從《空間幾何體的結(jié)構(gòu)》課例看概念課的教學(xué)模式

洪瓊

摘 ?要：本文的主要目的是形成概念課教學(xué)的基本模式，通過具體課例《空間幾何體的結(jié)構(gòu)》第一課時(shí)教學(xué)過程的翔實(shí)記錄和課例點(diǎn)評，展現(xiàn)概念課教學(xué)的四個(gè)基本環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境、提出問題;觀察、分析、歸納，形成概念;辨析延伸、鞏固內(nèi)化、類比遷移;總結(jié)方法與策略. 強(qiáng)調(diào)自然合理地形成、精確到位地辨析概念和提煉數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)方法的重要性.

關(guān)鍵詞：概念課;教學(xué)模式;探究;歸納;辨析

2014年4月臺州市李昌官名師工作室開展了以“高中數(shù)學(xué)探究性、研究性教學(xué)”為主題的活動(dòng). 會(huì)議邀請了人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室原主任、人教高中數(shù)學(xué)A版教材執(zhí)行主編章建躍博士作關(guān)于概念課教學(xué)模式的選擇的報(bào)告，并結(jié)合課例展開研討. 本人作為工作室成員，結(jié)合以前本人開設(shè)的一堂廣受好評的公開課《空間幾何體的結(jié)構(gòu)》第一課時(shí)，對概念課教學(xué)模式進(jìn)行解構(gòu)，供大家閱讀、評價(jià)、研討.

教學(xué)過程

1. 提供產(chǎn)生問題的情境與素材，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望

課前五分鐘播放一些世界經(jīng)典建筑的圖片和音樂，配合幻燈片“音樂的美用耳朵來感受，幾何的美用眼睛來察覺”，“數(shù)學(xué)跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同見證著宇宙的包容、簡潔、穩(wěn)定”.

教師：同學(xué)們， 剛才我們欣賞了一些非常著名的經(jīng)典建筑. 比如我們國家的游泳館水立方、體育館鳥巢、上海的東方明珠等等，這些美妙的經(jīng)典建筑給你們什么感受？

學(xué)生：美的享受.

教師：那么這些建筑美在哪里呢？

學(xué)生1：顏色、結(jié)構(gòu)、形狀有規(guī)則.

教師：（展示幻燈片）這是一些平常建筑的素描設(shè)計(jì)稿，中國美院的院長這樣解釋素描：“素描就是研究空間中的立體構(gòu)造.” 所以我們要學(xué)會(huì)欣賞美，探索美，創(chuàng)造美，就要從研究幾何學(xué)開始. 幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科. 我們在初中時(shí)已經(jīng)接觸過，請回憶一下.

學(xué)生2：有圓、平行四邊形、三角形等等，這些都是平面圖形.

教師：對，這就是平面幾何. 我們剛才所欣賞的建筑物是平面圖形嗎？我們研究的范圍局限在平面范圍內(nèi)夠不夠？

學(xué)生2：不是平面圖形，是空間圖形，要在空間內(nèi)研究.

2. 搭建問題框架，精確設(shè)計(jì)問題，使問題系列化、結(jié)構(gòu)化、具體化，要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)展開. 自然合理地提出問題，明確對問題探究的思路、方法與策略.

（1）導(dǎo)出空間幾何體的概念

教師：以剛才的水立方為例， 如果我們只考慮它的形狀和大小， 不考慮它的顏色、組成的材料等其他因素， 那么我們抽象出來的空間圖形是什么？

學(xué)生（眾）：一個(gè)長方體.

教師：我們把只考慮物體的形狀和大小， 不考慮其他的因素抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體.空間幾何體是幾何學(xué)的重要組成部分，它在土木建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、航海測繪等大量實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用. 本章我們從空間幾何體的整體觀察入手，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、學(xué)會(huì)以三視圖和直觀圖來描述這些結(jié)構(gòu)特征的方法，了解一些簡單幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法.

（2）運(yùn)用歸納與類比探究多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念

多媒體顯示實(shí)物圖片.

教師：觀察下面的圖片， 這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？我們把這些物體的形狀叫做什么？如何描述？

學(xué)生3：分別是圓柱、圓錐、球、圓臺. （遲疑片刻）還有棱柱、棱錐、棱臺.

教師：觀察并分析它的結(jié)構(gòu)特征.？搖

（多媒體給出結(jié)構(gòu)特征的現(xiàn)代漢語詞典解釋：各個(gè)組成部分的搭配和排列）

我們知道平面圖形的組成是點(diǎn)和線，那么空間幾何體的組成部分呢？

學(xué)生3：點(diǎn)、線、面.

教師：那么就從點(diǎn)、線、面入手，去分析一下結(jié)構(gòu)特征.

