圖式習(xí)得：來自數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求

吳德娟

圖式是人腦中已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的網(wǎng)絡(luò)。認(rèn)知發(fā)展理論中，圖式是指一個(gè)有組織、可重復(fù)的行為模式或心理結(jié)構(gòu)，是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)的單元。根據(jù)圖式理論的觀點(diǎn)，人腦中所貯存的知識(shí)都是由一個(gè)個(gè)單元組成的，這種單元就是圖式。當(dāng)面臨一定的信息，激活相關(guān)的圖式后，圖式會(huì)為我們提供解釋信息的背景知識(shí)。圖式在知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中具有準(zhǔn)備、搜索、賦值、預(yù)測(cè)、推理和整合的作用。如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中建立了良好的圖式，就能根據(jù)合適的表征問題，搜索其需要的信息，并對(duì)圖式中的“空格”進(jìn)行賦值，從而幫助我們解決問題。同樣，圖式也有整合和推理的作用，比如在乘法的圖式中，從兩位數(shù)乘一位數(shù)到兩位數(shù)乘兩位數(shù)，圖式的內(nèi)容逐漸豐富并逐步整合，學(xué)生根據(jù)已有的圖式推測(cè)多位數(shù)乘法的法則，發(fā)揮圖式的推理功能。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何有效地習(xí)得圖式以滿足數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求呢？本文結(jié)合案例談一談自己的看法。

一、 找準(zhǔn)圖式的生長點(diǎn)

已有的圖式對(duì)于新知識(shí)的掌握十分重要。學(xué)生已經(jīng)具備了哪些圖式？這些圖式的結(jié)構(gòu)是怎樣的？已有圖式與新知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是什么？可能的沖突點(diǎn)在哪里？客觀地分析這些內(nèi)容，才能找準(zhǔn)圖式的生長點(diǎn)，滿足數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求。

以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)之前已經(jīng)建立了兩位數(shù)乘一位數(shù)以及兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)計(jì)算的圖式，遇到這樣的問題時(shí)，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的圖式，大腦進(jìn)行運(yùn)用即可輸出答案。當(dāng)學(xué)生遇到兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，大腦中沒有相關(guān)的圖式，即產(chǎn)生了“不平衡”的狀態(tài)，而且舊知識(shí)不可同化新知識(shí)，需要經(jīng)歷“順應(yīng)”的過程，建立新知識(shí)的圖式。當(dāng)圖式建立完成，學(xué)生遇到兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，大腦則會(huì)調(diào)用新的圖式。

從以上分析可以看出，新圖式與已有圖式之間具有一定的聯(lián)系，相關(guān)性越強(qiáng)，學(xué)生新圖式的建立就越容易。雖然新圖式與已有圖式有聯(lián)系，但是學(xué)生在遇到新刺激時(shí)，調(diào)用的是新圖式，而不是舊圖式，這也能解釋教師的一個(gè)困惑：不就是把兩位數(shù)乘一位數(shù)算兩次嗎，學(xué)生怎么還會(huì)錯(cuò)？舉例來說，學(xué)生算21×7=147是對(duì)的，但是在21×71中，十位7×21就等于51（2×7=14，1+4=5）。兩位數(shù)乘一位數(shù)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的下位圖式，下位圖式是上位圖式的基礎(chǔ)，是構(gòu)成上位圖式的必要條件，如果沒有經(jīng)歷借助于下位圖式產(chǎn)生新圖式的過程，那么學(xué)生就不能學(xué)會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法。

