談彈簧的彈力和彈性勢(shì)能

葉正勇

（浙江省衢州第二中學(xué)，浙江 衢州 324000）

彈簧是中學(xué)物理中常見的研究對(duì)象，大量的中學(xué)物理問(wèn)題中均會(huì)涉及到彈簧.彈簧問(wèn)題往往與高中物理的核心規(guī)律——牛頓運(yùn)動(dòng)定理，能量的轉(zhuǎn)化與守恒規(guī)律以及彈力的規(guī)律密切相關(guān)，從而成為高中物理的重點(diǎn).然而，教學(xué)實(shí)踐表明，不少的學(xué)生在學(xué)習(xí)了彈簧的相關(guān)知識(shí)后，在概念、規(guī)律的理解上還存在著不少的誤區(qū).出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因主要不在學(xué)生，而與教師對(duì)相關(guān)知識(shí)的講解只浮于表面，沒(méi)有深入透徹的分析有關(guān).本文就彈簧知識(shí)的幾個(gè)核心問(wèn)題：彈簧模型的特點(diǎn)及彈簧彈力的概念；彈力大小的規(guī)律——胡克定理的準(zhǔn)確理解及適用范圍；彈簧彈性勢(shì)能的特點(diǎn)等做全面深入的分析，以期提高彈簧知識(shí)的教學(xué)與學(xué)習(xí)的效果.

1 在正確建立彈簧模型的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確把握彈簧彈力的概念

彈簧的本質(zhì)屬性是具有彈性（形變后能恢復(fù)原狀的性質(zhì)），故彈簧只能模型化為彈性體，而不能模型化為質(zhì)點(diǎn)或剛體.在中學(xué)階段，學(xué)生所學(xué)習(xí)的最重要的（幾乎是唯一的一種）彈性體模型就是彈簧.突出了具有彈性這一本質(zhì)特征，而忽略了質(zhì)量、粗細(xì)等次要或無(wú)關(guān)因素的彈簧，稱為理想彈簧（或稱輕質(zhì)彈簧，簡(jiǎn)稱彈簧，中學(xué)階段只討論理想彈簧）.對(duì)于理想彈簧，若從質(zhì)點(diǎn)組的角度來(lái)看，可視為由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)（連續(xù)介質(zhì)）所組成的一種特殊質(zhì)點(diǎn)組，且相鄰的質(zhì)點(diǎn)之間存在著相互的作用力.所謂彈簧的彈力，就是這種質(zhì)點(diǎn)組中任意兩個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力.

在建立了理想彈簧的模型后，中學(xué)階段講授彈簧彈力的概念時(shí)應(yīng)向?qū)W生點(diǎn)明：

（1）彈簧彈力的本質(zhì).

彈簧中任意相鄰的兩部分之間的相互作用力定義為彈簧的彈力.該力起因于所考查的這兩部分中的每一部分均發(fā)生了彈性形變，且均要恢復(fù)原狀的彈性.若彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，此時(shí)的彈力是相互吸引力；若處于壓縮狀態(tài)，則彈力是相互排斥力.若是只考查彈簧中的某一部分，說(shuō)到該部分的彈力時(shí)，應(yīng)明確指出是它所受到的彈力還是它所施出的彈力.這樣才有確定的含義.

（2）彈力大小的特點(diǎn).

