一種新的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法及其應(yīng)用

李世龍，馬立元，李永軍，崔心瀚

（軍械工程學(xué)院導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊050003）

一種新的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法及其應(yīng)用

李世龍，馬立元，李永軍，崔心瀚

（軍械工程學(xué)院導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊050003）

子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)不僅反映了其與整體結(jié)構(gòu)的連接關(guān)系，而且與整體結(jié)構(gòu)中該連接部位的健康狀況緊密相關(guān)。為有效識(shí)別子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，基于交叉模型交叉模態(tài)（CMCM）理論，提出一種新的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法。以某導(dǎo)彈發(fā)射臺(tái)的局部子結(jié)構(gòu)為對(duì)象，建立了子結(jié)構(gòu)的邊界約束模型，通過(guò)對(duì)邊界約束剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)邊界約束狀態(tài)的識(shí)別。同時(shí)，針對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)的不完備性以及測(cè)量噪聲等問(wèn)題，研究了聯(lián)合基于攝動(dòng)力的不完備模態(tài)擴(kuò)充和截?cái)鄰V義奇異值技術(shù)（TGSVD）的CMCM 病態(tài)方程組求解方法。最后，通過(guò)發(fā)射臺(tái)局部子結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真算例及試驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

子結(jié)構(gòu)；模型修正；交叉模型交叉模態(tài)；邊界約束；模態(tài)擴(kuò)充

引 言

模型修正是結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的重要內(nèi)容之一，作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的反問(wèn)題，它是根據(jù)試驗(yàn)實(shí)測(cè)信息修正初始有限元模型，使計(jì)算模態(tài)與實(shí)測(cè)模態(tài)相一致，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析、損傷識(shí)別等提供初始的基準(zhǔn)有限元模型［1-2］。然而隨著結(jié)構(gòu)的大型化、復(fù)雜化，由于參加修正的構(gòu)建數(shù)目眾多且包含誤差較大，而實(shí)際測(cè)試條件往往有限，因此想從整體上對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的模型修正非常困難［3］。對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果能夠直接對(duì)其關(guān)鍵部位的損傷狀況進(jìn)行識(shí)別，則不僅能解決整體模型修正難的問(wèn)題，而且可以大大提高識(shí)別效率。

子結(jié)構(gòu)法是進(jìn)行結(jié)構(gòu)局部動(dòng)力特性分析的一種有效方法，可以只利用有限的局部實(shí)測(cè)動(dòng)力信息，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位的模型修正及損傷識(shí)別，在工程領(lǐng)域具有重 要 的 應(yīng)用價(jià)值［4］。Park 等［5］對(duì) 結(jié) 構(gòu) 的 整體柔度進(jìn)行了分解，通過(guò)子結(jié)構(gòu)部位柔度的變化識(shí)別出了損傷所在位置。雷鷹等［6］將大型結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)子結(jié)構(gòu)，將相鄰子結(jié)構(gòu)的作用視為對(duì)該子結(jié)構(gòu)的“附加未知激勵(lì)”，然后采用擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)和最小二乘估計(jì)識(shí)別該未知外部激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)了子結(jié)構(gòu)的完全獨(dú)立，最后將該方法應(yīng)用于一個(gè)平面桁架橋的局部損傷 診斷。Wang等［7-8］對(duì) 半剛 性連 接的 邊界條件辨識(shí)及模型修正進(jìn)行了深入研究，并提出一種交叉模態(tài)應(yīng)變能法，對(duì)一個(gè)4層鋼框架結(jié)構(gòu)的多種復(fù)雜邊界條件進(jìn)行了成功辨識(shí)。侯吉林等［9］提出一種約束子結(jié)構(gòu)模型修正法，通過(guò)在子結(jié)構(gòu)邊界施加虛擬數(shù)值支座將子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)，利用子結(jié)構(gòu)的局部模態(tài)構(gòu)造柔度矩陣并修正該子結(jié)構(gòu)，最后通過(guò)一個(gè)平面桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真驗(yàn)證了其有效性。

現(xiàn)有子結(jié)構(gòu)方法將子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)后，單獨(dú)對(duì)其進(jìn)行模型修正或損傷識(shí)別，以降低計(jì)算規(guī)模，提高求解效率。然而對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，各子結(jié)構(gòu)的連接部位不僅是模型誤差的主要來(lái)源，也是實(shí)際工作中損傷或其他故障的多發(fā)點(diǎn)。將子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)進(jìn)行分析時(shí)，必須考慮其與結(jié)構(gòu)其余部分的連接狀態(tài)。連接部位未出現(xiàn)損傷時(shí)子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)是一定的，一旦連接部位發(fā)生損傷后，其邊界約束狀態(tài)也隨之改變。因此，子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)不僅反映了其與整體結(jié)構(gòu)的連接關(guān)系，而且與整體結(jié)構(gòu)中該連接部位的健康狀況密切相關(guān)。對(duì)子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)進(jìn)行識(shí)別，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)局部子結(jié)構(gòu)的模型修正，而且可以有效識(shí)別出子結(jié)構(gòu)連接部位的損傷。為有效識(shí)別子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)，基于交叉模型交叉模態(tài)理論，提出了一種新的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法。以某導(dǎo)彈發(fā)射臺(tái)的局部子結(jié)構(gòu)為對(duì)象，建立了子結(jié)構(gòu)的邊界約束模型，通過(guò)對(duì)邊界約束剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)邊界約束狀態(tài)的識(shí)別。

