一道2014年高考解析幾何試題的探究與推廣

趙明霞

如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直

線x=32相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質(zhì)1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），則過點(diǎn)F的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.

性質(zhì)2：過雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線

性質(zhì)3：過橢圓C：

同理，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.

性質(zhì)6：過拋物線上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=1.

四、總結(jié)

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點(diǎn)（橢圓非長軸頂點(diǎn)）的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直

線x=32相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質(zhì)1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），則過點(diǎn)F的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.

性質(zhì)2：過雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線

性質(zhì)3：過橢圓C：

同理，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.

性質(zhì)6：過拋物線上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=1.

四、總結(jié)

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點(diǎn)（橢圓非長軸頂點(diǎn)）的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

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如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直

線x=32相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí)，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質(zhì)1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），則過點(diǎn)F的通徑所在的直線方程為x=c，右準(zhǔn)線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點(diǎn)P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)2.

性質(zhì)2：過雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質(zhì)類比拓展到橢圓、拋物線

性質(zhì)3：過橢圓C：

同理，焦點(diǎn)在其他位置時(shí)性質(zhì)亦成立，于是可得性質(zhì)6.

性質(zhì)6：過拋物線上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=1.

四、總結(jié)

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點(diǎn)（橢圓非長軸頂點(diǎn)）的任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線與過焦點(diǎn)F的通徑所在的直線交于點(diǎn)M，與焦點(diǎn)F對應(yīng)的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，則|MF||NF|=e.

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