鑒于理想彈簧的質(zhì)量不計(jì)，發(fā)生了彈性形變的彈簧中任意兩點(diǎn)的彈力，其大小一定相等.這是因?yàn)?，以這兩點(diǎn)之間的這段彈簧為研究對(duì)象，由牛頓第二定律可知，該段彈簧受到的合力為0，故這兩點(diǎn)的彈力相等.由于彈力大小的等值性特點(diǎn)（其大小與所考查的彈簧上的點(diǎn)無(wú)關(guān)），講到彈簧彈力的大小時(shí)，就無(wú)需點(diǎn)明是彈簧中哪一點(diǎn)的，而只是籠統(tǒng)地稱為是整根彈簧的.在中學(xué)階段，講到彈簧彈力大小，通常指的是所考察的彈簧兩端點(diǎn)的彈力大?。磸椈蓪?duì)外作用力的大小或者彈簧受到外界作用的力的大?。?一旦將形變的理想彈簧任一端點(diǎn)所受的外力撤去，即該點(diǎn)的彈力為0，則整根彈簧（其上各點(diǎn)）的彈力均變?yōu)?，這時(shí)，彈簧的形變將立即消失而恢復(fù)原長(zhǎng).此外，彈簧彈力大小等值性的特點(diǎn)與所研究的彈簧所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，即無(wú)論彈簧是否處于平衡狀態(tài)，其上各點(diǎn)彈力的大小均相等.

（3）彈力變化的漸變性特點(diǎn).

彈簧的彈力起因于它的彈性形變，當(dāng)受彈簧彈力作用的物體（高中段通常均模型化為剛體）受到的其它力（不含彈簧的彈力）發(fā)生變化的瞬間，由于該物體的位置來(lái)不及改變，該瞬間彈簧的形變也來(lái)不及改變，故它的彈力幾乎不變，此即彈簧彈力變化的漸變性，換句話說(shuō)，此時(shí)彈簧的彈力不能發(fā)生突變.這是彈簧彈力明顯不同于理想輕繩的彈力的重要特征.值得注意的是，不要將彈簧彈力變化的漸變性與彈力大小等值性中所說(shuō)的彈簧的彈力隨著它一端彈力的消失而立即消失的特點(diǎn)相混淆，顯然，這兩種情形的條件和前提均不同.

2 準(zhǔn)確理解胡克定律及其適用范圍

實(shí)驗(yàn)表明，彈簧彈力的大小與它的形變量（即伸長(zhǎng)量或壓縮量）成正比，彈力的大小與形變量的比值稱為彈簧的勁度系數(shù).這就是胡克定律.胡克定律定量揭示了彈簧彈力大小的決定因素，是彈性力學(xué)的基礎(chǔ).為了使學(xué)生掌握好該定律，在教學(xué)中應(yīng)闡明：

（1）定律中所涉及的每一個(gè)量的確切含義.

一是定律涉及的力是所考察的對(duì)象——彈簧的彈力.在一般情形中，該力不是彈簧下懸掛物的重力.二是彈簧的形變量意指處于形變狀態(tài)下的彈簧的長(zhǎng)度與它的自然長(zhǎng)度之差.需強(qiáng)調(diào)的是，彈簧的自然長(zhǎng)度（又稱原長(zhǎng)）應(yīng)是彈簧中的各點(diǎn)均不受彈力時(shí)（即彈簧處于自然狀態(tài)下）的長(zhǎng)度.如將一根要計(jì)重量的彈簧自由懸掛處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，其長(zhǎng)度就不是該彈簧的自然長(zhǎng)度.三是勁度系數(shù)是描述彈簧自身屬性（彈性）的物理量，由彈簧自身的因素（彈簧的自然長(zhǎng)度，材料等）決定，與彈簧所處的狀態(tài)（形變程度及彈力大?。o(wú)關(guān).對(duì)于給定的彈簧，其勁度系數(shù)是一定值.而不同的彈簧通常勁度系數(shù)不同，即它們的彈性不同.勁度系數(shù)越大的彈簧，同樣形變狀態(tài)下彈力越大，這種彈簧就越硬.可以證明：在其他因素均相同、僅自然長(zhǎng)度不同的情形下，彈簧的勁度系數(shù)與它的自然長(zhǎng)度成反比.

（2）定律和適用范圍.

