束語

基于多樣性分布參數(shù)的粒子群算法通過迭代過程中適應度值的變化更新參數(shù)權重，在實現(xiàn)在粒子進化尋優(yōu)的同時，慣性權重和加速因子能實現(xiàn)自適應進化。15個測試函數(shù)的仿真研究表明，DDPPSO算法能保證算法的全局尋優(yōu)性能與局部搜索能力，提高算法的收斂速度和解的精度。最后，將DDPPSO算法應用于生物反應器的動態(tài)優(yōu)化，其結果較文獻報道的數(shù)據(jù)有較大的提高。

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