1 子結(jié)構(gòu)邊界約束模型的建立

某導(dǎo)彈發(fā)射臺(tái)為鋼管焊接結(jié)構(gòu)，圖1中目標(biāo)子結(jié)構(gòu)在長(zhǎng)期工作載荷以及發(fā)射時(shí)沖擊載荷的影響下，焊接節(jié)點(diǎn)可能開(kāi)裂，嚴(yán)重影響導(dǎo)彈的安全性和可靠性。

圖1 發(fā)射臺(tái)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)Fig.1 Objective substructure of the launch platform model

目標(biāo)子結(jié)構(gòu)兩端焊接節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力集中非常嚴(yán)重，是整個(gè)發(fā)射臺(tái)最容易出現(xiàn)損傷的部位。將目標(biāo)子結(jié)構(gòu)從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)后，若能對(duì)其邊界約束狀態(tài)進(jìn)行有效識(shí)別，則可進(jìn)一步對(duì)其兩端焊接節(jié)點(diǎn)的健康狀況做出判斷。

線性無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

式中K和M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；λi和Φi為系統(tǒng)的第i階特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。

根據(jù)子結(jié)構(gòu)的基本原理，將目標(biāo)子結(jié)構(gòu)從兩端獨(dú)立出來(lái)，則特征方程可寫為如下形式：

式中 下標(biāo)a和b表示兩端的邊界自由度；下標(biāo)u表示非邊界自由度。當(dāng)邊界自由度為理想約束時(shí)，其振型分量Φa和Φb等于0，則式（2）將退化為

上式即為理想的固定約束邊界條件。但對(duì)于圖1中的目標(biāo)子結(jié)構(gòu)，由于其兩端的剛度及質(zhì)量未知，若直接采用上述做法將其從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)，將引起很大程度的建模誤差。

本文以圖1中的目標(biāo)子結(jié)構(gòu)為對(duì)象，對(duì)其a，b兩端分別施加3個(gè)平移自由度約束和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度約束，將其從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)，建立了其三維空間梁模型，如圖2所示。

圖2 目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的三維空間梁模型Fig.2 Three-dimensional beam model of the objective substructure

將三維空間梁L的特征方程寫為如下形式：

式中Kaa和Maa為 梁a端邊界自由度 對(duì) 應(yīng) 的 系 統(tǒng)剛度矩陣和質(zhì)量矩 陣，Kbb和Mbb為梁b端 邊界自由度對(duì)應(yīng) 的 系 統(tǒng)剛度矩陣 和 質(zhì) 量矩 陣。其 中，Kaa，Maa，Kbb和Mbb可分 解 為如 下 兩部 分 ：

式中，為梁a端邊界附近單元在約束自由度上的剛度分量和質(zhì)量分量；，為梁b端邊界附近單元在約束自由度上的剛度分量和質(zhì)量分量；為梁a端約束附加剛度和附加質(zhì)量；，為梁b端約束附加剛度和附加質(zhì)量。

則系統(tǒng)的剛度矩陣可寫為式中Ka和Kb為梁L的邊界約束剛度矩陣，當(dāng)Ka和Kb等于0時(shí)，剛度矩陣K只包含梁自身的剛度，此時(shí)梁處于理想的無(wú)約束狀態(tài)；當(dāng)和遠(yuǎn)大于和Kbub時(shí)，則梁處于固定約束狀態(tài)；一般情況下，梁的實(shí)際的約束狀態(tài)處于兩者之間。

為準(zhǔn)確模擬三維空間梁L的實(shí)際邊界約束狀態(tài)，本文采用6自由度的彈簧單元，包含1個(gè)軸向彈簧、2個(gè)剪切彈簧和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧，兩端的邊界單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

式 中kβ，y，ky，β和kγ，z，kz，γ為耦 合項(xiàng)，同 時(shí)假 定kβ，y=k y，β，kγ，z=kz，γ。

式中Ki∈R48×48為整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，系統(tǒng)包含的單元數(shù)目為7。

在整體坐標(biāo)系下，將邊界單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行如下分解

式中Kn∈R48×48為整體坐標(biāo)系下的邊界子單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

采用Euler-Bernoulli梁的情況下，三維梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍?/p>