二、 找對(duì)圖式的修改方式

新知識(shí)是對(duì)已有圖式的修改和完善。這種修改和完善主要有兩種形式。第一種形式是當(dāng)圖式對(duì)當(dāng)前情境提供充足的解釋時(shí)，圖式的結(jié)構(gòu)得到鞏固。例如學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)除以一位數(shù)后學(xué)習(xí)商中間有零的除法。第二種形式是對(duì)已有圖式做出擴(kuò)展、限制或修正，在某種程度上改變已有的圖式，導(dǎo)致圖式的發(fā)展或新圖式的產(chǎn)生。要進(jìn)行這種修改，需要學(xué)生首先意識(shí)到某一圖式難以解釋新的情境，而后學(xué)生才有可能對(duì)現(xiàn)有的圖式做出修正。筆者所例舉的正是第二種形式。學(xué)生已有的是三個(gè)變量的圖式，如今增加了一個(gè)變量，從而使新的圖式有更廣的包容性。

1.激活圖式，積累經(jīng)驗(yàn)

美國認(rèn)知心理學(xué)家古德曼認(rèn)為，學(xué)習(xí)是構(gòu)建內(nèi)在心理表征的過程，學(xué)習(xí)者并不是把知識(shí)從外界搬到記憶之中，而是以已知的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過與外界的相互作用來構(gòu)建新的理解?，F(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為：人腦中的知識(shí)不可能獨(dú)立地儲(chǔ)存，總要通過與其他知識(shí)建立某種關(guān)系而儲(chǔ)存。而且只有通過一定的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)儲(chǔ)存的知識(shí)才能被有效地提取利用。這也是我們通常所采用的“復(fù)習(xí)鋪墊”或是“情境創(chuàng)設(shè)”的心理背景。通過這樣的活動(dòng)，激活學(xué)生已有的圖式，疏通相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，為新圖式的“同化”或是“順應(yīng)”做好準(zhǔn)備。

情境：教師出示一箱10袋奶粉和2袋奶粉，媽媽準(zhǔn)備買12袋奶粉送給長輩，營業(yè)員給了一箱又2袋，每袋奶粉28元，媽媽要付多少元？

列式：28×12，估一估大約是多少。

談話：這個(gè)式子學(xué)過嗎？用你能理解的方法找出答案。

學(xué)生中出現(xiàn)了如下幾種方法：

（1）12個(gè)28連加。

（2）28×6×2

（3）28×2×6

（4）28×10+28×2

談話：大家用已經(jīng)會(huì)的方法解決了問題，如果每一道題都這么計(jì)算，你覺得怎樣？（生：麻煩，要學(xué)豎式。）數(shù)學(xué)要追求簡(jiǎn)潔，我們一起來學(xué)習(xí)筆算。

圖式理論認(rèn)為，新知是在同化或是順應(yīng)中產(chǎn)生的。如何最大程度地激活與新知識(shí)相關(guān)的圖式是新圖式產(chǎn)生的重要基礎(chǔ)。如果只是將一道式子28×12交給學(xué)生，學(xué)生激活的是兩位數(shù)乘一位數(shù)的圖式，只能算出56的結(jié)果。如果把抽象的算式置于10袋奶粉和2袋奶粉的情境圖中，直觀的圖像刺激了學(xué)生的感官，學(xué)生激活乘法的意義（連加）、連乘、乘加混合。在情境的幫助下，學(xué)生充分利用已有和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索不同的計(jì)算方法，激活了不同的圖式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。

2.縮減組塊，構(gòu)建圖式

圖式理論指出：知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系越緊密，結(jié)構(gòu)化程度越高，識(shí)記和存貯效果越好。圖式具有知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系緊，結(jié)構(gòu)化程度高的特點(diǎn)。圖式中所包含的知識(shí)都是簡(jiǎn)約化的知識(shí)，是識(shí)記的支撐點(diǎn)。簡(jiǎn)約化知識(shí)點(diǎn)之間各種聯(lián)系便成為識(shí)記的線索。圖式是一種“組塊”，當(dāng)零散的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膱D式時(shí)，可以縮簡(jiǎn)需要識(shí)記的單元數(shù)量，但并不減少所衰亡材料的范圍。

出示豎式28×12。

師：在其中你能見到已學(xué)過的乘法嗎？

學(xué)生找到一位數(shù)相乘、兩位數(shù)乘一位數(shù)。

談話：原來其中有我們學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)呀，先算28乘2，這一步求的是什么？怎么才能讓我看清先算什么呢？

