閉格的性質(zhì)＊

李慶國，吳 瓊?，伍秀華

（1．湖南大學 數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，湖南 長沙 410082；2．中南林業(yè)大學 理學院，湖南 長沙 410082）

近幾十年來，隨著理論計算機科學的發(fā)展，格理論與拓撲結(jié)構(gòu)受到計算科學家和數(shù)學家越來越多的關注．在［1］中Raney通過引入完備集環(huán)的概念，給出了完備集環(huán)的格表示，也就是Raney在文［2］中定義的完全分配的代數(shù)格，并給出了完全分配完備格的等價定理．在［3］中Davey等人又給出代數(shù)格的概念，指出代數(shù)格中的任意元都是所有緊元的并，一個代數(shù)格可以構(gòu)造一個與之同構(gòu)的有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu)；反之，一個有上界的代數(shù)交結(jié)構(gòu)也可以構(gòu)成一個代數(shù)格．在［4］中郭蘭坤和李慶國提出了F－擴張閉包空間并實現(xiàn)了代發(fā)domain 的集族表示，從而拓廣了Davey等人的結(jié)果．而且，許多學者系統(tǒng)研究了閉包系統(tǒng)的性質(zhì)［5－6］．在［7］中，楊田和李慶國等對有限并是封閉的閉包算子所構(gòu)建的有上界的交結(jié)構(gòu)（稱之為拓撲交結(jié)構(gòu)）進行研究，并引入閉格的概念，給出了拓撲交結(jié)構(gòu)的格表示．在本文中，我們繼續(xù)對閉格進行研究，討論了閉格的等價刻畫和閉格與Frame的關系以及它的基本性質(zhì)，并得到閉格在保任意并的滿態(tài)射下仍是閉格，最后證明了閉格運算下的像是閉格．

首先，給出閉格的一些基本概念．

定義1［3］設C為集合X上的閉包算子，若對于任意X的子集A和B均有：

C（A∪B）＝C（A）∪C（B），則C叫做拓撲閉包算子．

定義2［7］設L是X的非空子集族，若L滿足如下3個條件：

（1）對于L的任意非空子集族，都 有∩i∈IAi∈L．

（2）對于任意L中的元A和B都有A∪B∈L．

（3）X∈L．

則稱L為由上界的拓撲交結(jié)構(gòu)，若L只滿足（1）和（2），則稱L為拓撲交結(jié)構(gòu)．

定義3［8］設L是格，若x∈L滿足如下兩個條件，稱之為并不可約元．

（1）x≠0（當L有最小元0）．

（2）對于任意的a，b∈L，a＜x且b＜x可推出a∨b＜x．

條件（2）可以等價地寫為

（2）對于任意的a，b∈L，x＝a∨b可得到x＝a或x＝b．

我們用J（L）表示L中所有并不可約元構(gòu)成的集合．

定義4［9］設L是格，若x∈L滿足如下兩個條件，稱之為并素元．

（1）x≠0（當L有最小元0）．

（2）若x≤a∨b，則對任意的a，b∈L有x≤a或x≤b．

L中的所有并素元之集記為P（L）．

定義5［7］設L是格，a∈L．設a≠1，若任意的x，y∈L，當x∧y≤a時，有x≤a或x≤b，則稱a為L的素元．

定義6［7］設L是完備格（完備下半格），對于任意的非零元a∈L， 設Da＝，若L滿足下列兩個條件，則稱L為閉格（閉半格）．

（1）對于任意的a∈L，都有a＝∨Da．

（2）對于任意的a，b∈L，都有Da∪Db＝Da∨b．

定理1［7］設C為集合X上的閉包算子，Lc是相應的有上界的交結(jié)構(gòu)，則如下命題等價：

（1）C是拓撲閉包算子．

（2）若對于任意X的子集A和B均有C（A∪B）＝C（A）∪C（B）．

（3）Lc是有上界的拓撲交結(jié)構(gòu)．

定理2［7］（1）若L為有上界的拓撲交結(jié)構(gòu)，則L可構(gòu)成閉格．

（2）若L為閉格，則是一個有上界的拓撲交結(jié)構(gòu)，并且與L同構(gòu)．

定理3［7］（1）若L為拓撲交結(jié)構(gòu)，則L可構(gòu)成一個閉半格．

（2）若L為閉半格，則是一個拓撲交結(jié)構(gòu)，并且與L同構(gòu)．

1 閉格的等價刻畫

在本節(jié)中，繼續(xù)對閉格進行研究，給出了閉格的等價刻畫．

定理4 設L是完備格，對于任意的a∈L都有a＝∨Da，則下列條件是等價的：

（1）對于任意的a，b∈L，都 有Da∪Db＝Da∨b．

（2）并不可約元與并素元是等價的，即J（L）＝P（L）．

（3）L是分配格．

證 （1）?（2）假設對任意的x∈P（L），存在a，b∈L使得x＝a∨b．由并素元的定義可知若x≤a∨b，則對任意的a，b∈L有x≤a或x≤b．又x＝a∨b意味著x≥a且x≥b．故x＝a或x＝b．從而P（L）?J（L）．