學(xué)生3：組成圖1、2、3的主要是線段，圖4、5、6、7中有曲線.

學(xué)生4：圖1、2、3中，組成幾何體的面全都是平面圖形，其余幾何體的面不全都是由平面組成的，而且都跟圓面有關(guān).

教師：按這樣分析，該怎么分類呢？

學(xué)生5：1、2、3一類，4、5、6、7一類.

教師：好的， 請歸納圖形1、2、3的共同特征，并給個(gè)名稱.

學(xué)生5：組成多面體的面都是平面多邊形，就叫多面體.

教師：請接著來歸納圖形4、5、6、7的共同特征.

學(xué)生5：都有曲面.

學(xué)生6：都與圓有關(guān)，如果取截面的話，能得到圓.

教師：請回憶一下用圓規(guī)畫圓的過程，一個(gè)點(diǎn)固定，另一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周. 這些空間幾何體是否可以看成平面圖形旋轉(zhuǎn)而成呢？以圓柱為例.

學(xué)生6：圓柱可以看成長方形繞一條邊旋轉(zhuǎn)而成.

教師：那么圓錐、圓臺和球呢？

學(xué)生6：圓錐可以看成直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成，圓臺可以看成直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，球可以看成圓繞直徑旋轉(zhuǎn)而成.

教師：很好. 那么同學(xué)們能根據(jù)它們的共同特征給出一個(gè)名稱嗎？并嘗試給出定義.

學(xué)生7：旋轉(zhuǎn)體. ？搖我們把由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

教師：到目前為止，我們歸納出了兩類幾何體：多面體和旋轉(zhuǎn)體. 它們是空間幾何體的兩大基本類型. 我們接著來研究多面體.

（3）充分觀察、分析、歸納，探究棱柱的結(jié)構(gòu)

多媒體放映多個(gè)棱柱、棱錐、棱臺.

教師：觀察下列多面體， 并根據(jù)它們的形狀進(jìn)行合理分類，并說明理由.

學(xué)生8：圖8、9、10、11一類，圖12、13一類，圖14、15一類，一類是上下均勻的，一類是上下不均勻的，一端大一端小，還有一類有一端是一個(gè)點(diǎn).

學(xué)生9：分類方式一樣，一類是上下底面相同，另一類上下底面不相同，還有一類是只有一個(gè)底面的.

教師：你們能根據(jù)不同的類別的結(jié)構(gòu)特征命名嗎？

學(xué)生8：柱形、錐形、臺形.

教師：我們習(xí)慣稱平行四邊形、正方形，“形”字通常用來形容平面圖形.

學(xué)生9糾正：柱體、錐體、臺體.

教師：圓柱、圓錐、圓臺也分別是柱體、錐體、臺體，怎么區(qū)分呢？

學(xué)生9：棱柱、棱錐、棱臺.

教師：很好，“棱”字體現(xiàn)了多面體結(jié)構(gòu)的一個(gè)特征. 我們來研究一下棱柱. （多媒體顯示多個(gè)棱柱）

你能用文字語言給棱柱下個(gè)定義嗎？請大家從棱柱結(jié)構(gòu)中面的特點(diǎn)以及面與面的關(guān)系、棱與棱的關(guān)系找到它們的共同結(jié)構(gòu)特征. （學(xué)生歸納，教師板書）

學(xué)生9：①有兩個(gè)面平行， 并且這兩個(gè)面全等. ②其他的面都是矩形. ③其他各面的交線平行且相等.

學(xué)生10：第二條應(yīng)該改為其他的面都是平行四邊形. 再補(bǔ)充④其他各面與上下兩個(gè)面的交線平行也相等.

教師：非常好，現(xiàn)在這些結(jié)論都正確？

學(xué)生：正確.

教師：數(shù)學(xué)定義不僅要求科學(xué)正確，更要求簡潔. 我們看，這幾條當(dāng)中哪些能體現(xiàn)棱柱的本質(zhì)特征，哪些可以刪去呢？

學(xué)生11：第四條可以刪去，因?yàn)榈诙l就已經(jīng)保證了.

教師：很好. 我們現(xiàn)在對照課本思考一下，課本定義與我們的有什么區(qū)別.

為什么課本刪去“上、下兩個(gè)面全等”？

學(xué)生12：我覺得上、下兩個(gè)面平行了，再加上條件2、3就已經(jīng)能保證上下兩個(gè)面全等了，不必寫出. （部分學(xué)生恍然大悟，部分學(xué)生迷惑）

教師：沒錯(cuò)，這兩位同學(xué)想法是正確的，但是要等我們學(xué)到下一章才能證明.