物理規(guī)律是對(duì)實(shí)驗(yàn)事實(shí)的總結(jié)，它是在某些特定的條件下，對(duì)物理事件的普遍必然聯(lián)系的反映，因此任何物理規(guī)律均有成立的前提條件或適用范圍.對(duì)于胡克定律的適用范圍應(yīng)明確：

一是對(duì)于理想彈簧（即輕質(zhì)彈簧）胡克定律成立.此時(shí)定律中的彈力大小既是所研究的彈簧上任一點(diǎn)的彈力大小（該點(diǎn)兩側(cè)相互作用的一對(duì)力中任一個(gè)力的大?。?，也是彈簧的兩端點(diǎn)中的任一端所受到的外力大小或者兩端點(diǎn)中的任一端對(duì)外界所施加的作用力的大小.在高中階段的彈簧問(wèn)題絕大多數(shù)屬于這種情形.

圖1

二是對(duì)處于二力平衡狀態(tài)下的質(zhì)量不能忽略的彈簧，胡克定律也適用.這時(shí)彈簧彈力的大小同樣具有等值性，均等于彈簧的任一端所受到的外力大小.例如用圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置來(lái)驗(yàn)證胡克定律，就屬于這種情形.圖中實(shí)驗(yàn)桌水平光滑，彈簧在二力（一個(gè)是彈簧左側(cè)的擋板對(duì)它的作用力，另一個(gè)是砝碼的重力通過(guò)理想定滑輪對(duì)彈簧的拉力）作用下處于平衡狀態(tài)，此時(shí)彈簧中各點(diǎn)的彈力大小均等于砝碼的重力大小.

圖2

圖3

整根彈簧的總伸長(zhǎng)量x應(yīng)為每一小段dl的伸長(zhǎng)量dx的累加，積分有

對(duì)于圖4的情形，將質(zhì)量為m0，勁度系數(shù)為k的彈簧豎起懸掛后再在其下端掛上質(zhì)量為m的砝碼處于平衡狀態(tài).此時(shí)，彈簧上各點(diǎn)的彈力顯然也不同，胡克定理對(duì)整根彈簧也不成立.用上面的方法，同理可證明，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量x為

圖4

（1）式表明：對(duì)整根彈簧而言，彈簧下端的彈力大?。ǖ扔陧来a重力mg）與彈簧的伸長(zhǎng)量并不成正比，但兩者具有線性關(guān)系，且Δ（mg）/Δx＝k.這就是在高中物理實(shí)驗(yàn)中依然采用圖4所示的裝置來(lái)驗(yàn)證胡克定律的原因（實(shí)驗(yàn)中所用的彈簧嚴(yán)格來(lái)說(shuō)質(zhì)量不能忽略）.但應(yīng)明確的是，圖4的實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證的是（1）式，并沒(méi)有驗(yàn)證本義上的胡克定律.當(dāng)然，若把彈簧的伸長(zhǎng)量規(guī)定為，掛了砝碼時(shí)的彈簧長(zhǎng)度與不掛砝碼時(shí)彈簧長(zhǎng)度的差值x′，即規(guī)定x′＝xm0g/（2k），由（1）式可知，x′的確與彈簧下端的彈力成正比，即mg＝kx′，若實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了mg＝kx′，也就間接地驗(yàn)證了胡克定律.

圖5

如圖5所示，質(zhì)量不能忽略的彈簧其一端在恒定外力F（彈簧所受的唯一的外力）作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)方向沿彈簧軸線）.在這種情形中，根據(jù)牛頓第二定律，該彈簧上不同點(diǎn)的彈力顯然不同，即彈簧上的彈力也不具有等值性，故胡克定律同樣不成立.根據(jù)前面的思路同理可以證明，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為F/（2k）.該結(jié)論可以從對(duì)稱性和疊加思想加以解釋：在圖5中，若彈簧的左端再作用一個(gè)大小為F，方向向左的外力，如圖6（c）所示，此時(shí)，彈簧處于平衡狀態(tài)，其上各點(diǎn)的彈力大小均等于F，胡克定律成立，因此彈簧的伸長(zhǎng)量為F/k.而圖6的情形可以視為圖6（a）和圖6（b）兩種情況的疊加；又因?yàn)閷?duì)圖6（a）與圖6（b）兩種情形，外力對(duì)彈簧的作用是對(duì)稱的，彈簧有著相同的伸長(zhǎng)量，因此，每一種情況（即圖5情形）的伸長(zhǎng)量為F/（2k）.