式中A為單元的橫截面面積；l為單元長(zhǎng)度；Iy為單元在xz坐標(biāo)平面內(nèi)的截面慣性矩；Iz為單元在xy坐標(biāo)平面內(nèi)的截面慣性矩；J為極慣性矩；E為拉伸彈性模量；G為剪切彈性模量。

為將梁的邊界約束剛度矩陣融入系統(tǒng)的整體剛度矩陣，采用有限元中的約束處理方法，對(duì)各邊界子單元的剛度系數(shù)進(jìn)行如下處理式中其中 εx，εy，εz，εα，εβ，εγ，εyβ，εzγ為 彈簧 剛 度 系數(shù)，取值為0到無(wú)窮大。當(dāng)取值全為0時(shí)，表明梁兩端處于無(wú)約束狀態(tài)；當(dāng)取值全為無(wú)窮大時(shí)，表明梁兩端處于完全固定約束狀態(tài)。實(shí)際結(jié)構(gòu)中一般的約束狀態(tài)是處于兩者之間，各彈簧剛度系數(shù)的具體取值需要結(jié)合結(jié)構(gòu)實(shí)際的約束條件進(jìn)行確定。

對(duì)于圖1中的目標(biāo)子結(jié)構(gòu)，由于其邊界自由度含有一定動(dòng)能，邊界約束附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響不可忽略，因此需要對(duì)其邊界約束質(zhì)量修正系數(shù)進(jìn)行研究。采用Euler-Bernoulli梁的情況下，三維梁?jiǎn)卧募匈|(zhì)量矩陣為

定義子結(jié)構(gòu)兩端的邊界單元質(zhì)量矩陣如下：

對(duì)邊界單元的質(zhì)量修正系數(shù)進(jìn)行如下處理

式中η為平移自由度的質(zhì)量修正系數(shù)，ξ為轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的質(zhì)量修正系數(shù)。

在整體坐標(biāo)系下，將邊界單元質(zhì)量矩陣作如下分解

式中Mn∈R48×48整體 坐標(biāo)系 下的 邊界 子單 元 質(zhì) 量矩陣。

2 子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法

交叉 模型交叉模態(tài)法（Cross-Model Cross-Mode，CMCM）由Hu等［10］于2007年提出，兼顧了矩陣型修正法和參數(shù)型修正法的優(yōu)點(diǎn)，不僅大大提高了修正效率，而且能夠保持原模型的物理形態(tài)和修正模型的物理意義。本文采用CMCM方法，通過(guò)對(duì)邊界單元?jiǎng)偠刃拚禂?shù)和質(zhì)量修正系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使系統(tǒng)剛度矩陣及質(zhì)量矩陣發(fā)生相應(yīng)改變，從而達(dá)到計(jì)算模態(tài)頻率及模態(tài)振型與結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)相匹配的目的。

2.1 CMCM 方法

假定與梁L的實(shí)測(cè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣分別為和，而初始有限元模型的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣分別為K和M，則可將和表示為對(duì)K和M的修正：

式中Kn和Mn分別為整體坐標(biāo)系下的第n個(gè)邊界子單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣；αn和βn分別為對(duì)應(yīng)的剛度修正系數(shù)和質(zhì)量修正系數(shù)；NK和NM為需要修正的邊界子單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣的個(gè)數(shù)。同式（1），與實(shí)測(cè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征方程為

式中，^λj和為實(shí)際模態(tài)測(cè)試中得到的第j階特征值和特征向量。對(duì)式（17）左乘（Φi）T可得：

將式（16）代入式（18），則可構(gòu)建子結(jié)構(gòu)的CMCM 方程：

式 中C+和E+為維 數(shù)Nij×NK和Nij×NM的 矩陣；α和β為維數(shù)NK和NM的 列向 量；f+為 維數(shù)Nij的列向量。

由以上理論可以看出，CMCM 修正法可歸結(jié)為對(duì)線性方程組Ax=b的求解，目前一般采用最小二乘法［11］。利用有限元分析得到的i階模 態(tài)和 實(shí)際測(cè)試獲得的j階模態(tài)，可構(gòu)建i×j個(gè)線性方程，方程數(shù)目遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)方法直接配對(duì)所構(gòu)建的修正方程數(shù)目，因此可以利用有限階的實(shí)測(cè)模態(tài)求解更多的修正參數(shù)。

2.2 CMCM 病態(tài)方程求解方法

CMCM 方法雖可構(gòu)建多個(gè)識(shí)別方程，但該方法要求實(shí)測(cè)模態(tài)與計(jì)算模態(tài)的自由度必須一致，且對(duì)實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)的精度要求非常高。然而在模態(tài)測(cè)試中，受觀測(cè)自由度的限制以及測(cè)量噪聲等影響，往往導(dǎo)致CMCM方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A和數(shù)據(jù)項(xiàng)b產(chǎn)生擾動(dòng)，從而使得方程組的解不穩(wěn)定，即解的病態(tài)性。因此，實(shí)際模態(tài)測(cè)試中各種不利因素影響下的病態(tài)方程求解算法是將CMCM 子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法推向工程應(yīng)用必須解決的問(wèn)題。本文從模態(tài)擴(kuò)充和正則化去噪兩個(gè)方向入手，研究CMCM 病態(tài)方程的求解方法。

