構(gòu)建充溢數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的深刻課堂

陳金飛

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是注重“數(shù)學(xué)聯(lián)系”的教學(xué)，教師要經(jīng)常有目的地揭示數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展的過程，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通各部分知識之間縱向與橫向的聯(lián)系，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識，讓學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀“數(shù)學(xué)聯(lián)系”。下面，以“平面圖形的面積”的學(xué)習(xí)為例，談?wù)勅绾螛?gòu)建充溢數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性的深刻課堂方面的認(rèn)識。

一、深究“理解”本義，賦予關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)更強大的生長力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“理解”無疑是第一位的。實際教學(xué)中，公式的記憶往往被視為“理解”的標(biāo)志：我曾幫助學(xué)生回顧長方形的面積計算公式，學(xué)生回答：長方形的面積=長×寬。我追問：為什么長乘寬的結(jié)果就是長方形的面積？學(xué)生面面相覷，感到很困惑。長方形的面積就是這樣計算的，哪還有為什么？學(xué)生以為熟記長方形的面積計算公式，會做題，就算理解了這部分知識。一個圖形的面積，其實質(zhì)是它所包含的面積單位的個數(shù)。度量的本質(zhì)含義是用單位（長度、面積、體積等）去測量物體。測量圖形的面積需要用面積單位，常用的面積單位有平方厘米、平方分米、平方米。如果學(xué)生沒有經(jīng)歷度量的過程，沒有將度量單位及單位間的換算關(guān)系扎實建構(gòu)，他們就無法理解度量的本質(zhì)含義，只能死套公式計算，不會隨機應(yīng)變。我在執(zhí)教《長方形和正方形的面積》一課時，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷度量過程，在不斷的體驗中，逐步建構(gòu)長方形的面積計算公式，獲得對計算方法的理解，走進(jìn)知識的本質(zhì)。

二、著眼“關(guān)聯(lián)”本質(zhì)，賦予數(shù)學(xué)思維更完善的整合力

“數(shù)學(xué)聯(lián)系”首先是指數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系，關(guān)注內(nèi)部的聯(lián)系，才能有效把握數(shù)學(xué)知識的整體性，利用知識的內(nèi)在聯(lián)系解決問題。由于教材對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律是分段編排的，容易造成知識的割裂。因而，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，比較知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，明晰知識的來龍去脈，使各個知識點在腦海中連成線、結(jié)成網(wǎng)，形成整體性知識結(jié)構(gòu)。

對學(xué)生來說，熟記面積計算公式比明白其所以然更為容易。對教師來說，告訴面積計算公式比引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究的過程更經(jīng)濟(jì)高效。然而關(guān)聯(lián)式理解將平行四邊形、三角形、梯形、圓形的面積計算公式與長方形的面積計算公式聯(lián)系起來，建立相互關(guān)聯(lián)。這樣做，雖然所用的時間較多，不但要學(xué)習(xí)各個計算公式，還要知道它們彼此之間的關(guān)聯(lián)。但一旦學(xué)會了，就會形成整體結(jié)構(gòu)，易于記憶，便于檢索，從長遠(yuǎn)來看，更經(jīng)濟(jì)。

1.回憶溝通，呈現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了哪些平面圖形？

生：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形。

師：這些平面圖形之間有怎樣的聯(lián)系？

生：我可以用集合圖來表示學(xué)過的圖形之間的關(guān)系。用一個大圈表示平面圖形，里面包含三角形、四邊形，四邊形包含平行四邊形、梯形，平行四邊形包含長方形，正方形是特殊的長方形。

2.遷移建構(gòu)，彰顯整體思維

師：我們已學(xué)會用面積單位測量圖形的面積，知道了長方形的面積計算方法。這是一個長7厘米、寬5厘米的長方形，它的面積是多少？

生：7×5=35（平方厘米）。

師：如果把這個長方形拉成一個平行四邊形（高3厘米），這個平行四邊形的面積你會算嗎？

生：用1平方厘米的小正方形去測量，不滿1格的湊成1平方厘米。（該生受長方形的面積計算公式的推導(dǎo)過程的啟發(fā)，面對新問題，不會束手無策。）

生：我贊同他的想法，只是有一點小小的改動，把不滿1格的，通過平移，轉(zhuǎn)化為1格，我算出平行四邊形的面積是15平方厘米。

生：我想到了一個好辦法，我能上去畫嗎？把平行四邊形沿著高剪開，把剪下的三角形平移到另一邊，拼成一個長方形。平移前后，圖形的面積不變，只要求出長方形的面積，也就求出了平行四邊形的面積。如圖1。

圖1

師：能聽懂這位同學(xué)的想法嗎？

生1：我們可以不直接用面積單位度量平行四邊形的面積，而是沿著高把平行四邊形剪開，把左邊的三角形平移到右邊，拼成一個長方形。長方形的面積等于平行四邊形的面積，長等于底，寬等于高，因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘高。

