二元復(fù)合重心型混合有理插值

趙前進(jìn)，侯中麗

（安徽理工大學(xué)理學(xué)院，安徽 淮南232001）

當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，Thiele型連分式有理插值可能比多項(xiàng)式插值的逼近效果更好。然而，有理插值函數(shù)難以避免在插值區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)極點(diǎn)，也難以控制極點(diǎn)的位置，另外還可能有不可達(dá)點(diǎn)。重心有理插值比Thiele型連分式有理插值計(jì)算量小，數(shù)值穩(wěn)定性好，選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)可以不出現(xiàn)極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)。Berrut，Schneider，Nguyen等對(duì)重心有理插值進(jìn)行了深入的研究［4-13］。在文獻(xiàn)［1］中，F(xiàn)loater和 Hormann通過(guò)在子節(jié)點(diǎn)集上構(gòu)造插值多項(xiàng)式，然后用特定的權(quán)函數(shù)對(duì)這些插值多項(xiàng)式進(jìn)行重心型的混合，構(gòu)造了一種無(wú)極點(diǎn)、高精度的復(fù)合重心有理插值。在文獻(xiàn)［2］中，Klein就等距節(jié)點(diǎn)的情形又對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，通過(guò)修正子節(jié)點(diǎn)集上的插值多項(xiàng)式構(gòu)造了一種新的復(fù)合重心有理插值。

本文將文獻(xiàn)［1］中的方法推廣到矩形域上的二元復(fù)合重心型混合有理插值。首先在小矩形域上構(gòu)造二元Newton插值多項(xiàng)式［3］，然后基于特定的權(quán)函數(shù)進(jìn)行重心型的復(fù)合，構(gòu)造了二元復(fù)合重心型混合有理插值，并進(jìn)一步分析了新的二元復(fù)合重心型混合有理插值的一些性質(zhì)，如無(wú)極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)等，最后由給出的數(shù)值例子驗(yàn)證了新方法的有效性。

1 二元復(fù)合重心型混合有理插值

設(shè)f（x，y）在D 上有定義，且記f（xi，yj）＝fij，（i＝0，1，2，…，m；j＝0，1，2，…，n）。

對(duì)任意整數(shù)d1和d2（0≤d1≤m，0≤d2≤n），對(duì)于每個(gè)i＝0，1，2，…，m-d1，j＝0，1，2，…，n-d2，設(shè)Pij（x，y）為｛（xk，yq）｜k＝i，i＋1，…，i＋d1；q＝j(luò)，j＋1，…，j＋d2｝上的二元 Newton插值多項(xiàng)式，基于重心型復(fù)合，構(gòu)造二元有理函數(shù)

2 插值性質(zhì)

性質(zhì)2．1 二元有理函數(shù)R（x，y）在矩形域D內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)。

證明 只需證明R（x，y）的分母大于零?，F(xiàn)在對(duì)（3）式的分子、分母同時(shí)乘以（-1）n-d2（y-y0）（y-y1）…（y-yn）有

3 數(shù)值例子

例1 取被插值函數(shù)f（x，y）＝（x＋y）ln（x2＋y2＋1），在［-5，5］×［-5，5］上取等距節(jié)點(diǎn)，將m＝10，n＝10，d1＝5，d2＝5及m＝20，n＝20，d1＝5，d2＝5的插值函數(shù)和被插值函數(shù)用MATLAB繪制如下圖，并求出了最大絕對(duì)誤差（f（x，y）＝（x＋y）ln（x2＋y2＋1）與插值函數(shù)在插值區(qū)間上的最大誤差）。

圖1 被插值函數(shù)

圖2 m＝10，n＝10插值函數(shù)

圖3 m＝10，n＝10誤差函數(shù)

圖4 m＝20，n＝20插值函數(shù)

圖5 m＝20，n＝20誤差函數(shù)

表1 誤差比較（d1＝5，d2＝5）

由上表可見(jiàn)，m、n越大，插值誤差越小。

4 結(jié)論

筆者給出矩形域上的二元復(fù)合重心型混合有理插值新方法，首先在小矩形域上構(gòu)造二元Newton插值多項(xiàng)式，然后基于重心型復(fù)合，構(gòu)造出了二元復(fù)合重心型混合有理插值，證明了二元復(fù)合重心型混合有理插值無(wú)極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)，最后用數(shù)值例子驗(yàn)證了新方法的有效性。

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