齒輪滾刀三角面片集模型的建立及分析＊

張 耿，王建華，勞奇成，李 陽

（西安工業(yè)大學 機電工程學院，西安710021）

滾刀的齒面屬于復雜的空間曲面，國內(nèi)外多用計算機數(shù)字控制（Computer Numerical Control，CNC）齒輪測量中心對其進行檢測．同一滾刀在不同的設備上進行測量時，由于測量程序的不同，測量結(jié)果會存在差異．目前，國內(nèi)外缺少適用于檢驗一般滾刀測量儀器的高精度樣板，滾刀測量難以溯源，根據(jù)測量結(jié)果無法判斷測量程序的正確性［1］．虛擬齒輪測量中心是用于仿真真實CNC齒輪測量中心測量過程的虛擬系統(tǒng)，本質(zhì)是理論的數(shù)學模型，其結(jié)合滾刀測量程序，對理論準確的虛擬滾刀進行仿真測量，從而驗證測量程序的正確性．在建立復雜三維模型時，常采用逆向工程法和數(shù)學模型法兩種方法．逆向工程法的核心是實物的逆向重構(gòu)，采用一定的測量方法對實物進行數(shù)據(jù)測量，然后借助三維幾何建模方法對實物的CAD模型進行重構(gòu)［2］．數(shù)學模型法的核心是通過數(shù)學方法求解目標模型的幾何方程，結(jié)合CAD軟件建立模型［3］．這種方法得到的模型誤差小，且精度可控．文獻［4］采用空間交錯軸原理，根據(jù)齒輪的齒面方程推導出共軛滾刀的齒面方程．文獻［5］根據(jù)加工原理得出了滾刀的齒面方程，建立了滾刀加工齒輪的三維模型，借助三維CAD平臺，對齒輪加工過程進行三維模擬．

根據(jù)虛擬齒輪測量中心對虛擬工件的接口要求可知，虛擬工件必須為STL格式文件（Stereo Lithography，STL）．STL文件格式是用三角面片集來逼近還原實體模型表面的一種文件格式［6］．構(gòu)造三角面片集模型的方法有兩種：①通過三維CAD軟件建立幾何模型，借助軟件的功能，直接將模型保存為三角面片集模型．這種方法簡便快捷，可視性好，易實現(xiàn)參數(shù)化．但所建模型精度受建模軟件限制，在生成三角面片集模型時有嚴重的精度損失，且三角面片間易出現(xiàn)縫隙、孔洞［2］，難以滿足測量的要求；②通過構(gòu)建工件的數(shù)學模型，計算出大量的精確的離散點，將這些離散點連接成三角面片集．此方法中，離散點的密度和精度完全可控，可滿足虛擬測量中心的測量要求．文獻［6］根據(jù)加工原理和坐標變換矩陣，求出弧齒錐齒輪的齒面離散點，通過計算三角面片到理論曲面的最大距離，得到了離散點數(shù)目與誤差的對應表，構(gòu)建了誤差小于1μm的三角面片集模型．

文中通過分析齒輪滾刀的加工原理，推導出滾刀的齒面方程，經(jīng)過離散處理，得到大量精確的齒面數(shù)據(jù)點，從而建立了理論標準的齒輪滾刀三角面片集模型．

1 齒面離散點的求解

齒輪滾刀相當于蝸桿，只是在蝸桿上切出了容屑槽以形成切削刃，刀齒經(jīng)過鏟背以形成后角，使蝸桿變成了滾刀．這個蝸桿稱為滾刀的基本蝸桿．滾刀在鏟齒時，需要進行螺距掛輪，在橫向鏟齒進給的同時，還要有縱向螺距走刀運動．在鏟螺旋槽滾刀時，還應進行差動掛輪．可以看出，滾刀切削刃落在其基本蝸桿表面上，側(cè)鏟面和齒頂鏟背面由鏟背運動得到．鏟背運動可看作是滾刀切削刃上每一點沿鏟背曲線進行運動，如圖1所示．

圖1 切削刃在基本蝸桿上Fig．1 Cutting edges on the basic worm

圖1中，齒面上一點G落在鏟背曲線MN上，曲線MN的起點M落在切切削刃上．由此可以看出，只需求出切削刃及其相應的鏟背曲線，就可得到鏟面上任一點的坐標值．

1．1 建立阿基米德滾刀切削刃方程

切削刃落在基本蝸桿上，是基本蝸桿表面和前刀面的交線．

在坐標系xyz中，設阿基米德蝸桿的直母線在坐標系平面xoy內(nèi)通過坐標原點o，蝸桿導程為P，其軸向截形為如圖2中曲線oabcde所示．其中Sox為蝸桿分圓處的軸向齒寬，α為齒形角．