2.2.1 基于攝動(dòng)力的不完備模態(tài)擴(kuò)充

實(shí)際模態(tài)測(cè)試中，由于轉(zhuǎn)動(dòng)自由度及部分平移自由度不易測(cè)量，三維空間梁的實(shí)測(cè)自由度遠(yuǎn)小于有限元模型的自由度，從而導(dǎo)致實(shí)測(cè)振型信息空間極度不完備。

對(duì)于實(shí)測(cè)模態(tài)的不完備性，通常有兩種解決思路：一種是模態(tài)擴(kuò)充法，將實(shí)測(cè)模態(tài)擴(kuò)充至與有限元模型自由度數(shù)目相同，使得擴(kuò)充后的振型達(dá)到空間完備［12］；另一種是模型縮階法，即對(duì)有限元模型進(jìn)行縮聚，使得縮階后的有限元計(jì)算振型與實(shí)測(cè)振型空間相一致，但該方法容易破壞原矩陣的稀疏性和對(duì)稱性，導(dǎo)致出現(xiàn)虛元或負(fù)剛度［13］。

模態(tài)擴(kuò)充中，若第j階模態(tài)的已測(cè)量部分和未測(cè)量部分分別為和，則擴(kuò)充后的模態(tài)為

式中T為變換矩陣，其取決于模態(tài)擴(kuò)充方法。已有的模態(tài)擴(kuò)充方法中，如最小二乘擴(kuò)充法［14］，由于沒(méi)有考慮有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g的誤差，往往導(dǎo)致擴(kuò)充后的模態(tài)偏離較大。

為減小擴(kuò)充后的模態(tài)誤差，本文定義縮放系數(shù)δj如下

式中Ψj為實(shí)際測(cè)試獲得的第j階模態(tài)，Φaj為與實(shí)測(cè)模態(tài)自由度對(duì)應(yīng)的初始FEM 的計(jì)算模態(tài)。則縮放后用于模態(tài)擴(kuò)充的第j階實(shí)測(cè)模態(tài)為

定義第j階實(shí)測(cè)模態(tài)的敏感系數(shù)為

式中N為可使用的計(jì)算模態(tài)階數(shù)，ωi為第i階計(jì)算模態(tài)的特征值。則攝動(dòng)力矢量rj為

式 中S+j=STj［SjSTj］-1為Sj的廣義逆 。 根據(jù)模態(tài)擴(kuò)展理論，第j階未測(cè)模態(tài)可表示為

式中為與實(shí)測(cè)模態(tài)未測(cè)量自由度對(duì)應(yīng)的第i階計(jì)算模態(tài)中振型的“未測(cè)量”部分。因此基于攝動(dòng)力的不完備模態(tài)擴(kuò)充的變換矩陣可表示為

2.2.2 基于TGSVD的正則化去噪

正則化技術(shù)是應(yīng)對(duì)測(cè)試噪聲的一種有效方法。Tikhonov正則化技術(shù)、截?cái)鄰V義奇異值技術(shù)（TGSVD）和列主元QR分解技術(shù)是目前常用的3種正則化方法［15-17］。盡管目前正則化方法在理論上已經(jīng)非常完善，但針對(duì)不同求解問(wèn)題，同一算法的收斂性卻相差很大，因此對(duì)于特定的求解問(wèn)題，應(yīng)選擇最恰當(dāng)?shù)恼齽t化方法。Tikhonov正則化方法通過(guò)引入正則化項(xiàng)來(lái)降低原不適定問(wèn)題近似解的振蕩性，因此往往導(dǎo)致近似解過(guò)度光滑，與本文子結(jié)構(gòu)的實(shí)際邊界剛度及質(zhì)量分布相矛盾。另外，該方法一般需要結(jié)合優(yōu)化算法進(jìn)行迭代求解，過(guò)程較為復(fù)雜。文獻(xiàn)［18］研究得出，當(dāng)系數(shù)矩陣的奇異值呈階梯型分布時(shí)，采用TGSVD方法求解的效果較好。對(duì)于子結(jié)構(gòu)的邊界約束模型修正問(wèn)題，由于不同約束條件下的邊界單元?jiǎng)偠燃百|(zhì)量修正系數(shù)相差較大，系數(shù)矩陣的奇異值多呈階梯型分布，故引入 TGSVD方法來(lái)減小實(shí)測(cè)模態(tài)中噪聲對(duì)CMCM 方程的影響。

