用參數(shù)方程解決點(diǎn)軌跡方程的優(yōu)越性

周志峰

一、問(wèn)題提出

關(guān)于點(diǎn)的軌跡方程，之前已有大量的文章進(jìn)行了分析與總結(jié)，求軌跡方程的方法一般可分為直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法等，不同的方法適用不同的題型，但值得指出的是參數(shù)法有其特殊的優(yōu)越性，在高考中相關(guān)點(diǎn)法的應(yīng)用比較頻繁，但相關(guān)點(diǎn)發(fā)必須要找到所求點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的代數(shù)關(guān)系，這需要學(xué)生有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力，殊不知相關(guān)點(diǎn)法的題往往可用參數(shù)法來(lái)完成，從這個(gè)意義上說(shuō)參數(shù)法應(yīng)用更廣泛.

在江蘇省，參數(shù)法的學(xué)習(xí)是在選修4—4中，屬于理科生的選學(xué)部分，對(duì)于文科生就失去了這一機(jī)會(huì)，因此在高考中文科生做法較為單一，失分情況也較多，適當(dāng)普及參數(shù)法，在求軌跡方程時(shí)有一定的積極意義.

二、例題剖析

題1? 已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè).

1. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2. 若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程

解（1）因?yàn)?img alt="" height="25" src="file：///C：/Users/ADMINI～1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif" width="88"/>，所以，所以橢圓方程為.

（2）法一：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為.

M為PA的中點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為.

P點(diǎn)坐標(biāo)為.

由于P點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得.

此方程即為點(diǎn)M的軌跡方程.

法二：

橢圓的參數(shù)方程為.endprint

設(shè)，則.

消去參數(shù)可得：.

法一為相關(guān)點(diǎn)法，在這題中點(diǎn)M之所以有軌跡產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)是由于點(diǎn)P是有軌跡的，利用相關(guān)點(diǎn)P的軌跡，依托M與P的關(guān)系，帶出點(diǎn)M的軌跡方程.

法二則為參數(shù)方程法，設(shè)橢圓離心角為參加，建立起所求點(diǎn)分別與參數(shù)的關(guān)系進(jìn)而得到所求點(diǎn)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系，消參成為關(guān)鍵的一步.

在本題中兩種方法似乎看不出優(yōu)越性，不妨再看題2.

題2?? 已知拋物線，A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且OAOB，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：此題用相關(guān)點(diǎn)法做的困難在于很難用點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，這樣也就很難利用相關(guān)點(diǎn)A和點(diǎn)B 的軌跡來(lái)求出點(diǎn)M的軌跡方程。下面用參數(shù)方程來(lái)解決.

設(shè)，顯然OA與OB斜率都存在，不妨設(shè)直線OA的斜率為，則OB的斜率為，故直線OA方程為，代入拋物線方程得，得到：.

同理可得：，從而有，消參可得：.endprint

此題明顯用參數(shù)方程較為簡(jiǎn)單，但是參數(shù)的選取是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于參數(shù)的選取標(biāo)準(zhǔn)為所有條件都能用同一個(gè)參數(shù)表示，在這一題中抓住垂直關(guān)系，故所取參數(shù)為直線的斜率.

在《數(shù)學(xué)通訊》中曾有一文用幾何法來(lái)證明直線過(guò)定點(diǎn)，下面利用參數(shù)方程法來(lái)證明此結(jié)論.

由于，.

所以，又直線AB過(guò)點(diǎn).

所以直線AB的方程為：.

整理得：.

由得任意性得：.當(dāng)或時(shí)，AB軸.則直線OA：;直線OB：.代入拋物線，得.故.從而直線AB方程為，同樣過(guò)點(diǎn).endprint

綜上直線AB過(guò)定點(diǎn).利用參數(shù)法還可以得到另外兩個(gè)結(jié)論。結(jié)論1：.結(jié)論2：.

下面利用剛才通過(guò)參數(shù)方程得到的結(jié)論做一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

三、應(yīng)用??

設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線上任意一點(diǎn)，且，，求點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)AB與軸交點(diǎn)為N，則，易知點(diǎn)M位于以O(shè)N為直徑的圓周上，故點(diǎn)M的軌跡方程為.

有時(shí)我們不見(jiàn)得會(huì)記得AB過(guò)定點(diǎn)這樣一個(gè)結(jié)論，在這樣的情況下，同樣可以仿照前面設(shè)直線AB斜率為為參數(shù)，得到，.

則點(diǎn)M位于以O(shè)B為直徑的圓上，圓心為，半徑.

所以圓方程為：.

整理得*.endprint

又因?yàn)?img alt="" height="24" src="file：///C：/Users/ADMINI～1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image124.gif" width="96"/>，所以，可得代入*得

，整理得.

即，此為點(diǎn)M的軌跡方程.

四、簡(jiǎn)析

軌跡方程是指求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，由于某些問(wèn)題中之間的等量關(guān)系比較難以直接發(fā)現(xiàn)，所以就出現(xiàn)了參數(shù)法求軌跡方程，也就是分別尋找與另外一個(gè)變量t之間的關(guān)系，即，再消去t就得到之間的軌跡方程，其間有幾個(gè)問(wèn)題需要注意：

（1）參數(shù)法是求軌跡方程的重要方法，其關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)，一般來(lái)說(shuō)，選參數(shù)的原則是：動(dòng)點(diǎn)的變化隨參數(shù)的變化而變化，即參數(shù)要能反映動(dòng)點(diǎn)的變化特征;參數(shù)要與題設(shè)的已知量有著密切的聯(lián)系

（2）注意參數(shù)t的取值范圍。由于有些曲線的方程中有一定的取值范圍，所以在設(shè)

參數(shù)時(shí)要特別注意參變量的取值范圍.

（3）求軌跡方程最后都要將參數(shù)方程化為普通方程，所以掌握適當(dāng)?shù)南麉⒓记梢彩潜仨?/p>

要突破的一個(gè)難點(diǎn).

參數(shù)方法最大的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)立較少的參變量就可得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。高考中很多題目如果選擇參數(shù)恰當(dāng)?shù)脑?，只要用一個(gè)參數(shù)便可，而如果選用其他方法則要引入多個(gè)變量，其運(yùn)算與解題思路對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，這也從另一面體現(xiàn)了參數(shù)法的優(yōu)點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

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[3] 馮作維.軌跡問(wèn)題方法談[J].理科考試研究（高中），2012（3）endprint