“學(xué)講計(jì)劃”課例探究——記一類不等式問題的“整合”與“創(chuàng)新”

繆葦偉（江蘇省徐州市豐縣中學(xué)）

高中階段，不等式的恒成立問題是一種重要題型，學(xué)生普遍感覺較難.一方面是題目的類型和形式多樣；另一方面是方法靈活多樣、思維含量較高．涉及函數(shù)的圖像與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法．不等式恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等相關(guān)．對(duì)于不等式恒成立的常用解題方法已是老生常談的問題，本文在這里就不再闡述．但我們知道不等式恒成立問題形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ?，而對(duì)于一些題目，學(xué)生即使采用常規(guī)的方法去解決，仍然會(huì)出現(xiàn)不少的新問題．在此類現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，作者結(jié)合近期我校實(shí)行的“學(xué)講計(jì)劃”這一新課改模式，對(duì)復(fù)習(xí)試卷上出現(xiàn)的不等式問題，及時(shí)進(jìn)行了此類問題的講評(píng).在課堂上除了對(duì)此類問題的常規(guī)解題方法進(jìn)行“整合”以外，在其他方面也進(jìn)行了“創(chuàng)新”，把一節(jié)試卷講評(píng)課變成了一節(jié)探究課，讓學(xué)生在“學(xué)講計(jì)劃”課改模式下不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，從而促使學(xué)生在解決此類問題的能力上得到改善和提高.

一、課堂實(shí)錄（摘錄）

教師：我們繼續(xù)講評(píng)試卷，請(qǐng)看第18題

教師：上述解法是我們這次練習(xí)中出現(xiàn)的一類解法，并且比較集中，現(xiàn)在請(qǐng)各小組認(rèn)真分析上述解法的正確與否，然后請(qǐng)幾位同學(xué)把交流討論的結(jié)果進(jìn)行闡述.

學(xué)生分組活動(dòng)：3分鐘后

甲組代表：老師，本題解法好像無(wú)誤，我也是這樣做的，仍不明白錯(cuò)誤何在.

乙組代表：不正確是肯定的了，但是我有點(diǎn)不明白這里面的m的作用；

教師提示：剛才甲組同學(xué)說得很好，這里m的作用是什么？還有，本題是解關(guān)于誰(shuí)的不等式？

丙組代表：好，我明白了，不正確，這里m的作用是參數(shù)，本題是解關(guān)于x的不等式，應(yīng)該用m來(lái)表示不等式的解集；

教師：很好，這位同學(xué)總結(jié)的好，本題中的m與x并不是雙自變量，是解關(guān)于x的不等式，m的作用是參數(shù)，但此解法誤認(rèn)為是不等式恒成立問題，這也是此解法錯(cuò)誤的根源，正確解法應(yīng)該是用m來(lái)表示不等式的解集.請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，應(yīng)該如何給出正確解法呢？

【教師整合一】

提高對(duì)不等式恒成立問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)

在解決此問題的過程中，由于學(xué)生對(duì)不等式恒成立問題的本質(zhì)模糊不清，把解不等式與不等式恒成立混為一談，導(dǎo)致了上述的錯(cuò)解，所以在教學(xué)過程中，教師要提高學(xué)生對(duì)不等式恒成立問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．可見，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是使用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方法解題，更重要的是對(duì)基本數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)模型的深刻理解，從而豐富學(xué)生的科學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和科學(xué)的探究能力，全面地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)．課堂教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)作為教學(xué)設(shè)計(jì)的重要指導(dǎo)思想之一．

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)設(shè)置針對(duì)性的練習(xí)，讓學(xué)生鞏固.

教師：既然同學(xué)們認(rèn)識(shí)了不等式恒成立問題的本質(zhì)，下面請(qǐng)思考導(dǎo)學(xué)案上例1的變題解法的正確性.

變題：已知函數(shù) f（x）= λx+sinx是區(qū)間［－1，1］上的減函數(shù)，若 f（x）=t2+ λt+1在 x∈［－1，1］恒成立，求的取值范圍．

投影錯(cuò)誤解法：因?yàn)?f（x）= λx+sinx是區(qū)間［－1，1］上的減函數(shù)，所以f′（x）=λ+cosx≤0在區(qū)間［－1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（－1）＝ －λ － sin1．

不等式 f（x）≤ t2+ λt+1 對(duì)于 x∈［－1，1］恒成立，

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1成立，即不等式（t+1）λ+t2＋1＋sin1≥0對(duì)λ≤－1恒成立．

令 m（λ）=（t+1）λ +t2+1+sin1．

學(xué)生分組活動(dòng)：3分鐘后

丁組代表：根據(jù)不等式恒成立計(jì)算出不等式-λ-sin1≤t2+λt+1是正確的，但在解決不等式-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1）時(shí)出現(xiàn)了同上題一樣的錯(cuò)誤，此處情景的描述不是不等式恒成立問題，本題在此處的本質(zhì)是解關(guān)于t的不等式，其中參數(shù)λ滿足λ≤-1．

教師總結(jié)：這位同學(xué)回答得非常好，現(xiàn)在看起來(lái)對(duì)不等式問題的認(rèn)識(shí)已經(jīng)掌握，這個(gè)解法比較由于比較復(fù)雜，現(xiàn)在我把過程投影給同學(xué)們參考，課后請(qǐng)同學(xué)們自行完善.