將病態(tài)方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A進(jìn)行奇異值分解

式中U=（u1，u2，…，un）和V=（v1，v2，…，vn）為正交特征向量，σi為矩陣A的奇異值，且滿足σ1≥σ2≥…≥σn≥0。

當(dāng)矩陣A為病態(tài)矩陣時(shí)，傳統(tǒng)SVD分解存在諸多困難［19］。廣義奇異值分解法（GSVD）通過(guò)引入正則化矩陣Lp×n（m≥n≥p），使病態(tài)矩陣A與L組成矩陣對(duì) （A，L），其廣 義特 征值 為矩 陣對(duì) （^ATA，LTL）廣義特征值的平方根。

方程組A x=b的正則解為

截?cái)嗥娈愔捣纸夥ǎ═SVD）通過(guò)定義截?cái)嘁蜃?/p>

若存在σ1≥… ≥σk≥α≥σk+1≥… ≥σn≥0，則截?cái)嗪蟮恼齽t解為

式中k為截?cái)鄶?shù)，通過(guò)直接去除小奇異值對(duì)解的貢獻(xiàn)，達(dá)到穩(wěn)定解的作用。當(dāng)k=rank（A）時(shí)，該正則解相當(dāng)于最小二乘解。

TGSVD方法則通過(guò)引入ā=AL+，ˉb=b-A x0分別代替TSVD方法中的矩陣A和b，其中L+為L(zhǎng)的廣義逆，本文采用L曲線法［20］選取 TGSVD 的截?cái)鄶?shù)k。

3 數(shù)值仿真研究

以圖1中的發(fā)射臺(tái)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)為對(duì)象，梁的截面為圓形，外徑D=0.045 m，壁厚d=0.005 m，總長(zhǎng)度L=0.7 m。從左至右等間隔劃分為7個(gè)單元，共包含8個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元的彈性模量E=2.07×1011N／m2，密度ρ=7 800 kg／m3，泊松比μ=0.27。

模型修正中，通過(guò)預(yù)設(shè)不同的邊界單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量修正系數(shù)來(lái)模擬梁的不同邊界約束狀態(tài)，并將該模型的計(jì)算模態(tài)數(shù)據(jù)作為“實(shí)測(cè)”模態(tài)數(shù)據(jù)，與初始有限元模型的計(jì)算模態(tài)數(shù)據(jù)聯(lián)合構(gòu)建CMCM 方程組。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于本模型，當(dāng)兩端的剛度修正系數(shù)達(dá)到105時(shí)，已接近完全固定約束狀態(tài)。若將三維空間梁每個(gè)單元的質(zhì)量視為單位質(zhì)量，則試驗(yàn)?zāi)Ｐ统繕?biāo)子結(jié)構(gòu)L外的總質(zhì)量為504.75，當(dāng)質(zhì)量修正系數(shù)取504.75，相當(dāng)于將試驗(yàn)?zāi)Ｐ统繕?biāo)子結(jié)構(gòu)L外的所有質(zhì)量附加在某一個(gè)邊界自由度上。

梁 的初始狀態(tài)視 為 兩 端 簡(jiǎn) 支，即Uxa，Uya，Uza，ROTxa和Uyb，Uzb，ROTxb完 全約 束，質(zhì)量 修 正系數(shù) 均為0，并將該模型作為數(shù)值仿真及試驗(yàn)分析的基準(zhǔn)有限元模型。總共設(shè)置了3種邊界約束工況，如表1所示。工況1中，梁a端完全約束，梁b端具有較大柔度；工況2中，梁a端的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度完全約束，平移自由度及相應(yīng)耦合項(xiàng)具有一定柔度，梁b端的平移自由度完全約束，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度及相應(yīng)耦合項(xiàng)具有一定柔度；工況3為中間狀態(tài)，梁兩端的平移自由度、轉(zhuǎn)動(dòng)自由度以及耦合項(xiàng)均具有一定柔度。

表1 邊界約束工況Tab.1 Boundary constraint conditions

為研究方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的效果，在數(shù)值仿真中考慮了實(shí)測(cè)模態(tài)空間的不完備性以及測(cè)試噪聲兩個(gè)不利因素。假設(shè)在模態(tài)測(cè)試中每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅測(cè)量了1個(gè)平移自由度，方向沿Y方向和Z方向交錯(cuò)分布，即在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上只從有限元計(jì)算結(jié)果中提取這1個(gè)平移自由度的振型信息，相當(dāng)于“實(shí)測(cè)”自由度數(shù)目?jī)H為結(jié)構(gòu)自由度總數(shù)目的1／6。為模擬測(cè)試噪聲對(duì)修正結(jié)果的影響，在有限元計(jì)算得到的模態(tài)頻率及振型中加入由Matlab標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布生成的隨機(jī)噪聲

式中x為模態(tài)參數(shù)的實(shí)際計(jì)算值，xi為加入噪聲后的模態(tài)參數(shù)；ε為噪聲水平；randn為具有單位標(biāo)準(zhǔn)差和零均值的正態(tài)分布隨機(jī)變量。本文在模態(tài)頻率中加入噪聲的水平為3%，在模態(tài)振型中加入噪聲的水平為2%。

