輔助索接地的簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)的阻尼和頻率

周?？?， 楊 夏

（深圳大學(xué)廣東省濱海土木工程耐久性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東深圳518060）

輔助索接地的簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)的阻尼和頻率

周?？?， 楊 夏

（深圳大學(xué)廣東省濱海土木工程耐久性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東深圳518060）

索網(wǎng)-阻尼器-接地輔助索系統(tǒng)的振動(dòng)特性研究對(duì)于拉索減振問(wèn)題具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值.本文建立了由2根水平拉索和1根錨固于橋面的輔助索組成的簡(jiǎn)化索網(wǎng)系統(tǒng)，將輔助索簡(jiǎn)化為線性彈簧單元，基于弦理論，由拉索錨固端的位移邊界條件和阻尼器、輔助索安裝位置處位移及力的連續(xù)條件，推導(dǎo)得索網(wǎng)系統(tǒng)的復(fù)特征值方程，并由此求得阻尼和頻率的數(shù)值解.以3、4階振動(dòng)模態(tài)為例，討論了彈簧剛度、安裝位置對(duì)最大模態(tài)阻尼比、阻尼器的最優(yōu)阻尼系數(shù)和相應(yīng)振動(dòng)頻率的影響.研究結(jié)果表明，索網(wǎng)系統(tǒng)的各階模態(tài)存在奇數(shù)階和偶數(shù)階兩種模態(tài)，兩種振動(dòng)模態(tài)具有不同的振動(dòng)特性.隨著輔助索與橋面連接段剛度的增加，最大模態(tài)阻尼比可能的取值上限將增加至單索-阻尼器系統(tǒng)的最大模態(tài)阻尼比值的2.0～2.4倍，但輔助索可選擇的優(yōu)化安裝區(qū)間則變得更為狹窄和分散.

索網(wǎng)；輔助索；阻尼器；模態(tài)阻尼比；頻率

拉索是纜索承重橋梁的重要構(gòu)件之一，其易在風(fēng)雨振動(dòng)［1］等外部激勵(lì)下產(chǎn)生劇烈振動(dòng).目前，拉索減振是建設(shè)斜拉橋，尤其是大跨徑斜拉橋所必須考慮的重要問(wèn)題之一.為了抑制拉索的振動(dòng)，工程中常采用安裝機(jī)械阻尼器［2-4］、氣動(dòng)措施［5］、輔助索［6］等措施，同時(shí)安裝輔助索和阻尼器可提高拉索的振動(dòng)頻率和阻尼［7］.Yamaguchi和Nagahawatta進(jìn)行了簡(jiǎn)化索網(wǎng)模型的試驗(yàn)研究，并運(yùn)用能量法分析了輔助索提供的模態(tài)阻尼比［8］.Sun對(duì)三根拉索構(gòu)成的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究［9］，結(jié)果表明安裝輔助索后拉索模態(tài)阻尼增加有限.Caracoglia和Jones運(yùn)用半解析法研究了索網(wǎng)的面內(nèi)振動(dòng)頻率和振動(dòng)特性［10］，并運(yùn)用該方法對(duì)實(shí)橋進(jìn)行了分析［11-12］.但由于索網(wǎng)系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)分布密集，涉及參數(shù)眾多，索端阻尼器和輔助索兩種減振措施之間如何相互影響仍不清晰，索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)的減振優(yōu)化設(shè)計(jì)方法尚未有效建立.

基于已有的研究成果和本課題組最近的研究［13-14］，本文提出了簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)，根據(jù)復(fù)模態(tài)分析方法得到了該系統(tǒng)的復(fù)特征值方程.通過(guò)數(shù)值方法求解復(fù)特征值方程，進(jìn)一步研究了輔助索的剛度、安裝位置對(duì)索網(wǎng)體系最大模態(tài)阻尼比、對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)和振動(dòng)頻率的影響.

1 系統(tǒng)的復(fù)特征值方程

簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)模型如圖1所示，Lj（j＝1，2）為第j根拉索的長(zhǎng)度，且L1＝L2＋2Δl，mj為第j根拉索單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，Tj為第j根拉索的張力，cj為第j根拉索上附加的阻尼器的阻尼系數(shù)，kj為上端與第j根拉索連接的彈簧剛度，被阻尼器和彈簧分開(kāi)的拉索的長(zhǎng)度為ljp（p＝1，2，3），xjp為相應(yīng)的軸向坐標(biāo).

圖1 簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)Fig.1 Simplified cable-network-damper system

各段拉索的線性運(yùn)動(dòng)方程［15］：

式中：yjp（xjp，t）為拉索的豎向位移.

