勾股定理，數(shù)與形的完美結(jié)合

潘紅

勾股定理有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要的作用.它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系——如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.定理的本身實(shí)現(xiàn)了“形”的特點(diǎn)與“數(shù)”的特點(diǎn)的結(jié)合.

數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”. 在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，若能正確地把握數(shù)形結(jié)合的思想方法，則可使思路更開(kāi)闊，方法更簡(jiǎn)便快捷.

例題 蘇科版教材八上第78頁(yè)圖3-1.

【解析】書(shū)上利用方格，運(yùn)用“割”和 “補(bǔ)”兩種方法計(jì)算以AB為一邊的正方形面積，發(fā)現(xiàn)：以AB為一邊的正方形面積等于以BC為一邊的正方形面積與以AC為一邊的正方形面積的和.并讓學(xué)生自己在方格紙上操作設(shè)計(jì)任何一個(gè)直角三角形，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，以直角三角形的各邊為一邊的正方形之間都有這樣的數(shù)量關(guān)系. 把圖中3個(gè)正方形的面積表達(dá)成邊的平方，即得AC2+BC2=AB2.

從勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程中，學(xué)生體驗(yàn)了從小方格的數(shù)量到正方形的面積、從正方形的面積到正方形的邊長(zhǎng)、從正方形的邊長(zhǎng)到三角形的形狀的轉(zhuǎn)換過(guò)程，進(jìn)行了形到數(shù)、數(shù)到形的聯(lián)想，感悟到數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.

如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來(lái)說(shuō)，勾股定理還可以進(jìn)行推廣.

變式一：如圖1，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積S1，S2，S3之間有何關(guān)系？

【解析】等邊三角形的面積S1，S2，S3的表示均與直角三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)：

S1=·BC·

BC=BC2，

同理S2=AC2，S3=AB2.

所以S1+S2=（BC2+AC2）=AB2=S3.

即S1+S2=S3.

變式二：如圖2，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積S1，S2，S3之間有何關(guān)系？

【解析】S1=πBC2，S2=πAC2，S3=πAB2.

所以S1+S2=π（BC2+AC2）=πAB2=S3.

即S1+S2=S3.

通過(guò)這兩題根據(jù)勾股定理得到的結(jié)論，我們可以猜測(cè)若以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正多邊形面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正多邊形的面積.再次通過(guò)勾股定理感受到數(shù)與形的完美結(jié)合.

變式三：如果將變式二的圖中斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，成為圖3，請(qǐng)驗(yàn)證：“兩個(gè)陰影部分的面積之和正好等于直角三角形的面積.”

【解析】圖中陰影部分的面積是S1+S2+S△ABC-S3，且由上面的結(jié)論S1+S2=S3，∴S陰影=S△ABC （此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為“希波克拉底月牙”）.

例題拓展 如圖4，是一株美麗的“勾股樹(shù)”，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，則最大正方形E 的面積是（ ）.

A. 13 B. 26

C. 47 D. 94

【解析】由勾股定理可知SM=SA+SB，SN=SC+SD，所以SE=SM+SN=32+52+22+32=47.故應(yīng)選C.

變式 在直線(xiàn)l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖5所示），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=_______.

【解析】此題不可能分別求出S1，S2，S3、S4，但我們可以分別求出S1+S2，S3+S4. 例如S3+S4可用以下方法求得：

易知Rt△ABC≌Rt△CDE，

∴AB=CD，BC=DE. 又CD2+DE2=CE2，

而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，

∴S3+S4=3，同理S1+S2=1，

∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.

我們從課本上的例題出發(fā)，重點(diǎn)探究了一類(lèi)關(guān)于“勾股樹(shù)”（國(guó)外叫做“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”）的探究題，主要考查靈活運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題的能力，但不難看出這些看似復(fù)雜的圖形中蘊(yùn)含著獨(dú)特的數(shù)量關(guān)系.勾股定理還有很多種證明方法，同學(xué)們可以在課后去挖掘一下里面的奧秘.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）