圖6

概括以上3點(diǎn)，對(duì)于胡克定律適用范圍，準(zhǔn)確的理解是：胡克定律只適用于彈簧上各點(diǎn)的彈力具有等值性的彈簧，換句話說(shuō)，對(duì)于理想彈簧（無(wú)論處于何種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——平衡態(tài)以及非平衡態(tài)）胡克定律均成立；而對(duì)于要計(jì)及質(zhì)量的非理想彈簧，胡克定律并不一定成立，此時(shí)需要具體問(wèn)題具體分析.因此，在高中階段的實(shí)際教學(xué)中，考慮到學(xué)生的可接受性，涉及到的彈簧均應(yīng)視為理想化的輕質(zhì)彈簧，即胡克定律成立的彈簧.

3 準(zhǔn)確把握彈簧彈力做功特點(diǎn)，全面深入理解彈簧的彈性勢(shì)能

圖7

理想彈簧可模型化為質(zhì)點(diǎn)組，如圖7所示.圖中輕質(zhì)彈簧（勁度系數(shù)為k）兩端連接有兩只剛性小球A、B，開始時(shí)，彈簧處于壓縮狀態(tài)（壓縮量為x）.一旦彈簧的狀態(tài)發(fā)生變化，其中的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)均有位移，且每個(gè)質(zhì)點(diǎn)又受到彈力作用（來(lái)自于彈簧中的與其相鄰的其他質(zhì)點(diǎn)），因此彈力將對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)做功.所謂彈簧彈力做的功（簡(jiǎn)稱彈簧做功），其確切的含義是：將彈簧模型化為質(zhì)點(diǎn)組后，彈力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所做功的代數(shù)和，而每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受到的彈力則來(lái)自于與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)組中的另外的質(zhì)點(diǎn).可見，彈簧做功的實(shí)質(zhì)是彈簧系統(tǒng)的內(nèi)力（即相鄰質(zhì)點(diǎn)間的彈力）做的總功.對(duì)于理想彈簧，彈力做功具有以下特點(diǎn)：

（1）彈簧彈力做的功等于彈簧系統(tǒng)中首、尾兩質(zhì)點(diǎn)以彈力相互作用的一對(duì)內(nèi)力的合功.

在圖7中，研究彈簧從圖示狀態(tài)變?yōu)樽匀粻顟B(tài)的過(guò)程，對(duì)該過(guò)程的任一元過(guò)程，彈簧系統(tǒng)中1、2、3…n－1、n各質(zhì)點(diǎn)的元位移分別為dx1、dx2、dx3、…dxn－1、dxn，由于是理想彈簧，任意兩個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn)間相互作用的彈力的大小均相等，設(shè)為F，則該彈簧系統(tǒng)的內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)中所有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)做的總元功（即彈簧彈力做的元功）為

該式表明，彈簧系統(tǒng)中所有質(zhì)點(diǎn)相互作用的內(nèi)力做的總功（即彈簧彈力做的功）可等效為彈簧的首、尾兩質(zhì)點(diǎn)之間存在著彈力相互作用，且等于這一對(duì)相互作用的彈力做的合功.

在圖7中，考慮到彈簧與剛性球A、B相連，由于A球的位移與質(zhì)點(diǎn)1的位移相同，為dx1，B球的位移為dxn，且A、B兩球受到的彈簧作用力的大小均為F，故上述元過(guò)程中彈簧對(duì)A球做的功dWA＝dW1，對(duì)B球做的功dWB＝dWn，因此得到

此式進(jìn)一步表明，彈簧彈力做的功（本義是彈簧系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力——彈力做的總功）等于彈簧對(duì)與之相連的外物施加的作用力對(duì)外物做的總功.

圖8

（2）彈簧彈力做的功僅取決于彈簧的初、末狀態(tài)，而與過(guò)程的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān).