假定無(wú)量綱的時(shí)間τ＝ωo1t，ωo1＝π／L1（T1／m1）1／2為上索的圓頻率，則各段拉索自由振動(dòng)的位移可表示為

式中：Yjp（xjp）為復(fù)模態(tài)振型；λ為系統(tǒng)的復(fù)特征值，λ＝α＋iβ，i為虛數(shù)單位，β為系統(tǒng)的無(wú)量綱振動(dòng)頻率.

將式（2）代入式（1），得

式中：fj＝ωo1／ωoj為第1根拉索與第j根拉索的頻率比，ωoj＝π／Lj（Tj／mj）1／2為第j根拉索的圓頻率.

系統(tǒng)模態(tài)阻尼比為

根據(jù)拉索在阻尼器和彈簧安裝位置處位移的連續(xù)條件，Yjp（xjp）可表示為

式中：Ajp和Bjp為與拉索振幅相關(guān)的待定參數(shù).

由拉索錨固端的位移邊界條件可得

由阻尼器和彈簧安裝位置處位移的連續(xù)條件可得

由阻尼器和彈簧安裝位置處力的平衡條件可得

將式（2）和式（5）代入式（6）～（8），并將式（7）～（8）改寫為矩陣形式：

式中：S為復(fù)系數(shù)矩陣，

Φ為復(fù)待定參數(shù)向量，

Φ＝［A11A12B12A13A21A22B22A23］T.

要使得Φ≠0，需滿足det［S］＝0，展開(kāi)可得簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器的復(fù)特征值方程：

式中：Гjp＝πfjλljp／Lj；Гj＝πfjλ；無(wú)量綱阻尼系數(shù)ηj＝cj／（Tjmj）1／2；無(wú)量綱彈簧剛度γj＝kjLj／πTj；質(zhì)量張力比νj＝（T1m1／Tjmj）0.5.

對(duì)于指定的γj、ηj、ν2、ljp／Lj，可通過(guò)數(shù)值方法求式（10）得到對(duì)應(yīng)的λ值，將λ值代入式（9）求得對(duì)應(yīng)的待定參數(shù)向量后，由式（9）可得對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型.

2 參數(shù)分析

式（10）中包含參數(shù)較多，而實(shí)際工程中，相鄰兩根拉索的設(shè)計(jì)參數(shù)接近，因此本文假設(shè)m1＝m2，T1＝T2，L2／L1＝0.8，c1＝c2，l11／L1＝l21／L2＝2%，則f2＝0.8，ν2＝1，而工程中為節(jié)約成本，一般相近拉索取相同的阻尼器系數(shù)，故取η1＝η2.下文將分析4個(gè)彈簧剛度工況（γ1＝1，γ2＝1；γ1＝10，γ2＝1；γ1＝1，γ2＝10；γ1＝10，γ2＝10）時(shí)彈簧安裝位置（l22／L2）變化時(shí)，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的單索n階（n為正整數(shù)）最大模態(tài)阻尼比ξn，max、對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)ηn，opt和對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率β的變化規(guī)律，并與文獻(xiàn)［2］中單索＋阻尼器系統(tǒng)對(duì)應(yīng)參數(shù)的迭代解進(jìn)行對(duì)比（在下文的圖中用虛線表示）.

2.1 復(fù)特征值方程的解

復(fù)特征值方程存在兩個(gè)解［10］：βⅠn（2n－1階模態(tài)）和βⅡn（2n階模態(tài)），當(dāng)上下兩索等長(zhǎng)時(shí)，該兩個(gè)解分別對(duì)應(yīng)上下兩索同相和反相振動(dòng)，且βnⅠ值較低，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)接近于單索的n階振動(dòng)模態(tài)，βnⅡ值較高，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)當(dāng)γ1較大時(shí)以某段索的振動(dòng)模態(tài)為主.當(dāng)上、下索長(zhǎng)不等時(shí)，βnⅠ和βnⅡ?qū)?yīng)的振型不再一定為同相或反相，但由于實(shí)際工程中兩根相鄰拉索的參數(shù)相差不大，此時(shí)其他相關(guān)規(guī)律仍然成立.本文以3、4階模態(tài)為例分析系統(tǒng)的參數(shù)變化規(guī)律進(jìn)行說(shuō)明，研究表明該變化規(guī)律可進(jìn)一步推廣至其他階模態(tài).圖2所示為γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.2時(shí)對(duì)應(yīng)的單索2階同相（3階）和反相（4階）振動(dòng)模態(tài)實(shí)部，從圖2中可見(jiàn)上述規(guī)律.

