運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)一道中考題進(jìn)行探究與推廣

吳舒昊

中考試題是初中知識(shí)的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學(xué)的各種知識(shí)，是對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力的全面考查.縱觀中考數(shù)學(xué)試題中的后幾道大題，很多時(shí)候都需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)，有時(shí)甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來(lái).而2013年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等.它既考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，也考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)化和推理能力.借助幾何畫(huà)板對(duì)這道題進(jìn)行深入的探究，能進(jìn)一步挖掘題目的內(nèi)在本質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)極富趣味的規(guī)律，再進(jìn)一步進(jìn)行推廣，則能達(dá)到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)原題進(jìn)行探究

原題中，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)限制在AB的延長(zhǎng)線上，而且C點(diǎn)與B點(diǎn)不重合.現(xiàn)在，作者去掉這兩個(gè)條件，改為：C點(diǎn)在AB所在的直線上運(yùn)動(dòng).下面運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)題目進(jìn)行深入的探究.雖然原題中C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長(zhǎng)度一直保持不變，那么在幾何畫(huà)板中，可以畫(huà)出以C點(diǎn)為圓心、CD為半徑的圓，而D點(diǎn)則是圓C與圓O的交點(diǎn)；此時(shí)，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的變化而變化，但是保持CD的長(zhǎng)度等于OA的長(zhǎng)度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因?yàn)樵}只是規(guī)

圖4定D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，并沒(méi)有規(guī)定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個(gè)點(diǎn)D′，滿足條件CD′=OA，這個(gè)點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng).

1.C點(diǎn)在線段AB由A到B方向的延長(zhǎng)線上

從題目的設(shè)問(wèn)中，大家可以發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有三個(gè)關(guān)鍵位置：D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)、D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)以及OD與EA平行.

（1）D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn).由原題中的第一小問(wèn)可知：當(dāng)OC=22時(shí)，CD是圓O的切線.如圖4，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因?yàn)閮蓚€(gè)圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因?yàn)椤螼D′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個(gè)正方形.

（2）D點(diǎn)是CE的中點(diǎn).如圖5，當(dāng)D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)時(shí)，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′也是CE′的中點(diǎn)，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個(gè)等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當(dāng)OD∥EA時(shí)，∠2=∠5，∠1=∠6.又因?yàn)镺A=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個(gè)等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因?yàn)椤?=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因?yàn)椤?=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點(diǎn)線段OB上

若C點(diǎn)在線段OB上，此時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)為D點(diǎn)、E點(diǎn).因?yàn)镺D=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，

△DOC為等邊三角形.當(dāng)C點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，圓O和圓C重合.

3.C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊

若C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，當(dāng)C點(diǎn)在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與2中的情形相類(lèi)似；當(dāng)C點(diǎn)在線段AB由B到A方向的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與1中的情形相類(lèi)似.

三、對(duì)原題進(jìn)行推廣，得出三個(gè)推論

原題中，圓O的半徑為2，現(xiàn)在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據(jù)原題的設(shè)問(wèn)由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個(gè)結(jié)論.

1.D點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn)OC=2OA

如圖4，當(dāng)D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)時(shí)，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個(gè)正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當(dāng)時(shí)OC=2OA，因?yàn)閳AO和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時(shí)，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點(diǎn)、D′點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn).

2.D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)OC=3OA

由前文可知：當(dāng)D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)時(shí)，△OEC為直角三角形.此時(shí)，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當(dāng)OD∥EA時(shí)，△OED∽△CEO.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉(zhuǎn)化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時(shí)，∠5=∠7.又因?yàn)椤鱀OC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因?yàn)椤螮OC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據(jù)同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻(xiàn)

鄧?yán)^雄.借“畫(huà)板”'之手破中考?jí)狠S[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（8）.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

中考試題是初中知識(shí)的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學(xué)的各種知識(shí)，是對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力的全面考查.縱觀中考數(shù)學(xué)試題中的后幾道大題，很多時(shí)候都需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)，有時(shí)甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來(lái).而2013年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等.它既考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，也考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)化和推理能力.借助幾何畫(huà)板對(duì)這道題進(jìn)行深入的探究，能進(jìn)一步挖掘題目的內(nèi)在本質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)極富趣味的規(guī)律，再進(jìn)一步進(jìn)行推廣，則能達(dá)到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)原題進(jìn)行探究

原題中，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)限制在AB的延長(zhǎng)線上，而且C點(diǎn)與B點(diǎn)不重合.現(xiàn)在，作者去掉這兩個(gè)條件，改為：C點(diǎn)在AB所在的直線上運(yùn)動(dòng).下面運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)題目進(jìn)行深入的探究.雖然原題中C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長(zhǎng)度一直保持不變，那么在幾何畫(huà)板中，可以畫(huà)出以C點(diǎn)為圓心、CD為半徑的圓，而D點(diǎn)則是圓C與圓O的交點(diǎn)；此時(shí)，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的變化而變化，但是保持CD的長(zhǎng)度等于OA的長(zhǎng)度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因?yàn)樵}只是規(guī)

圖4定D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，并沒(méi)有規(guī)定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個(gè)點(diǎn)D′，滿足條件CD′=OA，這個(gè)點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng).

1.C點(diǎn)在線段AB由A到B方向的延長(zhǎng)線上

從題目的設(shè)問(wèn)中，大家可以發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有三個(gè)關(guān)鍵位置：D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)、D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)以及OD與EA平行.

（1）D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn).由原題中的第一小問(wèn)可知：當(dāng)OC=22時(shí)，CD是圓O的切線.如圖4，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因?yàn)閮蓚€(gè)圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因?yàn)椤螼D′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個(gè)正方形.