生：把十位的1擋起來，就不會(huì)搞混了。

師：下一步該算什么呢？

學(xué)生根據(jù)剛才的分步式及情境圖，認(rèn)為再算28乘1。師故意把積28末尾寫在個(gè)位。

學(xué)生認(rèn)為不對(duì)：現(xiàn)在該求10袋奶粉的價(jià)錢，就是10個(gè)28，應(yīng)該是280，8寫在十位，2寫在百位。endprint

談話：看起來是1乘28，其實(shí)是10乘28，根據(jù)昨天的學(xué)習(xí)，可以先用1乘28，只不過要把積的末尾寫在十位，后面的0可以不寫，留下位置就行了。

師：怎么看清第二步算什么？

生：把個(gè)位2擋起來，用十位1乘28。

師：最后怎么辦？

指名說，先算什么，再算什么。

生：“先把十位擋起來，用2乘28，再把個(gè)位擋起來，用1乘28，末尾寫在十位?！?/p>

心理學(xué)家米勒認(rèn)為人腦中短時(shí)記憶的信息容量為7±2個(gè)組塊。兒童的信息容量則更少。當(dāng)記憶數(shù)量超過短時(shí)記憶的容量，學(xué)生就會(huì)漏掉信息。我們可以將學(xué)生腦中的信息組成塊，增加短時(shí)記憶的容量信息單元。教學(xué)中，教師采用先將十位擋起，兩位數(shù)乘個(gè)位相組合;再將個(gè)位擋起，兩位數(shù)乘十位相組合，幫助學(xué)生將復(fù)雜的信息清晰地組塊。兩次相乘與四次相乘相比，組塊程度更高，縮減了記憶的負(fù)擔(dān)，提高信息運(yùn)用效率。

3.凸顯變量，簡(jiǎn)化圖式

圖式化認(rèn)知是指當(dāng)頭腦中某種圖式一旦形成，一些細(xì)節(jié)就喪失了，而代之以結(jié)構(gòu)化的抽象。圖式具有概括性和抽象性，如果我們的認(rèn)知一直處于具體的實(shí)例中，那么，抽象就無法完成，圖式的結(jié)構(gòu)也無法形成。

將兩道乘法題進(jìn)行比較，談話：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，計(jì)算時(shí)有什么相同的地方？

學(xué)生概括小結(jié)為：先用個(gè)位去乘兩位數(shù)，積的末尾寫在個(gè)位;再用十位去乘兩位數(shù)，積的末尾寫在十位。

練習(xí)環(huán)節(jié)：

12×44（46人錯(cuò)2人）13×72（46人錯(cuò)10人）

62×41（46人錯(cuò)18人）

課堂作業(yè)：

33×21 ?45×12 ? ? 13×52（正確率91%）

在經(jīng)過兩至三個(gè)實(shí)例之后，需要引導(dǎo)學(xué)生觀察比較：計(jì)算過程中有哪些相似的地方？一般化的方法是什么？學(xué)生在從“先算2乘28”到“先用個(gè)位去乘兩位數(shù)”的過程中，圖式結(jié)構(gòu)得到了簡(jiǎn)化，抽象過程完成。根據(jù)圖式理論，抽象程度越高，概括化越強(qiáng)的圖式越具有遷移性，越利于學(xué)生的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)是一門關(guān)系性、結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科，而關(guān)系性、結(jié)構(gòu)性又恰是圖式的本質(zhì)所在，所以數(shù)學(xué)學(xué)科與圖式理論表現(xiàn)出極大的相容性。我們有理由相信，圖式在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用會(huì)越來越重要。有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)建圖式能力的培養(yǎng)，不僅可以提升學(xué)生的解題能力，還能夠進(jìn)一步發(fā)展和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

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[2] 朱智賢.心理學(xué)大辭典[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1989.

[3] 朱曼殊.心理語言學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，1990.

【責(zé)任編輯：陳國慶】endprint