圖2 3、4階模態(tài)的振型實(shí)部（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）Fig.2 Real parts of the 3rd and 4th mode shapes corresponding to βⅠ2and βⅡ2（γ1＝10，γ2＝1，η1＝η2＝10，l22／L2＝0.4）

2.2 最大模態(tài)阻尼比

圖3（a）和圖3（b）分別為彈簧取不同剛度的4個(gè)工況下彈簧安裝位置變化時(shí)的3階模態(tài)和4階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼比.

圖3 3、4階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼比與彈簧剛度、安裝位置的關(guān)系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.3 Maximal damping ratio of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffness and location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

從圖3可見(jiàn)：

（1）當(dāng)γ2＝1時(shí)，可將模態(tài)阻尼比隨著彈簧安裝位置變化分為n個(gè)變化區(qū)間，這些區(qū)間的端點(diǎn)值接近于（l21＋l22）／L2＝i／n（i為小于等于n的非負(fù)整數(shù)，例如n＝2時(shí)，i＝0，1，2）時(shí)，在這些區(qū)間內(nèi)，最大模態(tài)阻尼比表現(xiàn)出減小-增大-減小的反復(fù)變化趨勢(shì).當(dāng)γ1＝10時(shí)，3階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼比的最大值較單索＋阻尼器系統(tǒng)的最大模態(tài)阻尼比增加約32%，4階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼的最大值增加約93%.

（2）當(dāng)γ2＝10時(shí)，與γ2＝1時(shí)最大模態(tài)阻尼比相比，對(duì)于3階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n（iⅠ為小于n的正整數(shù)，例如n＝2時(shí)，iⅠ＝1）附近時(shí)，最大模態(tài)阻尼比出現(xiàn)“突變”，表現(xiàn)出增加-減小的變化，這些位置處最大模態(tài)阻尼比較γ2＝1時(shí)的工況對(duì)應(yīng)的最大模態(tài)阻尼比大；對(duì)于4階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）（iⅡ?yàn)樾∮趎＋1的正整數(shù)，例如n＝2時(shí)，iⅡ＝1，2）附近時(shí)，最大模態(tài)阻尼比“突變”，表現(xiàn)出減小-增加的變化，這些位置處最大模態(tài)阻尼比較γ2＝1時(shí)的工況對(duì)應(yīng)的最大模態(tài)阻尼比小.當(dāng)γ1由1增加到10時(shí)，3階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼比變化幅度較大，4階模態(tài)的最大模態(tài)阻尼比變化幅度不大.

2.3 對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)

圖4（a）和圖4（b）分別為4個(gè)不同剛度彈簧的工況下彈簧安裝位置變化時(shí)3階模態(tài)和4階模態(tài)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)，可見(jiàn)：

（1）當(dāng)γ2＝1時(shí)，同樣可將無(wú)量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)的變化區(qū)間分為2.2中所劃分的變化區(qū)間，在這些區(qū)間里最優(yōu)阻尼系數(shù)表現(xiàn)出減小-增大的反復(fù)變化趨勢(shì).當(dāng)γ1由1增加到10時(shí)，3階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)較單索＋阻尼器系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)最大相差僅22%，除跨中和左端點(diǎn)附近外，4階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)較單索＋阻尼器系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)小.

（2）當(dāng)γ2＝10時(shí)，與γ2＝1時(shí)最優(yōu)阻尼系數(shù)的變化相比，對(duì)于3階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近時(shí)，最優(yōu)阻尼系數(shù)發(fā)生“突變”，表現(xiàn)為減小-增加的變化；對(duì)于4階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）時(shí)，最優(yōu)阻尼系數(shù)發(fā)生“突變”，表現(xiàn)為增加-減小的變化.當(dāng)γ1由1增加到10時(shí)，3階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)的變化減?。?階模態(tài)的最優(yōu)阻尼系數(shù)相差最大值不超過(guò)37%.

圖4 對(duì)應(yīng)的3、4階模態(tài)最優(yōu)阻尼系數(shù)比與彈簧剛度、安裝位置的關(guān)系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.4 Optimal damping coefficient of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

2.4 對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率

圖5（a）和圖5（b）分別為彈簧取不同剛度的4個(gè)工況下彈簧安裝位置變化時(shí)的3階模態(tài)和4階模態(tài)分別取得最大模態(tài)阻尼比時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱振動(dòng)頻率，可見(jiàn)：

（1）當(dāng)γ2＝1時(shí)，同樣可將對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率的變化區(qū)間分為2.2中所劃分的變化區(qū)間，在這些區(qū)間里振動(dòng)頻率表現(xiàn)出增大-減小的變化趨勢(shì).當(dāng)γ1＝10時(shí)，3階模態(tài)的振動(dòng)頻率較單索＋阻尼器系統(tǒng)的振動(dòng)頻率增加約5%～13%，4階模態(tài)的振動(dòng)頻率較單索＋阻尼器系統(tǒng)的振動(dòng)頻率增加約24%～49%.

（2）當(dāng)γ2＝10時(shí)，與γ2＝1時(shí)最優(yōu)阻尼系數(shù)的變化相比，對(duì)于3階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅠ／n附近時(shí)，振動(dòng)頻率發(fā)生“突變”，表現(xiàn)為增加-減小的變化；對(duì)于4階模態(tài)，當(dāng)彈簧安裝在（l21＋l22）／L2＝iⅡ／（n＋1）時(shí)，振動(dòng)頻率發(fā)生“突變”，表現(xiàn)為減小-增加的變化.當(dāng)γ1由1增加到10時(shí)，3階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率增加約2%～18%，4階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率變化很小，相差最大值不超過(guò)2%.

圖5 對(duì)應(yīng)的3、4階模態(tài)無(wú)量綱頻率與彈簧剛度、安裝位置的關(guān)系（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）Fig.5 Corresponding frequency of the 3rd and 4th modes vs.non-dimensional spring stiffnessand location（L2／L1＝0.8，l21／L2＝2%）

3 結(jié) 論

根據(jù)復(fù)模態(tài)分析方法推導(dǎo)了簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)的復(fù)特征值方程，進(jìn)一步研究了彈簧剛度、安裝位置對(duì)索網(wǎng)體系最大模態(tài)阻尼比、對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)、對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率的影響，研究表明：

（1）輔助索與橋面連接段的無(wú)量綱剛度為10時(shí)，系統(tǒng)的參數(shù)變化趨勢(shì)較復(fù)雜.

（2）輔助索與橋面連接段的無(wú)量綱剛度為1時(shí)，相比于奇數(shù)階模態(tài)，增加連接拉索之間輔助索的剛度更能提高偶數(shù)階模態(tài)最大模態(tài)阻尼比可能的取值上限.輔助索與橋面連接段的無(wú)量綱剛度為10時(shí)，相比于偶數(shù)階模態(tài)，增加連接拉索之間輔助索的剛度可提高奇數(shù)階模態(tài)最大模態(tài)阻尼比可能的取值上限.

（3）從增加最大模態(tài)阻尼比的角度出發(fā)，隨著輔助索與橋面連接段的剛度的增加，最大模態(tài)阻尼比可能的取值上限增加，但輔助索可選擇的優(yōu)化安裝區(qū)間則變得更為狹窄和分散.

（4）最大模態(tài)阻尼比取值較大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)較單索＋阻尼器系統(tǒng)的優(yōu)化阻尼系數(shù)小，尤其是偶數(shù)階模態(tài)則小得更多.此時(shí)雖不能取得振動(dòng)頻率可能取得的最大值，但都較單索＋阻尼器系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率要大.

致謝：本文的研究工作得到深圳市基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（JCYJ20120614085454232）的資助.

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（中文編輯：唐 晴 英文編輯：周 堯）

Damping and Frequency of Simplified Cable-Network-Damper System with Cross-Tie Fixed to Ground

ZHOU Haijun， YANG Xia
（Guangdong Provincial Key Laboratory of Durability for Marine Civil Engineering，Shenzhen Uinversity，Shenzhen 518060，China）

The dynamics of cable network with both cross-ties and dampers are important for cable vibration mitigation.A simplified cable-network-damper system was proposed.It is comprised of two parallel cables and a cross-tie fixed on ground.The cross-tie was simplified as linear spring elements.Based on the string theory，the complex frequency equation of the system was deduced according to the boundary conditons at the fixed end of the cables and displacement continuity and force equilibrium equations at the mounting position of the cross-tie.Then the damping and frequency values were derived by numerical iteration.In the cases of the third and fourth vibration modes，effects of spring stiffness and location on the maximum damping ratio，the optimal damping coefficient and the corresponding frequency were analyzed.It is found that there are odd and even modes in the system vibration；and these two modes have different vibration characteristics.With the increasing in the stiffness of the cross-tie fixed on ground，the upper limit of maximum damping value is increased 2.0－2.4 times of the maximum modal damping ratio of a single cable-damper system；however，the optimal cross-tie locations become less and separated.

cable network；cross-tie；damper；damping ratio；frequency

TU311.3

：A

0258-2724（2014）06-0948-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.003

2012-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51108269）

周?？。?977－），男，副教授，博士，研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)振動(dòng)控制與監(jiān)測(cè)、結(jié)構(gòu)耐久性等，E-mail：haijun＠szu.edu.cn

周?？?，楊夏.輔助索接地的簡(jiǎn)化索網(wǎng)-阻尼器系統(tǒng)的阻尼和頻率［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，49（6）：948-953.