如圖8所示，理想彈簧的一端固定在O點(diǎn)，另一端與小球P（視為質(zhì)點(diǎn)）相連，小球P的初位置在A點(diǎn)，由于彈簧狀態(tài)的變化，它的末位置變到B點(diǎn).在此過(guò)程中，彈簧彈力做的功等于彈簧對(duì)A球的作用力對(duì)A球做的功.設(shè)彈簧的自然長(zhǎng)度為l0，勁度系數(shù)為k，對(duì)任一元過(guò)程r－r＋dr，彈力做的元功

式中F為該元過(guò)程中彈簧對(duì)小球的作用力，此力滿足胡克定律，r為該元過(guò)程小球相對(duì)于O點(diǎn)的初位矢，dr是小球的元位移，l是小球在元過(guò)程的初位矢的大小，即此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，dl為小球元過(guò)程中位矢大小的變化量，即彈簧長(zhǎng)度的變化量.

將上式對(duì)上球從A位置到B位置的全過(guò)程積分，即得整個(gè)過(guò)程中彈簧的彈簧做的功W，故有

式中xA、xB分別表示彈簧在初、末位置的形變量.

上式表明，彈簧彈力做的功取決于彈簧的自身屬性（勁度系數(shù)k）以及它的初、末狀態(tài)（初、末態(tài)彈簧的長(zhǎng)度或形變量），而與它從初態(tài)變到末態(tài)過(guò)程的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)，換句話說(shuō)，彈簧的彈力是保守力.

（3）彈簧彈力做的功與參考系的選擇無(wú)關(guān).

圖9

在圖8的情形中，若彈簧的另一端并不固定，而是與另一只小球Q相連（見圖9），在這種情況下，當(dāng)彈簧狀態(tài)發(fā)生變化的過(guò)程中，彈簧彈力所做的功將等于彈簧對(duì)P，Q兩球分別做功的代數(shù)和.由于彈簧對(duì)P的作用力與對(duì)Q的作用力具有等大反向共線的特點(diǎn)，這一對(duì)力做的合功只取決于相互作用力的特點(diǎn)及變化過(guò)程中兩球的相對(duì)位移.換句話說(shuō)，這一對(duì)力做的合功與參考系的選取無(wú)關(guān)，無(wú)論選擇哪個(gè)參考系，這一對(duì)力的合功都是相同的.因此，在圖9的情況下，只要選小球Q為參考系，在此參考系中，求得彈簧對(duì)小球P做的功，即彈簧對(duì)P、Q兩球做的總功.顯然，以Q球?yàn)閰⒖枷?，彈簧彈力做的功與圖8的情形完全相同，即

從該式也可明顯看出，彈簧彈力做的功取決于彈簧自身的屬性及其狀態(tài)的變化，而與參考系的選取無(wú)關(guān).

從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，彈簧彈力做功其實(shí)是彈簧系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的內(nèi)力做的總功，由于成對(duì)內(nèi)力（相互作用的一對(duì)力）做功的絕對(duì)性（功與參考系的選取無(wú)關(guān)）必然可得出彈簧彈力做功也具有絕對(duì)性（與參考系選擇的無(wú)關(guān)性）.

在全面把握彈簧彈力做功特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)勢(shì)能的普遍定義，建立了彈簧彈性勢(shì)能的概念.對(duì)于彈簧彈性勢(shì)能的理解，應(yīng)明確以下幾點(diǎn).

（1）彈簧彈性勢(shì)能符合勢(shì)能的普遍定義.

對(duì)某一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，若系統(tǒng)中相互作用的內(nèi)力為保守力，即系統(tǒng)中成對(duì)的相互作用力做的總功與受力體的路徑無(wú)關(guān)，則可引入與該保守力相對(duì)應(yīng)的勢(shì)能，且勢(shì)能的減量（增量的負(fù)值）定義為保守內(nèi)力做的總功.設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)A0，這兩個(gè)狀態(tài)的勢(shì)能分別為EpA、EpA0，則有EpA－EpA0＝WAA0.