（2）D點(diǎn)是CE的中點(diǎn).如圖5，當(dāng)D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)時(shí)，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′也是CE′的中點(diǎn)，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個(gè)等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當(dāng)OD∥EA時(shí)，∠2=∠5，∠1=∠6.又因?yàn)镺A=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個(gè)等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因?yàn)椤?=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因?yàn)椤?=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點(diǎn)線段OB上

若C點(diǎn)在線段OB上，此時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)為D點(diǎn)、E點(diǎn).因?yàn)镺D=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，

△DOC為等邊三角形.當(dāng)C點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，圓O和圓C重合.

3.C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊

若C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，當(dāng)C點(diǎn)在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與2中的情形相類(lèi)似；當(dāng)C點(diǎn)在線段AB由B到A方向的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與1中的情形相類(lèi)似.

三、對(duì)原題進(jìn)行推廣，得出三個(gè)推論

原題中，圓O的半徑為2，現(xiàn)在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據(jù)原題的設(shè)問(wèn)由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個(gè)結(jié)論.

1.D點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn)OC=2OA

如圖4，當(dāng)D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)時(shí)，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個(gè)正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當(dāng)時(shí)OC=2OA，因?yàn)閳AO和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時(shí)，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點(diǎn)、D′點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn).

2.D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)OC=3OA

由前文可知：當(dāng)D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)時(shí)，△OEC為直角三角形.此時(shí)，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當(dāng)OD∥EA時(shí)，△OED∽△CEO.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉(zhuǎn)化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時(shí)，∠5=∠7.又因?yàn)椤鱀OC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因?yàn)椤螮OC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據(jù)同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻(xiàn)

鄧?yán)^雄.借“畫(huà)板”'之手破中考?jí)狠S[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（8）.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

中考試題是初中知識(shí)的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學(xué)的各種知識(shí)，是對(duì)學(xué)生的知識(shí)與能力的全面考查.縱觀中考數(shù)學(xué)試題中的后幾道大題，很多時(shí)候都需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)，有時(shí)甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來(lái).而2013年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等.它既考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，也考查了學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析、轉(zhuǎn)化和推理能力.借助幾何畫(huà)板對(duì)這道題進(jìn)行深入的探究，能進(jìn)一步挖掘題目的內(nèi)在本質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)極富趣味的規(guī)律，再進(jìn)一步進(jìn)行推廣，則能達(dá)到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)原題進(jìn)行探究

原題中，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)限制在AB的延長(zhǎng)線上，而且C點(diǎn)與B點(diǎn)不重合.現(xiàn)在，作者去掉這兩個(gè)條件，改為：C點(diǎn)在AB所在的直線上運(yùn)動(dòng).下面運(yùn)用幾何畫(huà)板對(duì)題目進(jìn)行深入的探究.雖然原題中C點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長(zhǎng)度一直保持不變，那么在幾何畫(huà)板中，可以畫(huà)出以C點(diǎn)為圓心、CD為半徑的圓，而D點(diǎn)則是圓C與圓O的交點(diǎn)；此時(shí)，D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的變化而變化，但是保持CD的長(zhǎng)度等于OA的長(zhǎng)度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因?yàn)樵}只是規(guī)

圖4定D點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，并沒(méi)有規(guī)定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個(gè)點(diǎn)D′，滿足條件CD′=OA，這個(gè)點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng).

1.C點(diǎn)在線段AB由A到B方向的延長(zhǎng)線上

從題目的設(shè)問(wèn)中，大家可以發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有三個(gè)關(guān)鍵位置：D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)、D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)以及OD與EA平行.

（1）D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn).由原題中的第一小問(wèn)可知：當(dāng)OC=22時(shí)，CD是圓O的切線.如圖4，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因?yàn)閮蓚€(gè)圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因?yàn)椤螼D′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個(gè)正方形.

（2）D點(diǎn)是CE的中點(diǎn).如圖5，當(dāng)D點(diǎn)是CE的中點(diǎn)時(shí)，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，D點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′也是CE′的中點(diǎn)，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個(gè)等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當(dāng)OD∥EA時(shí)，∠2=∠5，∠1=∠6.又因?yàn)镺A=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個(gè)等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因?yàn)椤?=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因?yàn)椤?=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點(diǎn)線段OB上

若C點(diǎn)在線段OB上，此時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，CD所在的直線與圓O的交點(diǎn)為D點(diǎn)、E點(diǎn).因?yàn)镺D=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，

△DOC為等邊三角形.當(dāng)C點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，圓O和圓C重合.

3.C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊

若C點(diǎn)在O點(diǎn)的左邊，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，當(dāng)C點(diǎn)在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與2中的情形相類(lèi)似；當(dāng)C點(diǎn)在線段AB由B到A方向的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形的變化與1中的情形相類(lèi)似.

三、對(duì)原題進(jìn)行推廣，得出三個(gè)推論

原題中，圓O的半徑為2，現(xiàn)在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據(jù)原題的設(shè)問(wèn)由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個(gè)結(jié)論.

1.D點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn)OC=2OA

如圖4，當(dāng)D點(diǎn)為圓O的切點(diǎn)時(shí)，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個(gè)正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當(dāng)時(shí)OC=2OA，因?yàn)閳AO和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時(shí)，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點(diǎn)、D′點(diǎn)為圓O、圓C的切點(diǎn).

2.D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)OC=3OA

由前文可知：當(dāng)D點(diǎn)為CE的中點(diǎn)時(shí)，△OEC為直角三角形.此時(shí)，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

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3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當(dāng)OD∥EA時(shí)，△OED∽△CEO.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉(zhuǎn)化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時(shí)，∠5=∠7.又因?yàn)椤鱀OC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因?yàn)椤螮OC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據(jù)同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻(xiàn)

鄧?yán)^雄.借“畫(huà)板”'之手破中考?jí)狠S[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（8）.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint