子波穿過黏彈性節(jié)理的波形變化規(guī)律

胡世麗王星光王觀石

（1.江西理工大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，江西 贛州 341000；2.中國地質(zhì)大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，北京 100193）

0 引 言

子波是應(yīng)力波能量由震源通過復(fù)雜的地下路徑傳播到接收器所記錄下來的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動遠(yuǎn)場時間域響應(yīng).子波在巖體的傳播過程中，子波變化直接反映了波場的傳播特征，是波場記錄的基本單元，子波在地震資料的處理和解釋中有著重要的作用，是波場正演和反演的前提，因而研究子波的波形變化規(guī)律具有重要的意義[1].

巖體存在大量不同尺度的結(jié)構(gòu)面，導(dǎo)致巖體具有非均勻和非連續(xù)性等力學(xué)特性.針對這些形態(tài)各異和復(fù)雜多變的結(jié)構(gòu)面，通常采用的方法是：在根據(jù)地質(zhì)成因分類基礎(chǔ)上，再根據(jù)巖體結(jié)構(gòu)面的力學(xué)特性進(jìn)行分類[2]，不同類型結(jié)構(gòu)面，其力學(xué)特性相差非常大[3].應(yīng)力波在巖體的傳播過程中，不僅受到巖石本身的密度、孔隙率和各種微結(jié)構(gòu)等內(nèi)部因素的影響[4]，還受到溫度、濕度、外荷載和地形等外部因素的影響，多因素共同作用影響應(yīng)力波在介質(zhì)中的傳播特性的.Gaviglio[5]認(rèn)為：在諸多的影響因素中，巖石中的結(jié)構(gòu)面是最直接、最突出的影響因素之一，Mckenzie[6]的研究表明：應(yīng)力波的衰減取決于裂隙的數(shù)量、寬度以及充填物的波阻抗，歸納起來，結(jié)構(gòu)面對應(yīng)力波傳播主要有3個方面的影響：信號延遲、信號衰減和高頻濾波[7-10].

目前，主要采用聲時、波幅、頻率3個參數(shù)進(jìn)行超聲檢測和探測，已建立定量或半定量數(shù)學(xué)表達(dá)式，但波形還無法定量解釋，其原因是聲時、波幅和頻率僅從某些方面揭示了應(yīng)力波傳播規(guī)律，而波形能夠綜合反映應(yīng)力波傳播規(guī)律[11-12].樊耀新[13]通過理論和試驗(yàn)研究表明子波波形變化比走時對斷層的反應(yīng)更為敏感，充分反映了波形變化規(guī)律在巖體力學(xué)參數(shù)測試和巖體結(jié)構(gòu)探測方面的優(yōu)勢，因而開展應(yīng)力波在巖體的傳播過程中的波形變化規(guī)律研究具有廣闊的應(yīng)用前景.

本文將小尺度結(jié)構(gòu)面抽象為黏彈性節(jié)理，采用Kelvin模型描述節(jié)理及其兩側(cè)巖體的力學(xué)特性，建立諧波在黏彈性節(jié)理的傳播模型，分析Ricker子波穿過黏彈性節(jié)理后的波形變化規(guī)律.

1 諧波在黏彈性節(jié)理的傳播模型

1.1 諧波在黏彈性節(jié)理的透射系數(shù)和反射系數(shù)

P波從巖體Ⅰ中以入射角θPI斜入射至黏彈性節(jié)理，進(jìn)入巖體Ⅱ，P波在黏彈性節(jié)理處發(fā)生波形轉(zhuǎn)換，采用Kelvin黏彈性模型描述巖體Ⅰ和巖體Ⅱ的力學(xué)特性，如圖1所示.

圖1 諧波在黏彈性節(jié)理的透射和反射

P波的位移位函數(shù)Φ為：

SV波的位移位函數(shù)Ψ為：

式（1）、（2）中下標(biāo)m=1、2 時分別表示上行波和下行波，下標(biāo)r、i分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.B為P波的振幅，C為SV波的振幅，ω為角頻率，t為時間，j為虛單位，dα為P波在z方向的波數(shù)，dβ為 SV波在z方向的波數(shù).dα=kPcosθPI，dβ=kScosθSI.kP，kS分別為 P 波和SV 波的復(fù)波數(shù)，kP=ω/vP，kS=ω/vS，其中vP，vS分別為 P波的復(fù)波速和SV波的復(fù)波速.k為P波或SV波x方向波數(shù)，k=kPsinθPI.θPⅠ和 θPⅡ分別為 P 波的入射角和透射角，θSⅠ和θSⅡ分別SV波的反射角和透射角.

式（5a）、（5b）中 ν為介質(zhì)的泊松比，為介質(zhì)的復(fù)模量.

