基于應用與幾何直觀的線性代數教學方法

【摘 要】線性代數是現代科學的一個基本而重要的研究工具，是很多專業(yè)的基礎課程。然而，傳統的教學方法過分強調理論及其推導，使得很多學生覺得線性代數很抽象。筆者結合自身的學習和教學經驗，通過線性代數在最小二乘近似中的應用來說明線性代數的“工具”本質和幾何直觀的重要性，進而探討線性代數教學的新思路和方法。

【關鍵詞】線性代數 矩陣 線性方程組 最小二乘近似

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0007-02

線性代數是高等數學中最基礎的部分，隨著科學技術的發(fā)展，線性代數幾乎運用于所有科學研究中，因而它是大學理工科和經濟類各專業(yè)學生的重要基礎課之一。然而另一方面，這門課程內容相對抽象，加之國內教學長期以來獨立講解各種概念和定義、過分強調定理的證明而忽略其實質和幾何背景，使得初學者感到非常困難和枯燥。這種教學就好像把這門學科拆成了碎片，對每一部分進行詳盡、瑣碎的考察。每一細節(jié)都弄清楚了，而完整的形象卻消失了。在線性代數的教學過程中，存在以下問題：（1）線性代數課程自身的特點：抽象概念較多，邏輯思維能力要求較高。（2）課時量少。多數高校非數學專業(yè)的線性代數課時數都較少，一般為30～40課時之間，造成了課程教學要求和教學課時量之間的矛盾，從而使教師在講授這門課程時有較大難度和挑戰(zhàn)。（3）國內線性代數教材編排沿用數學專業(yè)《高等代數》課程體系和思路，重基礎、輕應用，使學生感覺學習存在困難。

國內已有很多教師在解決上述問題方面做了有益的嘗試。線性代數這門課程有兩個重要的特征：（1）它有極強的幾何背景；（2）作為應用，它為許多科學問題的解決提供了必要且有力的工具。我們在授課中緊扣這兩個特征，從問題出發(fā)，利用線性代數的幾何直觀使學生掌握線性代數的基本思想、方法和技巧。

一 在教學中突出幾何直觀

線性代數名曰代數，處理的卻是幾何對象：向量空間及其變換。向量是最基本的，也是學生比較熟悉的數學概念，向量及其運算和性質也是線性代數中的最基本元素。因而，教學開始就向學生重點介紹向量的有關知識和運算（點積、線性組合等），并結合二維和三維時的幾何直觀。當學生熟悉了向量及線性組合的概念和幾何意義之后，線性方程組和

空間就是很自然的概念了。以二元線性方程組 …（1）

為例，這是學生在小學時就用過的數學工具，而且知道它的幾何意義：求直線2x+y=0和直線x+2y=1的交點坐標。

如今我們可將（1）式記作： …（2）。這樣，

2元線性方程組又具有了特殊的含義：要使得向量 是向量

和 的線性組合，求組合系數x和y。而集合S=

便是由向量 和 生成的2維空間。

還可以利用點積的定義將（1）式記作： …（3）

這是在線性代數中線性方程組的表示方式。集合S即為矩陣

的列向量組生成的空間，又顯然（1）式是有解的，這

也意味著向量 。更重要的是：這里給出了矩陣的乘法

定義，也為“線性變換”這一線性代數的核心概念埋下伏筆。

如此看來，線性代數就是從解決最基礎最原始的問題——“求解線性方程組”而發(fā)展出來的一門學科，在二維情形下其幾何直觀是我們早已熟知的。接下來要做的是將其推廣到高維情形并詳細討論。而令學生費解的矩陣的乘法定義就是若干向量兩兩之間的點乘，它也來源于線性方程組，是很自然的定義。由此，我們從幾何直觀出發(fā)，對線性方程組進行刻畫，使學生領會線性代數的基本思想和方法。

二 線性代數的應用

線性代數處理的對象主要是向量空間及其線性變換；處理的工具主要是矩陣。通過線性方程組，我們對矩陣的概念、特性、運算及在解線性方程組中的應用等知識有所了解。我們闡述一個線性代數應用的例子，更好地說明線性代數作為“工具”的本質。而這個例子本身也可以體現學科之間的互通和數學的美妙。

如圖1，設a，b∈R2，設向量 是b在a上的投影，稱e=b-p為該投射的誤差。因為e與a垂直（正交），所以

，解得 。即： …（4），令

，顯然PT=P且P2=P，我們稱P為投影矩陣，（4）式

的含義即為“b在a上的投影=投影矩陣P左乘向量b”，而性質P2=P可以理解為“投影的投影還是投影本身”這一幾何直觀。

下面我們推廣到大于二維的情形，設有線性無關的m維向量a1，a2，…，an，S是a1，a2，…，an生成的子空間，令b∈Rn，且 。設 是b在S上的投影，其中A=[a1，a2，…，an]，誤差為 （如圖2）。因為e垂直于S（即e與S中所有的向量正交），所以ATe=0，即 ，因為a1，a2，…，an線性無關，所以方陣ATA可逆。因此解

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* 四川外國語大學教改立項項目——外語院校金融專業(yè)數學教學模式研究（編號：123219）