反之，設x∈J（L）滿足x≤a∨b．由Da∨b定義知x∈Da∨b＝Da∪Db．

根據(jù)定義6有x∈Da或x∈Db，即x≤a或x≤b．則J（L）?P（L），所以P（L）＝J（L）．

（2）?（1）Da∪Db?Da∨b顯然成立．對任意的x∈Da∨b，顯然x≤a∨b．又x∈ （ ）PL，則知x≤a或x≤b．從而x∈Da∪Db．即Da∨b?Da∪Db．因此Da∪Db＝Da∨b．

（2）?（3）對于任意的x∈J（L），設a，b，c∈L滿足x≤（a∨b）∧（a∨c），則x≤a∨b且x≤a∨c．當x≤a∨b時，由定義4知x≤a或x≤b，若x≤a，則x≤a∨（b∧c）．同理當x≤a∨c時，有x≤a或x≤c，綜合可得x≤a或x≤b∧c，從而有（a∨b）∧（a∨c）≤a∨（b∧c）．

顯然a∨（b∧c）≤a∨b，a∨c，故a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c），所以（a∨b）∧（a∨c）＝（b∧c）∨a，即L是分配格．

（3）?（2）只需證J（L）?P（L）．

假設對任意的x∈J（L），存在a，b∈L滿足x≤a∨b，那么x＝x∧（a∨b）．因 為L是分 配格，則x＝（x∧a）∨（x∧b）．由并不可約元的定義又可知x＝x∧a或x＝x∧b，因此x≤a或x≤b，故J（L）?P（L）．所以P（L）＝J（L）．

定理5 設L是完備格，Pa＝ ｛p∈．則L為閉格當且僅當對任意的a∈L，a＝∨Pa．

證 充分性．對任意的a∈L，a＝∨Pa，而Pa?Da，則a∈L，a＝∨Da．由定理4可知只須證明L為分配格．對任意的a，b，c∈L，顯然a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）成立．

下面證明a∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c）．

由已知條件有a∧（b∨c）＝∨Pa∧（b∨c）．對任意的p∈Pa∧（b∨c），有p≤a∧（b∨c），則p≤a且p≤b∨c．又由于p∈P（L），因此當p≤b∨c時，可以推出p≤b或者p≤c，綜合上述可知p≤a∧b或者p≤a∧c，即p≤（a∧b）∨（a∧c），所以a∧（b∨c）＝∨Pa∧（b∨c）≤（a∧b）∨（a∧c）必要性顯然成立．

注 因此可知楊田對有上界的交結(jié)構(gòu)（稱之為拓撲交結(jié)構(gòu)）進行研究定義的閉格與1959年S．Papert定義的閉集格是一樣的．

由于閉格具有很好的分配性質(zhì)，所以討論閉格與Locale的關系．

定義7［10］設L是完備格且滿足無限分配律，即對任意的a∈L，B?L，有a∧∨B＝∨，則稱L是Locale．

定義8［10］以滿足無限分配律的完備格為對象，以保任意并，有限交的映射為態(tài)射所構(gòu)成的范疇稱為Frame范疇，并記作Frm．在Frame范疇中，對象稱為frame，態(tài)射稱為frame同態(tài)．

定義9［10］設L是Locale．若frame同態(tài)φ：L→Ω（ptL）是單射（從而是格同構(gòu)），則稱LocaleL是空間式的，或稱L有足夠多的點．

引理1［10］設L是Locale，則下列條件等價：

（1）L是空間式的．

（2）對任意的a，b∈L，a＞b，存在p∈ptL使得p（a）＝1與p（b）＝0．

（3）對任意的a，b∈L，a＞b，存在L的素元x使得a＞x，b≤x．

（4）對任意的a∈L，a是L的素元之交．

命題1 空間式Locale的對偶是閉格．

證 由定理5和引理1可知空間式LocaleL的對偶滿足情形：任意的元都是L對偶的并素元之并，因而L的對偶是閉格．

2 主要性質(zhì)

在本節(jié)中，給出閉格的完備子格仍是閉格的條件，證明了閉格的笛卡爾乘積仍然是閉格和閉格的保任意并的滿態(tài)射像仍是閉格．同時得到了閉格在閉包運算下的態(tài)射仍是閉格．

