模態(tài)正交性及其對角化功能

劉國松，張 淼

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春 130012)

模態(tài)正交性及其對角化功能

劉國松，張 淼

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春 130012)

本文針對目前常用的各種阻尼系統(tǒng)的模態(tài)向量的正交性進(jìn)行了分類及評述，對它們所能實(shí)現(xiàn)的對角化功能進(jìn)行了辨析，通過對比和分析它們的使用條件和范圍以及使用過程中需要注意的問題，為工程應(yīng)用提供了良好的理論基礎(chǔ)。

阻尼系統(tǒng)；正交性；對角化；標(biāo)號現(xiàn)象；狀態(tài)方程

解耦的目的是將一組方程變成相互獨(dú)立的單個(gè)方程，從而解出所需的多維未知向量。矩陣的對角化，在工程應(yīng)用中往往對應(yīng)著某種類型方程的解耦。例如，振動(dòng)方程可以通過振型向量進(jìn)行解耦，事實(shí)上這種解耦實(shí)現(xiàn)的就是系統(tǒng)性質(zhì)矩陣的角化[1]，如果對角化難以實(shí)現(xiàn)，振動(dòng)方程的解耦就更難以實(shí)現(xiàn)了。再則，靈敏度系數(shù)控制方程的解耦[2]也是通過將狀態(tài)矩陣或性質(zhì)矩陣對稱化來完成的。可見對角化功能的實(shí)現(xiàn)是一個(gè)非常重要的前提，而它所依賴的基礎(chǔ)則是系統(tǒng)本身擁有的無阻尼實(shí)模態(tài)參數(shù)或阻尼復(fù)模態(tài)參數(shù)的正交性。不同的系統(tǒng)，這些模態(tài)參數(shù)的正交性可能完整，也可能缺失[3-4]，因此針對不同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，應(yīng)考慮合理且靈活地使用系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，這是解決工程問題非常重要的前提。

1 實(shí)模態(tài)參數(shù)

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

(1)

相應(yīng)地，其強(qiáng)迫振動(dòng)方程為

(2)

(3)

設(shè)每個(gè)實(shí)模態(tài)的正則化系數(shù)為ai，即

(4)

記aiξi=vi，稱為無阻尼正則固有振型，簡稱為振型，則V=[v1，…，vN]為振型矩陣。

1.1 單頻且對稱系統(tǒng)的模態(tài)正交性及對角化功能

如果K，M為對稱陣，且實(shí)頻率全不相同，那么此時(shí)振型矩陣可以角化質(zhì)量和剛度矩陣[5]，如下

VTMV=E.

(5)

(6)

也就是說，振型關(guān)于質(zhì)量和剛度陣是加權(quán)正交的。如果此時(shí)的振型剛好能對角化阻尼矩陣，那么系統(tǒng)(1)和(2)稱為經(jīng)典阻尼系統(tǒng)[6]，即

VTCV=diag(c1，…，cN).

(7)

振型關(guān)于阻尼陣也是加權(quán)正交的。否則稱為非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)[7]，顯然對非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)而言，振型并不能對角化阻尼矩陣。

1.2 重頻或非對稱系統(tǒng)的模態(tài)正交性及對角化功能

如果K，M為非對稱矩陣，或者實(shí)頻率發(fā)生重復(fù)，那么(5)和(6)式不再成立[8]，此時(shí)先將(3)式化為如下形式

記M-1K=D，上式化為

(8)

我們可以說，(8)式中的矩陣D的特征值和特征向量，即為(3)式中的矩陣K，M的廣義特征值和廣義特征向量，也是(1)式對應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)的實(shí)頻率和實(shí)模態(tài)。此時(shí)D一般為非對稱矩陣，或其特征值發(fā)生重復(fù)，其特征向量系并不能保證正交性[8]，因此對角化并不容易實(shí)現(xiàn)。設(shè)其特征向量系雖然不能保證正交性，但具有無關(guān)性，即可引入伴隨向量來實(shí)現(xiàn)正交性及對角化功能。設(shè)V=[v1，…，vN]的伴隨向量系為Z=[z1，…，zN]，則有

ZTV=E.

(9)

(10)

這里有兩個(gè)問題需要注意，一是要注意標(biāo)號現(xiàn)象的出現(xiàn)，例如按(5)式所示，應(yīng)該有

2 復(fù)模態(tài)參數(shù)

考慮阻尼時(shí)的系統(tǒng)極點(diǎn)及復(fù)模態(tài)對(λi，ui)(i=1，2，…，2N)，滿足方程

對于N自由度振動(dòng)系統(tǒng)，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N個(gè)呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值λ1，λ2，…，λ2N(其中λi+1為λi的共軛(i=1，3，…，2N-1))，稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。這些頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)特征向量ui∈CN稱為系統(tǒng)(1)與λi相對應(yīng)的第i個(gè)模態(tài)向量。將u1，u2，…，u2N(其中ui+1為ui的共軛(i=1，3，…，2N-1))，稱為復(fù)模態(tài)。這些復(fù)模態(tài)不能對角化任何一個(gè)性質(zhì)矩陣M，C，K，但它們所構(gòu)成的狀態(tài)向量，在狀態(tài)空間中可以對角化狀態(tài)矩陣，仍然可以實(shí)現(xiàn)對角化功能，除了由N維空間拓展至2N維空間所帶來的麻煩外，基本不妨礙對角化功能的應(yīng)用。