得 。即 。

同二維一樣，我們稱矩陣P=A（ATA）-1AT為投影矩陣，顯然PT=P且P2=P。

圖1 圖2

注：圖1為向量b在向量a上的投影；圖2為向量b在平面S（S=矩陣A的列向量生成的子空間）上的投影。

以上投影的思想和方法可被用來解決一個問題：當線性方程組Ax=b無解的時候，我們如何求得最優(yōu)的近似解？

Ax=b無解，即b不屬于矩陣A的列向量組生成的子空間（記作S）。所謂最優(yōu)近似解 ，即滿足 是b在子空間S上的投影，此時的誤差 最小。即把求Ax=b轉化為求 ，即 。

下面我們給出這一方法的一個精彩應用：設（0，6），（1，0），（2，0）是平面上的三個點，我們需要找到一條直線b=C+Dt，使得該直線距離這三點的距離最近，即求最優(yōu)擬合直線。顯然這三點并不在一條直線上?？紤]方程組：

，我們記 。

顯然方程組Ax=b無解。由以上討論，我們求最優(yōu)近似解，

其滿足方程組 的。即： ，解得C=5，

D=-3。得到直線方程b=5-3t。

從圖3可知（圖3為點（0，6），

（1，0），（2，0）與直線b=5-3t

的誤差）：

，即

為誤差。這就是在科學分析中常見的最小二乘近似的代數解釋。如果用微積分的知識來求最優(yōu)擬合直線，即求函數 的最大值點，令

化簡得： 得到相同的結果。我們可以看到線性代

數作為工具，可以解決實際的問題，微積分將非線性對象歸結為線性對象，處理線性對象的任務就交給線性代數。特別在多元微積分中更是如此。此外，這種利用幾何直觀解釋最小二乘近似更便于學生接受和理解，且可以激發(fā)學生的學習興趣。

三 線性代數教法的有益嘗試

以往教材體系，一般是按定義、公理、引理、定理、推論的模式來編寫。這樣有利于讓學生打下堅實的基礎，以便在后續(xù)課程的學習或研究過程中逐步體會線性代數的思想和應用。這種編排對大多非數學專業(yè)的學生來講顯得太“數學化”了，因此很難接受和適應。另一方面，教材的編排遵從嚴密的邏輯體系，這樣做往往會忽視問題的重要性，而只關注闡述知識的過程及其嚴謹性。即便學習很認真刻苦，學生也容易感覺“只見樹木不見森林”。有些學生題目做了很多，技巧和方法用得爛熟，但問到“線性代數有什么用”，他們依然一頭霧水。國內大多數線性代數教材一開始就講行列式和它繁雜的性質和運算技巧。它的定義很復雜、抽象，雖然學生知道它是在解線性方程組的過程中被發(fā)現和定義的，但依然不明白這個定義有什么用？事實上，當我們學習了矩陣、線性方程組和向量空間之后，再學習行列式，它的定義就很自然了。它實際上就是將一個方陣經過初等變換為階梯形后，對角線元素的乘積，這個數字反映了方陣的某些重要的特性（如是否可逆）。教學中在講解完它的定義和性質之后，介紹其幾何背景：二階行列式就是平行四邊形面積，行列式的性質都可以在平面上通過畫圖直觀表示。而且二階行列式可以通過代表它的一組鄰邊的向量按乘法法則展開得出來。行列式等于零就是面積為零，就是這個平行四邊形退化到一條線上了，也就是線性相關三階行列式是平行六面體的體積。n階行列式可以看作它的各行張成的n維的體積，它的算法公式也可以由各行按乘法法則展開得到。這樣，既對于行列式就有了一個較為直觀的認識，又很好地反映了線性代數的幾何直觀。

學習線性代數和做科研一樣，發(fā)現問題是核心。教師應當先拋出問題給學生（如求解方程組、線性方程組的解集與未知數個數和方程個數之間有何關系、向量怎樣坐標化、n維數組空間的向量什么時候是基……），問題是很具體的，容易激起學生的求知欲和興趣。然后圍繞解決問題去組織教學內容，逐步通過解決問題來引入定義，給出性質、方法和技巧。這樣更符合人的認知過程和學科發(fā)展的自然規(guī)律。

四 結束語

我們在教學中做了以上嘗試之后，學生覺得線性代數的入門形象了許多，并能切身感受到發(fā)現問題、分析問題和利用線性代數這一有力工具解決問題的全過程，而不僅僅以會做題目來衡量是否學好了線性代數這門課。我們將繼續(xù)深化這種嘗試和改革，以問題為中心、以幾何背景為手段，以期形成一套完善的線性代數的新教學模式。

參考文獻

[1]王利東、劉婧.從應用實例出發(fā)的線性代數教學模式探討[J].數學教育學報，2012（3）：83～85

[2]王躍恒、李應求.關于以學生為中心的線性代數教學研究[J].中國大學教學，2011（8）：59～61

[3]白旭英、陳小蕾.引入MATLAB進行線性代數教學的探究[J].價值工程，2011（34）：210～211

[4]黃玉梅、李彥.非數學專業(yè)線性代數教學改革探討[J].重慶文理學院學報（自然科學版），2009（5）：87～89

[5]陳利婭、賴霞.恰當使用目標教學法，提高線性代數教學質量[J].高等教育研究（成都），2010（2）：87～89

[6]王海俠、孫和軍、石霞.從低維到高維——加強《線性代數》的幾何直觀教學[J].數學教學研究，2010（1）：66～68

[7]同濟大學數學教研室.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，1999

[8]郭聿琦、岑嘉評、徐貴桐.線性代數導引[M].北京：科學出版社，2001

〔責任編輯：林勁〕