定義10 設L是閉格，非空子集S?L．若S對L中的任意非空并和任意非空交都封閉，即對任意的非空子集A?S，∨LA和∧LA存在時，總有∨LA，∧LA∈S成立，則稱S是L的完備子格．

引理2 設S是閉格L的完備子格且為下集，則P（L）∩S＝P（S）．

證 設x∈P（S），若存在a，b∈L使得x≤a∨b，則x≤（a∨b）∧x．由定理4知，L是分配格，則x≤（a∨b）∧x＝（a∧x）∨（b∧x）．

由S是L的下集可知，a∧x，b∧x∈S，故（a∧x）∨（b∧x）∈S．又x是S中的并素元，因此x≤a∧x或x≤b∧x．從而x≤a或x≤b，即x∈P（L）∩S，所以P（S）?P（L）∩S．反之，設x∈P（L）∩S，若存在a，b∈S使得x≤aVsb，則x≤a∨Lb，從而x≤a或x≤b，即x∈P（S）．

定理6 設S是閉格L的完備子格且為下集，則S仍是閉格．

證 由定理5只須證x＝∨s（P（S）∩↓sx）．顯然∨s（P（S）∩↓sx）≤x，設x∈S且S是L的下集，則↓sx＝↓x．而根據(jù)引理2可知

所以x＝∨s（P（S）∩↓sx），即S是閉格．

定理7 設是一族閉格，記L＝∏i∈ILi是笛卡爾乘積集，則L賦予逐點序也是閉格．

證 設（Li）i∈I為一族閉格，記L＝∏i∈ILi．由閉格的定義可知i∈I，Li為分配格．令a，b，c∈L，則有

即L是分配格．對于任意的，令δi＝｛x∈且xi∈J（Li），j≠i時xj＝0｝顯然∪i∈Iδi中的元是∏i∈ILi中的并不可約元，且∪i∈Iδi在∏i∈ILi的并是（ai）i∈I．綜上可得L是閉格．

定理8 設L是閉格，Q是完備格．若f：L→Q為保任意并的滿映射，且f（P（L））?P（Q），則Q是閉格．

證 由于f為滿映射，則對任意的y∈Q，存在x∈L，使得f（x）＝y(tǒng)．

顯然∨（P（Q）∩↓f（x））≤f（x）．又L是閉格， 則f（x） ＝f［ ∨（P（L）∩↓x）］＝∨ff（P（（L））∩↓x） ．

對于任意的z∈P（L） ∩↓x，則z≤x，由于f是保任意并的映射，則f（z）≤f（x）．由f（P（L））?P（Q），則f（z）∈P（Q）．從而f（z）∈P（Q）∩↓f（x），即f（P（Q）∩↓x）?P（Q）∩↓f（x），

故f（x）≤∨（P（Q）∩↓f（x）），

所以f（x）＝∨（P（Q）∩↓f（x）），

即Q是閉格．

定義11［3］設P為偏序集，映射c：P→P稱為P上的閉包運算，若對于P中的任意元x，y都有：

（1）x≤c（x）．

（2）x≤y?c（x）≤c（y）．

（3）c（c（x））＝c（x）．

若c（x）＝x，則元素x∈P稱為閉元，P上的所有閉元組成的集合記為Pc．

引理3［3］設P是完備格，c是P上的閉包算子，則Pc是完備格且對任意的子集S?Pc，有∧PcS＝∧pS和∨PcS＝c（∨pS）．

定理9 設L是閉格，c：L→L是閉包算子，且對任意的a，b∈L，有c（a∨Lb）＝c（a）∨Lc（b），則c（L）是閉格．

證 定義c1：L→c（L），其中c1（x）＝c（x），顯然c1是單調(diào)的滿射，現(xiàn)證c1保任意并．令ai（i∈I）是L的一組元，由引理3可知c（L）＝c1（L）為完備格，則c（L）中 ∨i∈Ic（ai）存在，易知c（∨ai）≥∨i∈Ic（ai）成立．又因為c是閉包算子，則∨i∈Ic（ai）≥∨i∈Iai，從而c（∨i∈Ic（ai））＝∨i∈Ic（ai）≥c（∨i∈Iai），

故c1（∨ai）＝c（∨ai）＝∨i∈Ic1（ai）＝∨i∈Ic（ai），由定理8可知只需證c（P（L））?P（c（L））．對任意的x∈P（L），若存在a，b∈c（L）滿足c（x）≤a∨c（L）b，則a∨c（L）b＝c（a∨Lb）＝c（a）∨Lc（b）＝a∨Lb所以x≤c（x）≤a∨Lb．由并素元的定義可知，x≤a或x≤b，因此c（x）≤c（a）＝a或c（x）≤c（b）＝b，所以c（P（L））?P（c（L））得證，故c（L）為閉格．

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