待修正的未知數(shù)個(gè)數(shù)為20，選取前4階實(shí)測(cè)模態(tài)和基準(zhǔn)有限元模型的前10階計(jì)算模態(tài)，構(gòu)建40個(gè)CMCM方程，方程數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)，方程組有解。

在實(shí)際模態(tài)測(cè)試中各種不利因素的影響下，為研究本文方法較已有方法在求解CMCM 病態(tài)方程中的優(yōu)越性，進(jìn)行如下定義：

方法1：采用本文提出的CMCM 病態(tài)方程求解方法進(jìn)行求解；

方法2：采用文獻(xiàn)［11］中的改進(jìn)最小二乘法對(duì)構(gòu)建的CMCM方程進(jìn)行求解。

分別采用以上兩種方法對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的3種邊界約束工況進(jìn)行模型修正，各修正參數(shù)的設(shè)定值與修正值的絕對(duì)誤差如圖3所示。

圖3 模型修正結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of model updating results

表2 修正后有限元模型動(dòng)力特性對(duì)比Tab.2 Comparison of dynamic parameters of updated model

從圖中可以看出，在實(shí)測(cè)模態(tài)不完備以及測(cè)試噪聲等不利因素的影響下，方法1求解得出的各修正參數(shù)絕對(duì)誤差非常小，能夠有效識(shí)別出各個(gè)工況下子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)；相比，方法2求解得出的各修正參數(shù)絕對(duì)誤差過(guò)大，對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)邊界約束狀態(tài)的識(shí)別不夠準(zhǔn)確。

兩種方法修正后有限元模型的動(dòng)力特性對(duì)比如表2所示。從表中可以看出，方法1修正后的計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率吻合較好，最大頻率誤差僅為0.95%，各階振型的 MAC值也非常高；相比，受實(shí)測(cè)模態(tài)的不完備性及測(cè)量噪聲影響，方法2的修正效果很不理想，最大頻率誤差達(dá)到了4.88%，各階振型的MAC值也偏低。

通過(guò)對(duì)不同噪聲水平下的模型修正研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頻率和振型噪聲水平分別為3%和2%，改進(jìn)最小二乘法各修正參數(shù)的最大相對(duì)誤差接近5%；當(dāng)頻率和振型噪聲水平均為4%時(shí)，改進(jìn)最小二乘法各修正參數(shù)的最大相對(duì)誤差超過(guò)了10%時(shí)，且修正后頻率和振型誤差過(guò)大，失去修正意義。本文方法的求解精度和魯棒性較好，當(dāng)設(shè)定各修正參數(shù)的最大相對(duì)誤差不超過(guò)5%時(shí)，頻率和振型可添加的最大噪聲水平為5%。綜上，本文提出的CMCM 病態(tài)方程求解方法較改進(jìn)最小二乘法具有明顯優(yōu)勢(shì)，更適用于實(shí)際測(cè)試不利因素影響下的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正。

4 發(fā)射臺(tái)子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正

以圖1中的發(fā)射臺(tái)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)為對(duì)象，采用本文方法對(duì)其邊界約束進(jìn)行模型修正，初始有限元模型仍然采用兩端簡(jiǎn)支的基準(zhǔn)模型。

4.1 模態(tài)測(cè)試

模態(tài)測(cè)試時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)通過(guò)橡皮繩懸掛于試驗(yàn)框架上，如圖4所示。

圖4 模態(tài)測(cè)試現(xiàn)場(chǎng)Fig.4 The experiment scene

將目標(biāo)子結(jié)構(gòu)從左至右等分為7個(gè)單元，共8個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)布置1個(gè)加速度傳感器，沿Y方向和Z方向交錯(cuò)分布，共計(jì)8個(gè)傳感器。采用錘激法進(jìn)行人工脈沖激勵(lì)，單點(diǎn)激勵(lì)，多點(diǎn)響應(yīng)。進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)試，選擇測(cè)試較為穩(wěn)定的數(shù)據(jù)組，以減小人為操作誤差對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)產(chǎn)生的影響。采樣頻率為10 k Hz，每個(gè)響應(yīng)信號(hào)取20 000個(gè)采樣點(diǎn)。加速度信號(hào)經(jīng)電荷放大器放大進(jìn)入DH5920動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)，測(cè)試分析軟件采用東華模態(tài)分析軟件（DHMA）。

目標(biāo)子結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)模態(tài)與初始有限元模型的計(jì)算模態(tài)對(duì)比如表3所示。

可以看出，兩者誤差比較大，且階次越高誤差越大，第4階頻率的誤差達(dá)到了13.95%。這說(shuō)明目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的實(shí)際邊界約束狀態(tài)與初始有限元模型差別非常大，需要對(duì)其進(jìn)行模型修正。

表3 目標(biāo)子結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)模態(tài)與初始有限元模型計(jì)算模態(tài)對(duì)比Tab.3 Comparison of modal parameters between nitial FEM and test results