正解：因 f（x）= λx+sinx在［-1，1］上是減函數(shù)，

所以f′（x）=λ+cosx≤0，在區(qū)間［-1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（-1）=-λ -sin1．

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1，其中λ≤-1．

教師：既然同學(xué)們認(rèn)識(shí)了不等式恒成立問題與解含參數(shù)的不等式的區(qū)別，那么我們下面繼續(xù)來(lái)研究如何解決不等式恒成立問題，請(qǐng)看導(dǎo)學(xué)案例2（2）.

例2 （2）已知，f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

戊組代表：此題可用導(dǎo)數(shù)求解，簡(jiǎn)潔明了.

當(dāng) x=2 時(shí)，g（2）=7．

所以 g（x）得最大值為 g（2）=7，

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：的取值范圍是［4，+∞）．

【教師整合二】

轉(zhuǎn)化為最值問題是解決不等式恒成立的常用方法

不等式恒成立問題通用解法是通過化歸的方式把轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題．函數(shù)最值的求解是函數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，而用導(dǎo)數(shù)求解，則流程明確、可操作性強(qiáng)、易于把握，是求最值的常用方法之一．

按理說，到這里已經(jīng)把試卷中的一類典型錯(cuò)誤評(píng)講清晰，完成了，但就恰恰此時(shí)，一位學(xué)生的發(fā)言改變了課堂的預(yù)先設(shè)計(jì)——

學(xué)生甲：老師，我們組討論的結(jié)果是此法太麻煩，有更簡(jiǎn)便的方法：

容易判斷當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=m（x），y=n（x）同時(shí)取得最大值．

又因?yàn)?m（2）=4，n（2）=3，

所以當(dāng) x=2 時(shí) g（x）=m（x）+n（x）有最大值 7．

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：m的取值范圍是［4，+∞）.

學(xué)生齊鼓掌——學(xué)生已經(jīng)完全沉浸在喜悅之中，享受著“學(xué)講計(jì)劃”課堂、享受著數(shù)學(xué)帶來(lái)的樂趣——學(xué)生的思路已經(jīng)盤活，立竿見影，馬上又出現(xiàn)了新的解法：

學(xué)生乙：我們組的方法比他們組更簡(jiǎn)便，解法如下：

f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2，

當(dāng) m<4 時(shí)，f（2）=4（m-4）<0 不成立，

當(dāng) m ≥ 4 時(shí)，f（x）=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2≥ 0 對(duì)一切x∈R恒成立．

所以m的取值范圍是［4，+∞）.

此時(shí)，課堂已經(jīng)沸騰了——

我及時(shí)根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，進(jìn)行了“二度教學(xué)設(shè)計(jì)”，及時(shí)整理思路，調(diào)整教學(xué)方案，讓學(xué)生結(jié)合近期的模擬題以及去年的高考題，把不等式恒成立問題的研究方法進(jìn)行匯總，適度進(jìn)行了創(chuàng)新，效果甚好.

栽植方式有穴植法和溝植法2種。栽植的深度應(yīng)與移植前保持一致或者稍微淺一些，對(duì)于出葉的花卉不能栽植過深，以免出現(xiàn)爛根情況，移植過后不能澆水過多，應(yīng)等到新根長(zhǎng)出后再進(jìn)行澆水。還應(yīng)確保植株的通風(fēng)效果。在遮陰條件或者天氣較為干燥時(shí)，通過植株噴霧或者噴水的方式促進(jìn)生根。新移植的花卉重新栽植后，會(huì)出現(xiàn)一段時(shí)間的萎蔫，停止生長(zhǎng)，這種情況是一種正?，F(xiàn)象，待新的根系長(zhǎng)出以后，將會(huì)重新生長(zhǎng)。折斷時(shí)期稱為緩苗期。通常為保證花卉的長(zhǎng)勢(shì)，以及園林景觀的早日形成，緩苗期越短越好。具體在挖苗時(shí)可以通過多帶土的方式有效避免傷根，降低對(duì)花卉根系的影響，從而有效縮短緩苗期。

二、不等式恒成立問題的“四大攻略”

攻略一：求導(dǎo)是基本，而不是惟一

課堂上，針對(duì)學(xué)生的解法，我適時(shí)進(jìn)行了表?yè)P(yáng)，并對(duì)解法進(jìn)行了總結(jié)：求導(dǎo)是基本方法，但并不是惟一方法.求導(dǎo)方法思路清晰，學(xué)生易于接受．但是求導(dǎo)、因式分解等計(jì)算會(huì)讓很多學(xué)生望而卻步．所以在解決這類問題時(shí)提醒學(xué)生：在利用導(dǎo)數(shù)解決這類問題較繁瑣時(shí)，不妨換換思路，讓學(xué)生感受不同的方法在此處的應(yīng)用．

