巧借基礎(chǔ)拓展提高

顧紅松

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點關(guān)于點對稱，線關(guān)于點對稱，點關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實際上是同一類題.

解設(shè)點A關(guān)于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內(nèi)一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標(biāo)原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點關(guān)于點對稱，線關(guān)于點對稱，點關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實際上是同一類題.

解設(shè)點A關(guān)于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內(nèi)一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標(biāo)原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統(tǒng)性、理論性、抽象性的應(yīng)用要求加大，因而，不少在初中時學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀的學(xué)生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認(rèn)真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學(xué)的數(shù)學(xué)知識與初中所學(xué)的知識銜接不緊，于是不少學(xué)生產(chǎn)生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學(xué)習(xí)來說關(guān)系不大，初中的知識算是白學(xué)了.因此，他們對學(xué)習(xí)失去了信心，進而產(chǎn)生消極怠慢的厭學(xué)情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學(xué)習(xí)也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎(chǔ)？又怎能奢望在此基礎(chǔ)上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不可能有高中數(shù)學(xué)的提高.現(xiàn)就解析幾何中的幾個知識點的學(xué)習(xí)，談?wù)勅绾胃玫剡\用初中知識解決高中數(shù)學(xué)中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領(lǐng)學(xué)生走出思想的誤區(qū)，提升學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

解析幾何的核心是用代數(shù)方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數(shù)思想有效的結(jié)合，這將對該部分的學(xué)習(xí)起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關(guān)對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學(xué)直線的基礎(chǔ)上對直線的進一步的系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)的過程中常會遇到一些有關(guān)對稱問題，不少學(xué)生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學(xué)的對稱問題主要有四種類型：點關(guān)于點對稱，線關(guān)于點對稱，點關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學(xué)習(xí)，可引導(dǎo)學(xué)生換角度去思考，讓學(xué)生結(jié)合以前所學(xué)的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學(xué)生自然會想到初中所學(xué)的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學(xué)生復(fù)習(xí)兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學(xué)生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導(dǎo)學(xué)生將作圖過程代數(shù)化，讓知識更形象化，使得復(fù)雜問題更簡單，讓學(xué)生更深刻地體會到初中基礎(chǔ)對高中進一步學(xué)習(xí)的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側(cè)有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學(xué)生可得出一致的結(jié)論，這兩題實際上是同一類題.

解設(shè)點A關(guān)于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯(lián)立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關(guān)問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學(xué)的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數(shù)的角度來研究圓，在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中若能將初高中知識有機的結(jié)合，對這部分的學(xué)習(xí)將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關(guān)系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關(guān)研究點和圓的位置關(guān)系時，涉及到過圓內(nèi)一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現(xiàn)初中知識的優(yōu)越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區(qū)

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學(xué)生在看到該題時易陷入思維誤區(qū)，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發(fā)現(xiàn)，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內(nèi)一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關(guān)問題

本章中對于直線與圓的位置關(guān)系從幾何和代數(shù)兩方面進行了研究，用代數(shù)方法解決這類問題較直接，方法單調(diào)，易掌握，但運算量較大，很多學(xué)生花了很多時間卻算了一個錯誤的結(jié)果，得不償失.若能將初中所學(xué)的知識在這兒靈活地應(yīng)用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學(xué)生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標(biāo)，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發(fā)現(xiàn)PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標(biāo)原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結(jié)P和圓心C的一定直線，構(gòu)造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎(chǔ)決定上層，細(xì)節(jié)決定成敗，初中數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有建立在牢靠的基礎(chǔ)上，才能建成萬丈高樓.