所以棱柱的定義可以概括為：

學(xué)生（眾）：①有兩個(gè)面互相平行，②其余各面都是平行四邊形，③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行. 由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（教師在黑板上畫出棱柱，并寫出棱柱的表示方法）

3. 對學(xué)生探究的結(jié)論及時(shí)辨析延伸，鞏固內(nèi)化，類比遷移

（1）概念辨析鞏固

多媒體繼續(xù)演示

教師：觀察下列多面體，判斷它們是不是棱柱，若不是，請說明理由.

學(xué)生13：圖16、17、18是，圖19不是，因?yàn)椴粷M足棱柱特征的第一條有兩個(gè)面平行，圖20不是：雖然它滿足有兩個(gè)面平行，但是不滿足第二條.

教師：很好，那么有兩個(gè)面平行，其余面都是平行四邊形的空間幾何體一定是棱柱嗎？

學(xué)生13：應(yīng)該是.

教師：如果是的話，棱柱的定義就可以修改了，這樣更簡潔啊，我們看個(gè)例子.

多媒體演示

圖21

（學(xué)生恍然大悟）

教師：所以說，棱柱的三個(gè)本質(zhì)特征缺一不可.

（2）概念延伸

教師：觀察這三個(gè)棱柱有什么區(qū)別呢？

學(xué)生14：側(cè)面與底面的位置關(guān)系不一樣，有的垂直，有的不垂直.

學(xué)生15：底面多邊形的邊數(shù)不一樣，有三角形、四邊形、五邊形.

教師：兩位同學(xué)說得都對，按第一位同學(xué)的分法，以側(cè)棱是否與底面垂直分為直棱柱和斜棱柱.

按第二位同學(xué)的分法，以底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱.

（3）概念內(nèi)化

我們共同討論得到了棱柱的定義、相關(guān)的概念、表示的方法、分類. 下面我們來做幾道題：

①如圖22，過BC的截面截去長方體的一角， 截去的幾何體是不是棱柱， 余下的幾何體是不是棱柱？

圖22

學(xué)生16：截去的部分是三棱柱， 余下的部分是底面是直角梯形的一個(gè)四棱柱.

②觀察長方體，共有多少對平行平面？能作為棱柱的底面的有幾對？

學(xué)生17：三對平行平面;這三對都可以作為棱柱的底面.

③觀察圖23中的棱柱，共有多少對平行平面？能作為棱柱的底面的有幾對？

學(xué)生18：有四對平行平面，但只有上下兩個(gè)平行平面可作為棱柱的底面，其他三對平行平面都不能作為棱柱的底面，如圖24.

④棱柱的任何兩個(gè)平行平面都可以作為棱柱的底面嗎？

學(xué)生19：不是的.

教師多媒體演示圖的另一種放置方式.

（4）類比學(xué)習(xí)棱錐的定義

教師：現(xiàn)在我們對棱柱概念已經(jīng)有了比較深刻的理解，根據(jù)我們剛才學(xué)習(xí)棱柱的過程和經(jīng)驗(yàn)，我們現(xiàn)在來研究棱錐. 現(xiàn)在請大家觀察棱錐，從面的角度描述一下它的幾何結(jié)構(gòu)特征.

學(xué)生20：它的周圍是有公共頂點(diǎn)的三角形，跟頂點(diǎn)相對的是一個(gè)平面多邊形.

教師：描述得很好，但是“旁邊”這個(gè)說法不太準(zhǔn)確，我們換個(gè)說法：有一個(gè)面是平面多邊形，其余面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐.

教師：現(xiàn)在同學(xué)們可以給構(gòu)成棱錐的面和線段進(jìn)行命名.

學(xué)生21：把平面多邊形叫做底面， 其余三角形叫做側(cè)面;三角形的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，各側(cè)面的公共邊叫做側(cè)棱.

教師在黑板上畫出棱錐，寫出棱錐的表示方式.

圖25

教師：像學(xué)習(xí)棱柱一樣，大家也給棱錐進(jìn)行分類.

學(xué)生22：按底面多邊形的邊數(shù)來分，可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…….

教師：觀察這個(gè)三棱錐，哪個(gè)面可以作為棱錐的底面？哪個(gè)點(diǎn)可以作為棱錐的頂點(diǎn)？

學(xué)生22：每個(gè)面都可以作為底面，與底面相對的點(diǎn)可作為頂點(diǎn).

教師：這就是三棱錐具備的特殊性，四個(gè)面都可以作為底面，我們也把三棱錐稱作四面體.

4. 梳理知識結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，總結(jié)研究問題的方法與策略

教師：請一位同學(xué)回顧整理這堂課的內(nèi)容.