攻略二：以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”．“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性.通過“以形輔數(shù)、數(shù)形結(jié)合”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．

則a≤g′（0）=2．

由（1）（2）可知 a≤ 2．

因此，訓(xùn)練學(xué)生要看他們能否將已學(xué)過的知識(shí)與該問題相遷移，能否找到恰當(dāng)而熟悉的函數(shù)模型表述題意，能否把數(shù)學(xué)過程分析明白，并結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為形象而直觀的圖像，進(jìn)而使化難為易，這都是值得教師重視的．

攻略三：會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小

整體意識(shí)是一種全面地、總體地考慮問題的思維習(xí)慣或自覺意識(shí)，它注重問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)的改造，能從整體上把握思維方向和進(jìn)程．解題中應(yīng)用整體意識(shí)考慮問題，能增加思維的有效性，達(dá)到另辟蹊徑的效果，有助于培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性．仍然以跟蹤訓(xùn)練1為例，如果學(xué)生具有這種整體意識(shí)的話，做如下處理就很順理成章．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為a≤2．

此解法中三次使用整體意識(shí)，一處在當(dāng)a≤0時(shí)，直接判斷g（x）≥0恒成立；第二處在02時(shí)又改變了函數(shù)的結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)解決問題.事實(shí)上，在解決不等式恒成立問題的過程中，構(gòu)造新函數(shù)也是常見的解決方法．三處整體意識(shí)的使用，直接把題目的思維量降了下來(lái)．

攻略四：大處著眼，小處著手

局部意識(shí)是能通過細(xì)節(jié)來(lái)把握整體情況．所以要想順利解決問題，不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用解題方法，更重要的是掌握一定的技巧，才能達(dá)到快速求解的目的，有些數(shù)學(xué)問題，如果從整體上不便解決，可先研究其局部．

跟蹤練習(xí)2：（2011浙江文科 21） 設(shè)函數(shù) f（x）=a2lnxx2+ax，a>0.

（1）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求所有的實(shí)數(shù) a，使 e-1 ≤ f（x）≤ e2對(duì) x∈［1，e］恒成立．

由于 a>0，所以f（x）的增區(qū)間為（0，a），減區(qū)間為（a，＋∞）．

（2）由題意得，f（1）＝a－1≥ e－1，即a≥ e．

由（1）知 f（x）在［1，e］內(nèi)單調(diào)遞增，要使 e－ 1 ≤ f（x）≤e2，對(duì) x∈［1，e］恒成立，

函數(shù) f（x）滿足 e－ 1 ≤ f（x）≤ e2對(duì) x∈［1，e］恒成立，則對(duì)于區(qū)間［1，e］上的局部值也是滿足的．在此題中選擇了f（1）這個(gè)局部值，通過f（1）這個(gè)局部值可以得到參數(shù)a的大致范圍，為后續(xù)的問題處理帶來(lái)方便．此數(shù)學(xué)意識(shí)中要求學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力，根據(jù)函數(shù)、不等式和區(qū)間的特點(diǎn)來(lái)選擇合適的局部值．所以在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要善于找到事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，回歸到較為淺顯的知識(shí)，就能有一種“柳暗花明又一村”的感覺．

羅增儒教授也曾經(jīng)說過：新課改所倡導(dǎo)的教學(xué)理念經(jīng)過十年的貫徹，必然會(huì)與數(shù)學(xué)學(xué)科有機(jī)結(jié)合，產(chǎn)生出既區(qū)別于其他學(xué)科，又區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)新特色．“學(xué)講計(jì)劃”的實(shí)施也不例外．因此，在“學(xué)講計(jì)劃”實(shí)施過程中，我們要防止一種傾向掩蓋另一種傾向．遺憾的是，探究合作泛濫，傳統(tǒng)的具有啟發(fā)性的“講授法”缺位；以學(xué)生為主體的思想泛濫，教師的主導(dǎo)作用缺失；表演作秀，重形式輕實(shí)質(zhì)；無(wú)效討論、合作的形式化；滿堂發(fā)問，師生對(duì)話過于頻繁；探索泛化，放任自流等現(xiàn)象在現(xiàn)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中較為突出.

“學(xué)講計(jì)劃”對(duì)教師提出了更高的要求．教學(xué)過程中需要教師能正確處理好“教”與“學(xué)”的雙邊和諧關(guān)系，具有誘導(dǎo)學(xué)生使其“想學(xué)”、指導(dǎo)學(xué)生讓其“會(huì)學(xué)”、輔導(dǎo)學(xué)生令其“能學(xué)”的技能．實(shí)現(xiàn)“學(xué)講計(jì)劃”是一個(gè)長(zhǎng)期而又復(fù)雜的工程，需要堅(jiān)持不懈地探索與追求．“學(xué)講計(jì)劃”要以教師教的轉(zhuǎn)變促進(jìn)學(xué)生學(xué)的轉(zhuǎn)變．

［1］羅增儒.評(píng)課的視角，課例的切磋［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（1-2）：14.