對于巖體Ⅰ和巖體Ⅱ均按Kelvin模型計(jì)算，可得復(fù)數(shù)形式的模量：

式（6）中為介質(zhì)的復(fù)模量，E為介質(zhì)的彈性模量，η0為介質(zhì)的黏性系數(shù).

在黏彈性節(jié)理處，滿足廣義Snell定律：

位移可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的位移位與位移分量和應(yīng)力分量關(guān)系，黏彈性節(jié)理處的位移分量和應(yīng)力分量的計(jì)算公式為[14]：

式（8）至式（11）中u和w分別表示x和z方向的位移，σzz和τzx分別為節(jié)理處的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力.

如圖1所示，在巖體Ⅰ中，有下行P波、上行P波、SV波；在巖體Ⅱ中，有下行P波，下行SV波.由此得巖體Ⅰ中P波的位移位函數(shù)為：

巖體Ⅰ中SV波的位移位函數(shù)：

將式（12）和式（13）代入式（8）和式（9）可得巖體Ⅰ的位移，將式（12）和式（13）代入式（10）和式（11）可得巖體Ⅰ的應(yīng)力.

巖體Ⅱ中P波的位移位函數(shù)為：

巖體Ⅱ中SV波的位移位函數(shù)為：

式（15）中kIi=kIIi，kIr=kIIr.式（12）至式（15）中下標(biāo)Ⅰ和Ⅱ分別為巖體 I和Ⅱ.將式（14）和式（15）代入式（8）和式（9）可得巖體Ⅱ中的位移，將式（14）和式（15）代入式（10）和式（11）可得巖體Ⅱ中的應(yīng)力.

黏彈性節(jié)理如圖2所示，當(dāng)節(jié)理厚度可以忽略不計(jì)，不考慮節(jié)理質(zhì)量條件下，設(shè)諧波穿過黏彈性節(jié)理時，節(jié)理兩側(cè)應(yīng)力連續(xù)和位移不連續(xù)，且位移不連續(xù)量等于節(jié)理兩側(cè)應(yīng)力與剛度之比，即：

式（16a）至（16d）中Kx表示節(jié)理的切向等效剛度，Kz表示節(jié)理的法向等效剛度.

圖2 黏彈性節(jié)理模型

將黏彈性節(jié)理的等效切向剛度和法向剛度分別定義為：

式（17）和式（18）中kn，kτ分別為黏彈性節(jié)理的法向剛度和切向剛度；ηn，ητ分別為節(jié)理法向黏性系數(shù)和切向的黏性系數(shù).

將由式（8）至式（15）計(jì)算得到的位移和應(yīng)力代入式（16），從而得到諧波斜入射黏彈性節(jié)理時透射和反射系數(shù)計(jì)算公式，將其整理為矩陣形式：

式（19）中A1、A2、A3、A4為 1×4 的矩陣；B為 4×1 的矩陣；C為4×1的矩陣.各矩陣的計(jì)算公式為：

式 （20a） 至 式 （20f） 中K=kIi-jkIr，PI=-dIαi1+jdIαr1，QI=-dIβi1+jdIβr1，PII=-dIIαi2+jdIIαr2，QII=-dIIβi2+jdIIβr2.

1.2 諧波在薄黏彈性節(jié)理的透、反射規(guī)律

設(shè)黏彈性節(jié)理兩側(cè)的巖體力學(xué)參數(shù)相同，密度ρ1=ρ2=2 500 kg/m3；泊松比 ν1=ν2=0.25；彈性模量E1=E2=30 GPa；黏性系數(shù) η0=0.8 MPa·s，以下計(jì)算均采用這組巖體物理力學(xué)參數(shù).入射諧波頻率f=500 Hz.節(jié)理中各項(xiàng)參數(shù)取值為：法向黏性系數(shù)ηn=1.5 MPa·s；切向黏性系數(shù)ητ=1.3 MPa·s； 法向剛度kn=2.0 GPa/m；切向剛度kτ=2.0 GPa/m.

將上面的參數(shù)代入式（19）進(jìn)行計(jì)算，得到P波斜入射黏彈性節(jié)理的透反射系數(shù)和入射角的關(guān)系如圖3所示.從圖3中可知，隨著入射角的增加，反射P波的反射系數(shù)先減小后增加，在60°時有最小值；透射P波的透射系數(shù)呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢.而透射SV波的透射系數(shù)和反射SV波的反射系數(shù)隨著入射角的增加，呈現(xiàn)先增加后減小的規(guī)律.

當(dāng)入射角為30°時，由式（1）計(jì)算得到諧波的透射、反射系數(shù)與頻率的關(guān)系，如圖4所示.由圖4可知，隨著入射波頻率的增加，透射P波的透射系數(shù)減小，而反射P波的反射系數(shù)逐漸增加.透射SV波的透射系數(shù)和反射SV波的反射系數(shù)隨著入射波頻率的增加，呈現(xiàn)逐漸增加的規(guī)律.可見，節(jié)理具有濾波特性，透射系數(shù)隨著入射波頻率的增大而減小，高頻部分幾乎不能通過節(jié)理.