4.2子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正

分別采用方法1和方法2，對(duì)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的邊界約束進(jìn)行模型修正，修正后有限元模型的計(jì)算模態(tài)與實(shí)測(cè)模態(tài)對(duì)比如表4所示。可以看出，方法1修正后有限元模型的前4階模態(tài)頻率誤差顯著減小，最大誤差僅為0.97%，且振型的 MAC值也顯著提高；相比，方法2的修正效果一般，第4階頻率誤差達(dá)到了5.17%，振型的 MAC值也偏低。

方法1修正后目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的邊界約束剛度修正系數(shù)和質(zhì)量修正系數(shù)見(jiàn)表5?？梢钥闯?，兩端的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度較平移自由度的約束更大，子結(jié)構(gòu)整體處于半剛性連接狀態(tài)；另外，子結(jié)構(gòu)兩端的質(zhì)量修正系數(shù)也較大，說(shuō)明邊界約束附加質(zhì)量對(duì)其模態(tài)特性的影響非常大。

表4 修正后有限元模型計(jì)算模態(tài)與實(shí)測(cè)模態(tài)對(duì)比Tab.4 Comparison of modal parameters between updated FEM and test results

表5 目標(biāo)子結(jié)構(gòu)邊界約束修正系數(shù)Tab.5 Boundary constraint correction factor of the objective substructure

5 結(jié) 論

基于交叉模型交叉模態(tài)（CMCM）理論，提出一種新的子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法，通過(guò)對(duì)某導(dǎo)彈發(fā)射臺(tái)局部子結(jié)構(gòu)的模型修正數(shù)值仿真及試驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所提方法的有效性，并得出以下主要結(jié)論：

（1）子結(jié)構(gòu)法在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析中具有明顯優(yōu)勢(shì)，通過(guò)對(duì)損傷前后子結(jié)構(gòu)的邊界約束狀態(tài)進(jìn)行識(shí)別，不僅可以實(shí)現(xiàn)局部子結(jié)構(gòu)的模型修正，而且可進(jìn)一步對(duì)子結(jié)構(gòu)連接部位的健康狀況做出判斷。

（2）對(duì)發(fā)射臺(tái)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)兩端分別施加6自由度的邊界約束，通過(guò)構(gòu)建邊界單元?jiǎng)偠染仃嚭瓦吔鐔卧|(zhì)量矩陣，可將其從整體結(jié)構(gòu)中獨(dú)立出來(lái)，為子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正提供有效途徑。

（3）以發(fā)射臺(tái)目標(biāo)子結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)模態(tài)參數(shù)為基準(zhǔn)，通過(guò)對(duì)邊界單元?jiǎng)偠刃拚禂?shù)和質(zhì)量修正系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)邊界約束狀態(tài)的識(shí)別。

（4）實(shí)測(cè)模態(tài)的不完備性和測(cè)試噪聲的影響是將CMCM子結(jié)構(gòu)邊界約束模型修正方法推向工程應(yīng)用的主要障礙，通過(guò)提出的聯(lián)合基于攝動(dòng)力的不完備模態(tài)擴(kuò)充和TGSVD的CMCM病態(tài)方程組求解方法能有效解決此問(wèn)題。

［1］ Giuseppe Chellini，Guido De Roeck，Luca Nardinia，et al.

Damage analysis of a steel-concrete composite frame by finite element model updating［J］.Journal of Constructional Steel Research，2010，66（5）：398—411.

［2］ 李英超，張敏，李華軍.利用不完備實(shí)測(cè)模態(tài)修正桿系結(jié)構(gòu)約束邊界條件［J］.工程力學(xué)，2013，30（1）：288—294 LI Ying-chao，ZHANG Min，LI Hua-jun.Model updating for constraint boundary conditions of member structures using incomplete measured modes［J］.Engineering Mechanics，2013，30（1）：288—294.

［3］ 侯吉林，歐進(jìn)萍.聯(lián)合整體和局部動(dòng)態(tài)信息的空間桁架模型修正試 驗(yàn)［J］.振動(dòng)與沖擊，2013，32（16）：100—105. HOU Ji-lin ，OU Jin-ping.Model updating experiment of space truss using global and local dynamic information［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32（16）：100—105.

［4］ 易偉建，周云，李浩.基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的框架結(jié)構(gòu)損傷診斷研究［J］.工程力學(xué)，2009，26（5）：121—128. Yi Wei-jian，Zhou Yun，Li Hao.Damage assessment research on frame structure based on Bayesian statistical inference ［J］.Engineering Mechanics，2009，26 （5）：121—128.

［5］ Park KC，Reich GW，Alvin KF.Damage detection using localized flexibilities［J］.Structural Health Monitoring，Current Status and Perspectives，1997：125—139.

