錯例點撥平面向量

劉飛??

學習平面向量，最為主要的數(shù)學思想是等價轉(zhuǎn)化思想，但在解決實際問題中常易發(fā)生下列錯誤.

1.混淆向量運算與實數(shù)運算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，試求a與b的夾角.

錯解由題意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

設a與b的夾角為θ. 則cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正確的，這里將向量運算誤認為是實數(shù)運算，利用約分對代數(shù)式進行化簡，因此導致出錯.其實很多實數(shù)范圍內(nèi)的運算性質(zhì)都不能類比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint

學習平面向量，最為主要的數(shù)學思想是等價轉(zhuǎn)化思想，但在解決實際問題中常易發(fā)生下列錯誤.

1.混淆向量運算與實數(shù)運算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，試求a與b的夾角.

錯解由題意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

設a與b的夾角為θ. 則cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正確的，這里將向量運算誤認為是實數(shù)運算，利用約分對代數(shù)式進行化簡，因此導致出錯.其實很多實數(shù)范圍內(nèi)的運算性質(zhì)都不能類比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint

學習平面向量，最為主要的數(shù)學思想是等價轉(zhuǎn)化思想，但在解決實際問題中常易發(fā)生下列錯誤.

1.混淆向量運算與實數(shù)運算

例1已知a， b都是非零向量，a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，試求a與b的夾角.

錯解由題意得（a+3b）（7a-5b）=0（a-4b）（7a-2b）=0 整理得2a·b=（b）2， 所以 2a=b.

設a與b的夾角為θ. 則cosθ=a·b|a||b|=1，故θ=0°.

剖析由2a·b=（b）2得2a=b是不正確的，這里將向量運算誤認為是實數(shù)運算，利用約分對代數(shù)式進行化簡，因此導致出錯.其實很多實數(shù)范圍內(nèi)的運算性質(zhì)都不能類比到向量中使用.

比如：①a（b·c）=（a·b）c，②|a||b|=|a·b|， ③ （a·b）2=a2·b2，

④ a·b=c·ba=c等.

正解由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0.整理得2a·b=b2endprint