根據(jù)保守力作用的特點(diǎn)及產(chǎn)生的原因的不同，有不同的保守力就對(duì)應(yīng)著不同的勢(shì)能.若保守力是重力，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能即重力勢(shì)能；保守力是萬(wàn)有引力，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為引力勢(shì)能；保守力是分子力，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能為分子勢(shì)能；保守力是電荷間的相互作用力，對(duì)應(yīng)的勢(shì)能就是電勢(shì)能等等.

理想彈簧系統(tǒng)的彈力做功也具有與路徑無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，即彈簧的彈力也是保守力，因而可引入彈簧的彈性勢(shì)能.根據(jù)勢(shì)能的普遍定義，彈簧彈性勢(shì)能的減量定義為彈簧彈力做的功.從前面的分析可知，彈簧彈力做功的本義即彈簧系統(tǒng)中相互作用的內(nèi)力——彈力做的總功，該功也等于彈簧的彈力對(duì)外界做的總功.根據(jù)上述定義，彈簧彈力做正功的過(guò)程就是彈簧的彈性勢(shì)能減少（或釋放）的過(guò)程，從能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)來(lái)看，也就是彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為其它能量的過(guò)程；反之，彈簧彈力做負(fù)功的過(guò)程，是彈簧的彈性勢(shì)能增加的過(guò)程，也就是其它形式的能量轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能的過(guò)程.且彈簧彈力做功的數(shù)值是彈性勢(shì)能變化的量度.

就理想彈簧而言，由于它模型化為有彈力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，且忽略各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，因此該彈簧只有彈性勢(shì)能而沒(méi)有動(dòng)能和重力勢(shì)能.從能量轉(zhuǎn)化的視角來(lái)看，當(dāng)彈簧彈力做功改變彈性勢(shì)能時(shí)，彈性勢(shì)能的變化（增加或減少）只能來(lái)自于與彈簧相接觸的外界的其他能與之發(fā)生的相互轉(zhuǎn)化，此時(shí)的彈力做的功是外界的其它能量與彈簧的彈性勢(shì)能發(fā)生轉(zhuǎn)化的量度.在中學(xué)階段要進(jìn)行定量研究的主要就是這種情形.

（2）彈簧彈性勢(shì)能的計(jì)算公式.

③彈簧彈性勢(shì)能的狀態(tài)性和與參考系無(wú)關(guān)的絕對(duì)性.作為彈簧彈性勢(shì)能的決定式，從（3）式可知，影響彈簧彈性勢(shì)能的因素有：彈簧自身的屬性（勁度系數(shù)）以及彈簧所處的狀態(tài)（所考察的狀態(tài)及參考狀態(tài)的形變量）兩個(gè)方面，而與其他因素一概無(wú)關(guān).因此彈簧彈性勢(shì)能具有狀態(tài)性（取決于彈簧所處的狀態(tài)，而不是過(guò)程）和與參考系的選取無(wú)關(guān)的絕對(duì)性.狀態(tài)性是各種形式能量的普遍特征，而與參考系選擇無(wú)關(guān)的絕對(duì)性則不盡然，如動(dòng)能就與參考系的選擇直接相關(guān).是滿足胡克定律的彈簧彈力做的功，自然（3）式也只適用于計(jì)算遵守胡克定律的彈簧的彈性勢(shì)能，故在高中階段計(jì)算彈性勢(shì)能時(shí)，均要求是理想彈簧.

（3）彈簧彈性勢(shì)能的特點(diǎn).

從彈簧彈性勢(shì)能的定義及其計(jì)算公式，可以看出，彈簧的彈性勢(shì)能具有如下特點(diǎn).

① 彈性勢(shì)能是歸屬于彈簧系統(tǒng)自身的.誰(shuí)擁有彈性勢(shì)能？是發(fā)生彈性形變的系統(tǒng)（即彈性體）自身；彈性勢(shì)能儲(chǔ)存在彈性形變的系統(tǒng)內(nèi)部.對(duì)于不會(huì)發(fā)生形變的物體（如質(zhì)點(diǎn)或剛體）就沒(méi)有彈性勢(shì)能.因此，彈簧的彈性勢(shì)能應(yīng)是這根彈簧自身所具有的.