線段oa為直線，方程為

其中ry為蝸桿任意點半徑．

線段ab為圓弧，圓心坐標為（x1，r1），半徑為rc，方程為

線段bc為直線，方程為其中ra為齒頂圓半徑．

線段cd為圓弧，圓心坐標為（x2，r2），半徑為rc，方程為

線段de為直線，方程為

其中Δx0＝Sox＋2r0tanα，r0為分圓半徑．

圖2 阿基米德蝸桿的軸向截形Fig．2 Axial cross-sectional shape of Archimedes worm

令基本蝸桿的軸向截形繞x軸做導程為P螺旋運動，可得出基本蝸桿各面的方程，當轉(zhuǎn)過θ角度后，其左側(cè)面上任一點的坐標為

用同樣方法可求得左圓角面的方程為

右圓角面方程為

齒頂面方程為

右側(cè)面方程為

正前角滾刀前刀面的母線是一條偏離中心為e值的直線，滾刀齒頂處的前角為γ．令該母線作螺旋運動，即得正前角螺旋槽滾刀的前刀面，其方程為

其中Pk為螺旋槽的導程．

前刀面和基本蝸桿表面的交線，即為滾刀的切削刃．左側(cè)切削刃方程為

切削刃左圓角方程為

齒頂切削刃方程為

切削刃右圓角方程為

右側(cè)切削刃方程為

1．2 建立鏟背曲線方程

鏟齒時，滾刀轉(zhuǎn)過一個齒，鏟刀徑向前進K（鏟背量）；滾刀轉(zhuǎn)過一周，鏟刀軸向進給p（基本蝸桿導程），如圖3所示．

圖3 滾刀的鏟齒Fig．3 Relieving tooth of hob

圖3中鏟背曲線以M（rm，xm，θm）為起點，當滾刀轉(zhuǎn)過角度Δθ時，鏟刀徑向前進Δr，鏟刀軸向前進Δx，則

其中ZK是滾刀的圓周齒數(shù)．鏟背曲線的方程為

1．3 求解齒面離散點

鏟面上離散數(shù)據(jù)點的獲得方法為：將切削刃離散成一系列i個點，分別以這些點為起點建立相應的鏟背曲線，再將每條鏟背曲線離散成一系列j個點，這樣我們就可以得到鏟面上的i×j個離散點．結(jié)合切削刃和鏟背曲線的方程，實現(xiàn)鏟面上任一點的求解．

2 構(gòu)建三角面片集模型

虛擬測量中心能識別的三角面片集文件是STL文件，該格式的文件包含每個三角面片的頂點坐標以及該面片的法矢．本文生成的數(shù)據(jù)點是以鏟背方向為行，以徑向為列排列的，生成STL文件時，根據(jù)三角面片的構(gòu)造算法，按順序依次讀入數(shù)據(jù)點作為三角面片的頂點，再計算出各面片的法矢，按照STL文件的格式輸出滾刀齒的三角面片集模型，如圖4所示．

圖4 鏟背面三角面片集模型Fig．4 Shoveling surface model of triangular patch set

3 結(jié)果分析及驗證

3．1 齒面方程驗證

文獻［7］中滾刀鏟面形成理論指出，滾刀在鏟側(cè)刃時，左、右側(cè)鏟面的軸向齒形角和基本蝸桿相等，左右側(cè)鏟面的導程應不同，以右旋直槽滾刀為例，左側(cè)鏟面導程P′應小于基本蝸桿導程對于直槽滾刀，左側(cè)導程P′小于基本蝸桿導程P，其值為

由式（10）可知，當滾刀為直槽零前角，軸向齒形角為α0時，左切削刃上半徑為rh的點H（xh，rh）滿足如下方程

如圖5所示，鏟刀從H點開始進行鏟齒，由式（15）可知，所創(chuàng)成的左側(cè)鏟面上一點G的坐標滿足

其中鏟削當量Ke＝ZKK．

圖5 鏟刀創(chuàng)成側(cè)鏟面Fig．5 The side shoveling surface made by relieving tool

聯(lián)立式（16）～（18），即得左側(cè)鏟面的方程

可以看出鏟刀創(chuàng)成的側(cè)鏟面是一個阿基米德螺旋面，其齒形角為α0，導程為

綜上所述，文中所建立的齒面方程與滾刀鏟面形成理論相符．

3．2 相鄰齒面間的無縫連接

文中所建立的滾刀模型，作為虛擬工件，應用于虛擬齒輪測量中心的掃描檢測．在虛擬測量過程中，首先檢測測頭與工件是否發(fā)生碰撞，如碰撞則沿零件邊緣進行連續(xù)掃描式檢測，在此過程中要實現(xiàn)返回碰撞點的坐標信息和觸測矢量，以檢測測量程序和測量方案正確與否［8］．故虛擬工件待測部分要求每一點都必須有數(shù)據(jù)，三角面片集無孔洞、裂縫和重疊等現(xiàn)象，否則無法得出是否發(fā)生碰撞及相關的重要信息，甚至造成死機或無法預知的錯誤．

文中通過程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)點的求解以及三角面片集模型的構(gòu)建，在計算各齒面離散數(shù)據(jù)點時，使兩個相接的面在交線處共用一組完全相同的數(shù)據(jù)點，從而使第一個面邊界處的三角形面片和第二個面邊界處的三角形面片共用同一條邊，以此實現(xiàn)各面之間的無縫連接．

4 結(jié) 論

文中提出了一種基于加工原理的齒輪滾刀鏟背面方程的求解算法，由方程得到大量精確的齒面離散數(shù)據(jù)點，以此構(gòu)建了齒輪滾刀的三角面片集模型．理論分析表明，文中所述算法建立的齒面方程與滾刀鏟面形成理論相符，所建模型的各三角面之間實現(xiàn)無縫連接．后續(xù)研究在于模型精度和離散數(shù)據(jù)點密度之間關系的量化．

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