喜新念舊類比提升

朱呈霞

在學(xué)習(xí)了有理數(shù)后，我們可以通過類比的方式學(xué)習(xí)實數(shù)中的相關(guān)概念以及運(yùn)算律，在類比的過程中探索、學(xué)習(xí)、提高. 下面，我們來一起了解一下本章的難點問題.

一、 明晰概念，涇渭分明

1. 平方根與算術(shù)平方根：正數(shù)a有兩個平方根±，其中正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作. 0只有一個平方根，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，即=0.

例1 的算術(shù)平方根是（ ）.

A. ±4 B. 4 C. ±2 D. 2

【分析】是16的算術(shù)平方根，它的值是4，4的算術(shù)平方根是2，所以答案選D.

2. 平方根與立方根：（1） 定義不同：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根. （2） a的取值范圍不同：當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時，才會有平方根；任何數(shù)a都有一個立方根. （3） 表示方式不同：正數(shù)a的兩個平方根記作±，每個數(shù)a都只有一個立方根，記作. （4） 個數(shù)不同：一個正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，任何數(shù)a的立方根只有一個

【分析】∵題目中是確定開立方運(yùn)算中a-2的取值范圍，而對于任何數(shù)，都有它的立方根，∴被開方數(shù)a-2可以是任何數(shù)，即a為任何數(shù). 選擇D.

例3 若a是64的算術(shù)平方根，b是64的立方根，求a-b的值.

【分析】對于同一個數(shù)64，首先要弄清楚如何求它的算術(shù)平方根和立方根，從而確定a，b的值，解決問題. ∵64的算術(shù)平方根是8，∴a=8；∵64的立方根是4，∴b=4，∴a-b=8-4=4.

3. 無理數(shù)與實數(shù)：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù). 要正確區(qū)分無理數(shù)與有理數(shù)，首先要清楚無理數(shù)的幾種表現(xiàn)形式：（1） 構(gòu)造型：如3.121 121 112……，等；（2） “π”家族：如-π，，……；（3） 開方開不盡型：如，，…….

實數(shù)包含了有理數(shù)和無理數(shù). 每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反之，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù). 實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng). 一般情況下，在數(shù)軸上表示一個無理數(shù)，往往都是利用勾股定理來構(gòu)造直角三角形，用它的斜邊或直角邊的長度來表示.

例4 實數(shù)，，-3.14，，中是無理數(shù)的是______.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念以及無理數(shù)的表現(xiàn)形式，可以判別出無理數(shù)是，. 這里要注意避免將類似形式的誤認(rèn)為是有理數(shù).

4. 近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)是近似數(shù)，也叫做這個數(shù)的近似值；與實際完全符合的數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù).

例5 指出下列各數(shù)據(jù)哪些是準(zhǔn)確數(shù)，哪些是近似數(shù)？

（1） 珠穆朗瑪峰高達(dá)8 844.43 m.

（2） 某學(xué)校有163名教師.

（3） 小明身高1.60 m.

（4） 這棟樓有12層.

【分析】要想分清上述數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確數(shù)還是近似數(shù)，需要正確理解它們的概念并結(jié)合生活實際進(jìn)行判斷.

（1） 、（3）中珠穆朗瑪峰的高度和小明的身高都是經(jīng)過測量得來的，存在一定的誤差情況，所以是近似數(shù)；（2）、（4）中教師的人數(shù)和大樓的層數(shù)都是與實際完全符合的，所以是準(zhǔn)確數(shù).

二、 溫故知新，類比出彩

1. 實數(shù)的大小比較：有理數(shù)的大小比較在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用. 常見的比較實數(shù)的方法如下：

（1） 數(shù)形結(jié)合. 實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng). 數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù). 將需要比較大小的數(shù)分別在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)它們在數(shù)軸上的位置確定大小關(guān)系.

（2） 平方法. 通過平方，將含有根號的式子（或數(shù)）化為有理式（或數(shù)），進(jìn)行比較.

（3） 比較被開方數(shù). 如果兩個數(shù)的根號相同，可以通過比較根號下的被開方數(shù)的大小來比較兩個實數(shù)的大小.

（4） 估算法. 可以先分別求出各數(shù)的近似值，然后比較近似值的大小.

（5） 作差法. 比較兩個實數(shù)的大小，可以先求這兩個實數(shù)的差，比較這個值和0的大小.

例6 比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

2. 近似數(shù)的精確度的確定：在一些計算中，我們需要對近似數(shù)進(jìn)行處理，通常選用四舍五入法. 也就是說取某個近似數(shù)精確到哪一位，需要對這一位后面的第一個數(shù)字進(jìn)行四舍五入，而第一個數(shù)字往后的位數(shù)上的數(shù)字全部舍去.

例7 用四舍五入法按要求對0.050 49分別取近似值，其中錯誤的是（ ）.

A. 0.1（精確到0.1）

B. 0.05（精確到百分位）

C. 0.05（精確到千分位）

D. 0.050（精確到0.001）

【分析】根據(jù)近似數(shù)概念進(jìn)行分析.

A. 0.050 49精確到0.1應(yīng)保留一個有效數(shù)字，故是0.1，正確；B. 0.050 49精確到百分位應(yīng)保留一個有效數(shù)字，故是0.05，正確；C.0.050 49精確到千分位應(yīng)是0.050，錯誤；D.0.050 49精確到0.001應(yīng)是0.050，正確. 所以答案選C.

例8 若a，b均為正整數(shù)，且a>，b<，則a+b的最小值是（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【分析】a、b均為正整數(shù)，且a>，b<，∴a的最小值是3，b的最小值是1，則a+b的最小值是4. 所以答案選B.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）