②彈性勢(shì)能的相對(duì)性，彈性勢(shì)能變化的絕對(duì)性.從（3）式可知，彈簧在某一狀態(tài)下的彈性勢(shì)能，由于常數(shù)C的取值不同，具有不確定性；只有當(dāng)人為規(guī)定了彈簧在某一特定狀態(tài)（稱參考態(tài)）下的彈性勢(shì)能（通常規(guī)定為0），即C才有確定的數(shù)值后，其它狀態(tài)的彈性勢(shì)能才能隨之確定.因此，彈簧的彈性勢(shì)能是相對(duì)于參考態(tài)而言的，它將隨參考態(tài)選取的不同而不同，這就是彈性勢(shì)能的相對(duì)性.通常默認(rèn)取彈簧的自然狀態(tài)為參考態(tài)，即x＝0時(shí)，規(guī)定Ep＝0，由（3）式得C＝0.在這種情況下，彈簧的彈性勢(shì)能具有最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式

④ 彈簧的彈性勢(shì)能是廣延量，具有累加性.彈簧在某一狀態(tài)的彈性勢(shì)能等于在該狀態(tài)下其中各個(gè)部分彈性勢(shì)能的累加，即總的彈性勢(shì)能等于各部分彈性勢(shì)能之和，茲證明如下.

圖10

如圖10所示，勁度系數(shù)為k的理想彈簧在某狀態(tài)下的形變量為x，設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為l0，則從l－l＋dl的任一小段彈簧的形變量

因此該一小段彈簧的彈性勢(shì)能為

將這根彈簧上每一小段的彈性勢(shì)能累加，積分得

可見，結(jié)果正好是整根彈簧的彈性勢(shì)能.因此彈性勢(shì)能具有累加性.

綜上所述，在高中階段彈簧知識(shí)的教學(xué)中，為了取得良好的教學(xué)效果，使學(xué)生深刻理解彈簧的相關(guān)知識(shí)并能正確解決彈簧問(wèn)題，關(guān)鍵在于通過(guò)透徹的分析闡述，使學(xué)生明白：高中階段所研究的彈簧均是理想彈簧（彈簧的質(zhì)量跟和它接觸的物體的質(zhì)量相比可忽略的彈簧）.對(duì)于理想化的彈簧，其核心知識(shí)包括以下幾點(diǎn).

（1）彈簧的彈力意指彈簧中任意相鄰的兩部分之間的相互作用力，理想彈簧的彈力具有等值性（其上各點(diǎn)彈力的大小相等）.

（2）理想彈簧彈力的大小遵守胡克定律，胡克定律求得的是彈簧上任一點(diǎn)的彈力大小，該大小指的是彈簧中任一點(diǎn)兩側(cè)相互作用的一對(duì)彈力中任意一個(gè)力的大小，且該定律與彈簧的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān).

（3）理想彈簧彈力做的功意指彈簧系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)做的總功，該功又等于彈簧對(duì)外界所做的功；彈簧彈力做的功具有跟路徑無(wú)關(guān)的保守性及參考系的選取無(wú)關(guān)的絕對(duì)性.彈性勢(shì)能是彈簧自身所具有的，它可以通過(guò)彈簧彈力做功與外界的其他能量發(fā)生轉(zhuǎn)化，且彈簧彈力做的功等于彈簧彈性勢(shì)能增量的負(fù)值；彈性勢(shì)能具有相對(duì)性（與參考態(tài)的選取有關(guān)），系統(tǒng)性（歸屬于彈簧系統(tǒng)自身），絕對(duì)性（與參考系的選取無(wú)關(guān)）以及累加性（總勢(shì)能等于各部分勢(shì)能之和）的特點(diǎn).