圖3 透、反射系數(shù)與入射角的關(guān)系

圖4 透、反射系數(shù)與頻率的關(guān)系

2 子波在薄黏彈性節(jié)理的波形變化

2.1 透射子波的計(jì)算

設(shè)入射波為振幅為1的Ricker子波，其時域表達(dá)式為：

式（21）中fM為峰值頻率.

Ricker子波的頻域表達(dá)式：

設(shè)由式（19）計(jì)算的透射系數(shù)為：

采用傅里葉逆變換得透射波的時域表達(dá)式：

式（24）中 ω=2πf.

將式（22）和式（23）代入式（24），計(jì)算得透射波的時域波形.設(shè)峰值頻率fM=500 Hz的Ricker子波以30°入射至黏彈性節(jié)理，節(jié)理的力學(xué)參數(shù)與2.2節(jié)相同，由式（22）計(jì)算得到透射波的時域波形，如圖5所示.由圖5可知，Ricker子波穿過黏彈性節(jié)理后，透射波振幅減小，主瓣不突出，波形在時域上變得更平緩，即波形的分辨能力減弱.

圖5 入射角為30°的入射波和透射波波形

為進(jìn)一步描述Ricker子波穿過黏彈性節(jié)理后的波形變化，現(xiàn)采用波形相關(guān)系數(shù)和波形變化系數(shù)2個參數(shù)描述波形變化.

2.2 子波波形相關(guān)系數(shù)的變化規(guī)律

設(shè)入射波和透射波位移振幅分別為A0i和ATi，則兩列波的波形相關(guān)系數(shù)為：

式（25）中和分別為 Ricker子波和透射波位移振幅的平均值.

當(dāng)節(jié)理切向黏性系數(shù)ητ=1.3 MPa·s，法向剛度kn=2.0 GPa/m，切向剛度kτ=2.0 GPa/m時，將峰值頻率fM=500 Hz的Ricker子波入射至黏彈性節(jié)理.改變法向黏性系數(shù)和入射角度，計(jì)算得到法向黏性系數(shù)和入射角度對波形相關(guān)系數(shù)的影響規(guī)律，如圖6所示.圖6表明，波形相關(guān)系數(shù)隨著法向黏性系數(shù)增加近似成負(fù)指數(shù)減小，隨著入射角的增加而增加.

當(dāng)節(jié)理法向黏性系數(shù)ηn=1.5 MPa·s，法向剛度kn=2.0 GPa/m，切向剛度kτ=2.0 GPa/m時，將峰值頻率fM=500 Hz的Ricker子波入射至黏彈性節(jié)理.改變切向黏性系數(shù)和入射角度，得到切向黏性系數(shù)和入射角度對波形相關(guān)系數(shù)的影響規(guī)律，如圖7所示.圖7表明，隨著切向黏性系數(shù)的增加，波形相關(guān)系數(shù)基本不變，即切向黏性系數(shù)的改變對波形變化影響非常小.

圖6 法向黏性系數(shù)與波形相關(guān)系數(shù)關(guān)系

圖7 切向黏性系數(shù)與波形相關(guān)系數(shù)關(guān)系

當(dāng)節(jié)理法向黏性系數(shù)ηn=1.5 MPa·s，切向黏性系數(shù) ητ=1.3 MPa·s，切向剛度kτ=2.0 GPa/m，將 Ricker子波45°入射至黏彈性節(jié)理.改變節(jié)理法向剛度和入射波峰值頻率，計(jì)算得到法向剛度和峰值頻率對波形相關(guān)系數(shù)的影響規(guī)律，如圖8所示.圖8表明，隨著峰值頻率的增加，波形相關(guān)系數(shù)減小，波形相關(guān)系數(shù)隨著法向剛度的增加而增加.

圖8 法向剛度與波形相關(guān)系數(shù)的關(guān)系

當(dāng)節(jié)理法向黏性系數(shù)ηn=1.5 MPa·s，切向黏性系數(shù) ητ=1.3 MPa·s，法向剛度kτ=2.0 GPa/m，將 Ricker子波45°入射至黏彈性節(jié)理.改變節(jié)理切向剛度和入射波峰值頻率，計(jì)算得到切向剛度和峰值頻率對波形相關(guān)系數(shù)的影響規(guī)律，如圖9所示.圖9表明，隨著峰值頻率的增加，波形相關(guān)系數(shù)減小，隨著切向剛度的增加，波形相關(guān)系數(shù)增加.