2.1 單頻且對稱系統(tǒng)的模態(tài)正交性及對角化功能

如果K，C，M均為對稱陣，且復(fù)頻率全不相同，那么構(gòu)造狀態(tài)向量φi=[uiλiui]T(i=1，2，…，2N)，則有狀態(tài)方程為

(λiA+B)φi=0.

(11)

ΦTAΦ=E.

(12)

ΦTBΦ=diag(-λ1，…，-λ2N).

(13)

2.2 重頻或非對稱系統(tǒng)的模態(tài)正交性及對角化功能

如果K，C，M至少有一個(gè)為非對稱陣，或復(fù)頻率發(fā)生重復(fù)，那么(12)和(13)式不再成立，但此時(shí)狀態(tài)向量不變，而使用狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

λiφi=Hφi.

(14)

ΨTΦ=E.

(15)

ΨTHΦ=diag(-λ1，…，-λ2N).

(16)

需要說明的是，復(fù)模態(tài)參數(shù)的標(biāo)號現(xiàn)象[9]可能更為常見，也如前文所述的方法加以處理，即可實(shí)現(xiàn)正交(15)和(16)式，使標(biāo)號現(xiàn)象并不致妨礙對角化功能的應(yīng)用。

如果當(dāng)K，C，M均對稱，且系統(tǒng)復(fù)頻率發(fā)生重復(fù)時(shí)，也可以使用(λiA+B)φi=0型狀態(tài)方程，但它的狀態(tài)向量可能并不正交，主要是因?yàn)槟切┲仡l所對應(yīng)的狀態(tài)向量之間可能并不具有正交性，因此需要實(shí)施施密特正交化技術(shù)，才能使它們完全具有正交性，再繼續(xù)實(shí)現(xiàn)對角化功能[12]。

如果當(dāng)K，C，M非對稱，且系統(tǒng)具有重頻時(shí)，即使是不同頻率所對應(yīng)狀態(tài)向量也不能保證正交性，如果如文獻(xiàn)[13]那樣，引入左狀態(tài)向量，也只能保證不同頻率所對應(yīng)的左右狀態(tài)向量之間是正交的。只能如上述2.2小節(jié)中所指出的那樣，引入伴隨向量系來實(shí)現(xiàn)對角化功能。

[1]張淼,于瀾,鞠偉.基于頻響函數(shù)矩陣計(jì)算阻尼系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的新方法[J].振動(dòng)與沖擊,2014,33(4):161-166.

[2]張淼,于瀾,鞠偉.重頻系統(tǒng)的頻率靈敏度分析算法研究[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,46(3):40-44.

[3]張淼,于瀾,鞠偉.虧損振系廣義狀態(tài)向量靈敏度的移頻算法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(6):872-878.

[4]張淼.虧損結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(1):91-94.

[5]李德葆,陸秋海.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[6]張淼,于瀾.對稱經(jīng)典阻尼系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)精確算法的比較研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,36(1):99-103.

[7]張淼,于瀾.對稱非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)精確算法比較[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,36(1):107-110.

[8]方保镕,周繼東,李醫(yī)民.矩陣論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004:146-147.

[9]張淼,于瀾,鞠偉.復(fù)模態(tài)正交性理論的異?，F(xiàn)象及對策分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2014,35(10):1081-1091.

[10]張文丹.對稱結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)向量的二階泰勒展開[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(6):142-146.

[11]張淼.非對稱結(jié)構(gòu)振型向量的海森陣算法及應(yīng)用研究[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(2):216-220.

[12]張淼,于瀾,鞠偉.重頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析的高精度截模態(tài)算法[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2014,27(4):526-532.

[13]于瀾,張淼,鞠偉,等.非保守系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的規(guī)范正交性及其應(yīng)用[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,45(4): 21-24.

Orthogonality of Modes and Its Diagonalization Function

LIU Guo-song，ZHANG Miao

(Changchun Institute of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

For the sake of several usual damping systems, the orthogonality of modes are remarked and sorted.The diagonalization function which they can carry out is differentiated and analyzed. And it applies the favorable theories by comparing conditions and range.

damped system; orthogonality; diagonalization; label phenomenon; state-space equation

2015-07-09

吉林省教育廳資助項(xiàng)目(吉教科合字[2014]335)；長春工程學(xué)院種子基金項(xiàng)目(320140026)。

劉國松(1979- )，男，吉林長春人，長春工程學(xué)院理學(xué)院副教授，碩士，從事理論物理及實(shí)驗(yàn)研究。

O321；TB122

A

2095-7602(2015)12-0005-03