學(xué)生23：我們學(xué)習(xí)了空間幾何體中的多面體、旋轉(zhuǎn)體，再從多面體轉(zhuǎn)移到別的多面體，棱柱、棱錐. 重點(diǎn)學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐的定義、表示方法.

教師：很好，既然我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了定義，你能否描述一下我們學(xué)習(xí)定義的過程.

學(xué)生23：先給出很多具體事例，通過觀察比較，找出共同特征，再歸納描述成具體的語句.

教師：我們一開始就歸納準(zhǔn)確了嗎？

學(xué)生：沒有，需要不斷修正，然后再通過具體的例子進(jìn)行辨析，說明歸納出的定義是正確的.

教師：這位同學(xué)概括得非常到位. 通過這堂課我們可以感受到數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)、研究的幾個(gè)步驟：①觀察、分析大量實(shí)例;②抽象、概括共同特征;③歸納總結(jié)數(shù)學(xué)概念;④正、反兩面進(jìn)行辨析. 我們可以感受到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是自然合理的！數(shù)學(xué)定義是準(zhǔn)確、科學(xué)和簡潔的！

作業(yè)布置：分析棱臺的結(jié)構(gòu)特征，自主形成概念，并與課本相對照進(jìn)行修正;制作棱柱、棱錐、棱臺的模型;了解空間幾何學(xué)發(fā)展史與現(xiàn)有分支情況.

課例評價(jià)

本課例評價(jià)內(nèi)容來源于執(zhí)教者自我反思以及工作室成員的客觀點(diǎn)評.

本課例是必修2立體幾何的起始課，包括“章引言”和“1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)”兩部分，章引言滲透在具體內(nèi)容中，不做單獨(dú)講解. 空間幾何體的結(jié)構(gòu)第一課時(shí)，屬于概念課的教學(xué)，主要讓學(xué)生去形成空間幾何體的定義、分類，感受棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和定義形成過程.

1. 本課優(yōu)點(diǎn)

（1）對概念形成過程濃墨色彩

概念教學(xué)的核心是概括，即將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念. 本課例設(shè)計(jì)框架符合知識演變的邏輯和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從空間幾何體的概念、分類到棱柱、棱錐概念的產(chǎn)生，從模糊到精細(xì)，從拓?fù)涞蕉攘? 其次，本課特別追求概念形成要符合學(xué)生的思維展開過程和心理感受過程，在問題設(shè)置上別具匠心，每一個(gè)問題的設(shè)置都是讓學(xué)生跳一跳就能夠得到，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，方便學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu). 課例充分體現(xiàn)了教的主導(dǎo)地位和學(xué)的主體地位. 本課探究策略設(shè)計(jì)合理、思路清楚、操作可行、探究活動(dòng)真實(shí)，使學(xué)生獲得豐富的情感體驗(yàn);概念形成自然合理，概念辨析和拓展精確到位.

（2）注重學(xué)生學(xué)習(xí)方法的總結(jié)提煉

本課在內(nèi)容安排上到棱錐定義為止，重心放在棱柱定義的構(gòu)建上. 通過經(jīng)歷對大量的具體實(shí)例進(jìn)行概括歸納得到棱柱定義的過程后， 讓學(xué)生體會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的方法研究棱錐的定義，學(xué)生通過類比活動(dòng)而獲得研究對象的內(nèi)容與方法的成形，進(jìn)一步清晰展現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念尤其是幾何體概念的基本思路.

作為《空間幾何體》的起始課，重要的不是介紹棱柱、棱錐等幾個(gè)相關(guān)概念，而是讓學(xué)生經(jīng)歷對學(xué)習(xí)對象觀察、歸納、分析、概括、辨析的思維過程和認(rèn)識數(shù)學(xué)新對象的歸納類比的基本方法，這是一個(gè)帶有“本源”性質(zhì)的過程，即要使學(xué)生從中體會(huì)到認(rèn)識一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“基本套路”. 本課在最后小結(jié)環(huán)節(jié)中，除了知識總結(jié)外，讓學(xué)生主動(dòng)根據(jù)學(xué)習(xí)過程描述概念獲取的思路過程，并歸納為四個(gè)步驟，對學(xué)生思維靈活遷移程度、廣度和深度及創(chuàng)造力等都有很大的幫助.

2. 不足之處

本課例對概念課教學(xué)的流程和模式展示上有示范意義，但由于不能算高中數(shù)學(xué)中的核心概念課，本課十分強(qiáng)調(diào)概念產(chǎn)生的自然和學(xué)生的概括歸納，但是沒有很好體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深入和淺出. 因?yàn)閳?zhí)教者追求起始課結(jié)構(gòu)的完整性和多個(gè)概念的流暢程度，導(dǎo)致內(nèi)容結(jié)構(gòu)、層次較復(fù)雜.