圖9 切向剛度與波形相關(guān)系數(shù)的關(guān)系

2.3 子波波形變化系數(shù)的變化規(guī)律

為進(jìn)一步研究透射波波形變化，現(xiàn)采用波形變化系數(shù)ξ來量化透射波形變化.定義波形變化系數(shù)：

圖10采用和圖6相同的節(jié)理參數(shù)，通過改變法向黏性系數(shù)及入射角，描述了它們對波形變化系數(shù)的影響規(guī)律.從圖10中可知，隨著法向黏性系數(shù)的增加，波形變化系數(shù)減??；隨著入射角的增加，波形變化系數(shù)減小.

圖10 法向黏性系數(shù)與波形變化系數(shù)的關(guān)系

圖11中的節(jié)理參數(shù)同圖7，通過改變切向黏性系數(shù)及入射角，描繪了它們對波形變化系數(shù)的影響規(guī)律.當(dāng)入射角為0°時，隨著切向黏性系數(shù)的增加，波形變化系數(shù)不變，即此時切向黏性系數(shù)的變化不改變透射波波形.當(dāng)以其他角度入射時，隨著切向黏性系數(shù)的增加，波形變化系數(shù)減??；隨著入射角的增加，波形變化系數(shù)減小.

圖11 切向黏性系數(shù)與波形變化系數(shù)的關(guān)系

圖12采用和圖8相同的節(jié)理參數(shù)，描述了改變法向剛度及峰值頻率對波形變化系數(shù)的影響規(guī)律.隨著法向剛度的增加，波形變化系數(shù)減??；隨著峰值頻率的增加，波形變化系數(shù)增加.

圖12 法向剛度與波形變化系數(shù)的關(guān)系

圖13中的節(jié)理參數(shù)同圖9，描述了改變切向剛度和峰值頻率對波形變化系數(shù)的影響規(guī)律.隨著切向剛度的增加，波形變化系數(shù)減小；隨著峰值頻率的增加，波形變化系數(shù)增加.

圖13 切向剛度與波形變化系數(shù)的關(guān)系

3 結(jié) 論

從波的位函數(shù)出發(fā)，基于應(yīng)力連續(xù)和位移不連續(xù)假定，建立應(yīng)力波在薄黏彈性節(jié)理中的傳播模型.依據(jù)所建立的模型，獲得了應(yīng)力波在黏彈性節(jié)理中傳播的透、反射系數(shù)解析解.將Ricker子波作為入射波，利用Ricker子波的頻域表達(dá)式，運(yùn)用傅里葉逆變換，得到透射波時域波形的計(jì)算表達(dá)式.采用Matlab計(jì)算得到透、反射系數(shù)及透射波波形，并用相關(guān)系數(shù)和波形變化系數(shù)2個參數(shù)描述子波穿過黏彈性節(jié)理的波形變化，討論了子波峰值頻率和入射角、黏彈性節(jié)理的法向和切向黏性系數(shù)、黏彈性節(jié)理的法向和切向剛度對子波波形變化的影響規(guī)律.

1）P波的反射系數(shù)，隨入射角的增加，呈現(xiàn)先減小后增加的變化趨勢；隨入射波峰值頻率的增加而增加.P波的透射系數(shù)，隨入射角的增加先增加后減?。浑S入射波峰值頻率的增加而減小.P波入射時形成反射SV波和透射SV波，反射系數(shù)和透射系數(shù)，隨入射角的增加，都先增加后減小.

2）子波穿過黏彈性節(jié)理后，波形發(fā)生變化，波形相關(guān)系數(shù)和入射角及子波峰值頻率有關(guān)，表現(xiàn)為隨入射角的增加，波形相關(guān)系數(shù)增加；隨峰值頻率的增加，波形相關(guān)系數(shù)減小.同時波形相關(guān)系數(shù)還受到節(jié)理力學(xué)參數(shù)的影響，表現(xiàn)為：隨節(jié)理黏性系數(shù)的增加，波形相關(guān)系數(shù)減小；隨節(jié)理剛度的增加，波形相關(guān)系數(shù)增加；相對切向剛度和切向黏性系數(shù)，節(jié)理的法向剛度和法向黏性系數(shù)對子波波形變化影響更大，當(dāng)子波垂直入射黏彈性節(jié)理分界面時，節(jié)理的切向黏性系數(shù)和切向剛度對波形相關(guān)系數(shù)的變化沒有影響.

3）波形相關(guān)系數(shù)主要反映子波穿過黏彈性節(jié)理后發(fā)生的相位變化，而波形變化系數(shù)能綜合反映子波的振幅和相位變化.波形變化系數(shù)隨入射角的增加而逐漸減小；隨入射波峰值頻率的增加，波形變化系數(shù)增加.隨節(jié)理黏性系數(shù)和剛度的增加，子波波形變化系數(shù)減小.

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