板書：

長方形的面積= ? ? 長 × 寬

↓ ? ? ? ?↓ ? ↓

平行四邊形的面積= 底 × 高

生2：他是用轉(zhuǎn)化的方法，我覺得很好，遇上新問題，把它轉(zhuǎn)化為會解決的問題。我還有一種不同的剪拼思路，我是沿著高剪成兩個梯形再通過平移拼成長方形。如圖2。

圖2

顯然，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，學(xué)生在思考數(shù)學(xué)問題時，頭腦中就能形成一個整體的形象，有利于學(xué)生思維的發(fā)展。

三、注重“變式”遷移，賦予問題解決更寬闊的提升力

在數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)中，每個概念、規(guī)律既有相對獨立性，又有相互關(guān)聯(lián)性。正因為數(shù)學(xué)知識之間存有相互關(guān)聯(lián)性，如果將各個分散的知識點建立適當(dāng)?shù)摹奥?lián)結(jié)”，在教學(xué)中有意識地進(jìn)行“變式”，則能幫助學(xué)生建構(gòu)更具適應(yīng)力的知識體系，提升問題解決力。郭思樂教授認(rèn)為，人對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，正像人的胚胎發(fā)育一樣，各個部分是同步生長的?；谶@樣的認(rèn)識，如果我們在組織教學(xué)活動時，鼓勵學(xué)生用自己的方法，探求事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，建立相互之間的關(guān)聯(lián)性，那么必然會促進(jìn)學(xué)生對概念、規(guī)律的深刻理解。以三角形的面積計算公式的推導(dǎo)為例。

1.回憶舊知，構(gòu)筑策略

師：回顧一下，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些圖形的面積計算公式？

生：我們已經(jīng)會算長方形、正方形、平行四邊形的面積。

師：還記得我們是如何得出長方形、平行四邊形的面積計算公式的嗎？

生：略。

2.變式遷移，探究學(xué)成

師：我們用數(shù)方格的方法，推導(dǎo)出長方形的面積計算公式;用剪拼轉(zhuǎn)化的方法，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式。那你打算用什么方法來研究三角形的面積計算公式呢？以四人小組為單位，設(shè)計一個研究方案，推導(dǎo)出三角形的面積計算公式。

學(xué)生以四人小組為單位合作探究、反饋。

生1：我們小組借助面積單位度量三角形的面積，如圖3，發(fā)現(xiàn)不同類型的三角形的面積都等于底乘高的一半。

[底4cm，高

4cm，面積

8cm2][底5cm，高

3cm，面積

7.5cm2][底3cm，高

4cm，面積

6cm2]

圖3

生2：我覺得用數(shù)方格的方法太麻煩，研究平行四邊形的面積時，我們走的是轉(zhuǎn)化之路，所以我們小組也用轉(zhuǎn)化的方法研究三角形的面積。我們發(fā)現(xiàn)用兩個完全相同的三角形都可以拼成平行四邊形，如圖4。因為平行四邊形的面積=底×高，所以三角形的面積=底×高÷2。

圖4

生3：我覺得轉(zhuǎn)化的方法比數(shù)方格的方法更具優(yōu)勢，但我有一個疑惑，如果只用一個三角形不知是否可以推導(dǎo)出面積計算公式？

師：多么有價值的問題，趕緊動手試試看。

生1：我有辦法。我把三角形沿著底邊上的高折出一條折痕，再把左右兩個三角形的底邊對折，通過旋轉(zhuǎn)，把三角形轉(zhuǎn)化為長方形，如圖5。長方形的長等于三角形底的一半，寬等于三角形的高，因為長方形的面積=長×寬，所以三角形的面積=底÷2×高=底×高÷2。

生2：受此啟發(fā)，我還可以把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖6。

生3：如果換個方向，也可以把三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖7。

圖5 ? ? ? ? ? ? ? 圖6 ? ? ? ? ? ? 圖7

生4：老師（非常激動地喊起來），我不但會計算三角形面積，還會計算梯形的面積。像圖4那樣把兩個相同的梯形拼成平行四邊形，算出平行四邊形的面積，除以2就成功了，如圖8。

生5：我們也可以像圖5那樣把兩個尖角通過旋轉(zhuǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化為長方形，如圖9。

圖8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖9

生6：我們還可以像圖6那樣，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖10。

生7：我們還可以像圖7那樣，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，如圖11。

圖10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖11

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要點不在于記憶大量的法則，而在于構(gòu)建充滿關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。當(dāng)我們以關(guān)聯(lián)方式理解數(shù)學(xué)，就會主動將新舊知識建立聯(lián)系，易于把握知識本質(zhì)，促進(jìn)理解。

[*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”重點規(guī)劃課題《小學(xué)數(shù)學(xué)智性學(xué)習(xí)研究》（批準(zhǔn)號：B-b/2013/02/352）的研究成果之一。]