［6］ 雷鷹，毛亦可.部分觀測(cè)下基于子結(jié)構(gòu)的大型結(jié)構(gòu)損傷診斷法［J］.工程力學(xué)，2012，27（7）：180—185. LEI Ying，MAO Yi-ke.A damage detection algorithm based on substructures for large size structures under limited measurements ［J］.Engineering Mechanics，2012，27（7）：180—185.

［7］ Wang Shuqing，Zhang Min，F(xiàn)ushun Liu.Estimation of semi-rigid joints by cross modal strain energy meth-od［J］.Structural Engineering and Mechanics，2013，47（6）：757—771.

［8］ Wang Shuqing.Model updating and parameters estimation incorporating flexible joints and boundary conditions［J］.Inverse Problems in Science and Engineering，2014，22（5）：727—745.

［9］ 侯吉林，歐進(jìn)萍.基于局部模態(tài)的約束子結(jié)構(gòu)模型修正法［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41（5）：748—755. HOU Ji-lin，OU Jin-ping.Isolated substructure model updating based on local mode［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2009，41（5）：748—755.

［10］Wang Hu S-L J，Li H，Wang S.Cross-model cross-mode method for model updating［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（4）：1 690—1 703.

［11］李英超.基于模態(tài)參數(shù)識(shí)別的海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)模型修正技術(shù)研究［D］.青島：中國(guó)海洋大學(xué)，2012. LI Ying-chao.Model updating of offshore platform structures based on modal parameter identification ［D］.Qingdao：Ocean University of China，2012.

［12］劉金玉，姜建華.一種基于攝動(dòng)力的不完備模態(tài)擴(kuò)充方法［J］.力學(xué)季刊，2012，33（4）：590—596. Liu Jin-yu，Jiang Jian-hua.Incomplete modal expansion method using perturbed force［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2012，33（4）：590—596.

［13］CarvalhoJ，Dana Biswa N，Abhijit Gupta，et al.A direct method for model updating with incomplete measured data and without spurious modes［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（7）：2 715—2 731.

［14］BALMESE.Review and evaluation of shape expansion methods［A］.International Modal Analysis Conference［C］.San Antonio，Texas，2000：210—218.

［15］Weber B，Paultre P，Proulx J.Consistent regularization of nonlinear model updating for damage identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（6）：1 965—1 985.

［16］陳震，余嶺.基于截?cái)郍SVD方法的橋梁移動(dòng)荷載識(shí)別［J］. 振動(dòng)與 沖 擊，2014，33（10）：97—101. CHEN Zhen，YU Ling.Identification of dynamic axle loads on a bride based on truncated generalized singular value decomposition ［J］.Journal of Vibration and Shock，2014，33（10）：97—101.

［17］張純，宋固全.去噪正則化模型修正方法在橋梁損傷識(shí)別中的應(yīng)用［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2012，25（1）：97—102. Zhang Chun，Song Gu-quan.Bridge damage identification by finite element model updating with Tikhonov regularization and wavelet denoising ［J］.Journal of Vibration Engineering，2012，25（1）：97—102.

［18］張立濤，李兆霞，費(fèi)慶國(guó)，等.結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的若干正則化問(wèn)題研究［J］.工程力學(xué)，2008，25（5）：45—52. ZHANG Li-tao，LI Zhao-xia，F(xiàn)EI Qing-guo，et al. Studies on some regularization problems in structural damage identification ［J］.Engineering Mechanics，2008，25（5）：45—52.

［19］Wu JR，Li QS.Structural parameter identification and damage detection for a steel structure using a two-stage finite element model updating method［J］.Journal of Constructional Steel Research，2006，62（5）：231—239.

［20］Hansen P C.Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve［J］.SIAM Review，1992，l （34）：561—580.

A method for model updating of substructure boundary constraints and its application

LI Shi-long，MA Li-yuan，LI Yong-jun，CUI Xin-han
（Department of Missile Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

The substructure’s boundary constraint condition not only reflects its relationship with the overall structure，but also reflects the close relationship with the healthy state of the connection parts.Based on cross-model cross-mode，a new method for model updating of the substructure constraints is proposed in this paper.Taking a local substructure on a certain missile launch platform as the research object，a model is established which is suited to analyze the substructure’s boundary constraint.Through updating the model with the stiffness matrix and mass matrix of boundary constraint，the boundary constraint condition of the substructure is identified.Meanwhile，aiming to overcome the shortcomings of incompleteness of measured modal data and the measurement noise，a calculation method for ill-condition CMCM equation set is proposed，which is based on incomplete modal expansion method using perturbed force and TGSVD method.Furthermore，a numerical simulation and an experiment study associated with the local substructure of the missile launch platform are conducted to examine the proposed methods.

substructure；model updating；cross-model cross-mode；boundary constraints；modal expansion

TB123；TU311；TU973.2+1

A

1004-4523（2015）05-0730-11

10.16385／j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.007

李世龍（1987—），男，博士研究生。電話：18633482018；E-mail：li123ysu＠163.com

2014-05-19；

014-08-25