計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)運(yùn)算的尾數(shù)處理

柴曉東

（黃河科技學(xué)院國際學(xué)院，河南鄭州 450063）

一、計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)運(yùn)算

計(jì)算機(jī)中的浮點(diǎn)數(shù)是小數(shù)點(diǎn)的位置不固定，可以浮動的數(shù)據(jù)。浮點(diǎn)數(shù)的引入，不僅擴(kuò)大了數(shù)據(jù)的表示范圍，同時也提高數(shù)據(jù)的分辨精度。浮點(diǎn)數(shù)的表示方法類似于十進(jìn)制科學(xué)標(biāo)識法，就是用符號、一串有效數(shù)字（通常稱作尾數(shù)）以及對應(yīng)于比例因子中隱含基數(shù)的指數(shù)來表示一個數(shù)[1]。浮點(diǎn)數(shù)可表示為：N=2E·M。其中E是階碼，常用移碼表示，它決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。M是尾數(shù)，是定點(diǎn)純小數(shù)，它給出了有效數(shù)字的位數(shù)，決定了浮點(diǎn)數(shù)的分辨精度。

計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算步驟主要有：對階、尾數(shù)運(yùn)算、規(guī)格化處理、舍入處理以及溢出處理。對階就是通過移動尾數(shù)，使要進(jìn)行加減運(yùn)算的兩個浮點(diǎn)數(shù)的階碼相等。尾數(shù)運(yùn)算就是將對階后的浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)，按照運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)行求和運(yùn)算。規(guī)格化處理就是將運(yùn)算結(jié)果通過一定的方法，變換成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)格式。舍入處理就是根據(jù)運(yùn)算要求，對運(yùn)算結(jié)果中，多出保留位的數(shù)值進(jìn)行丟棄或進(jìn)位處理。溢出處理就是對運(yùn)算結(jié)果中，可能產(chǎn)生的階碼溢出，或尾數(shù)溢出進(jìn)行相應(yīng)的處理。在以上運(yùn)算步驟中，尾數(shù)的規(guī)格化處理、舍入處理以及溢出處理，都屬于尾數(shù)處理部分。

二、規(guī)格化處理

浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后，若不對浮點(diǎn)數(shù)的表示做出明確規(guī)定，同一個浮點(diǎn)數(shù)的表示就不是惟一的[2]。為了充分利用尾數(shù)的位數(shù)來表示更多的有效數(shù)字，以提高數(shù)據(jù)的分辨精度，通常采用浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化形式。規(guī)格化就是將尾數(shù)的絕對值限定在某個范圍內(nèi)，使尾數(shù)部分的絕對值盡可能以最大值的形式出現(xiàn)。規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)應(yīng)滿足條件：0.5≤│M│＜1。

（一）原碼、補(bǔ)碼的規(guī)格化

浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化的表示形式與尾數(shù)采用何種編碼有關(guān)。

當(dāng)尾數(shù)用原碼表示時，若0≤M，尾數(shù)規(guī)格化形式為：M＝0.1XX…XX。若0＞M，尾數(shù)規(guī)格化形式為：M＝1.1XX…XX。其中X為0或1，以下相同。即當(dāng)尾數(shù)為正數(shù)時，其規(guī)格化形式要求，尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為1；當(dāng)尾數(shù)為負(fù)數(shù)時，尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為1。

當(dāng)尾數(shù)用補(bǔ)碼表示時，若0≤M，尾數(shù)規(guī)格化形式為：M＝0.1XX…XX。若0＞M，尾數(shù)規(guī)格化形式為：M＝1.0XX…XX。即當(dāng)尾數(shù)為正數(shù)時，其規(guī)格化形式要求，尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為1；當(dāng)尾數(shù)為負(fù)數(shù)時，尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為0。

綜上所述，浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化，其實(shí)質(zhì)就是為了保證尾數(shù)所對應(yīng)的真值小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為1。當(dāng)浮點(diǎn)加減運(yùn)算的結(jié)果不是規(guī)格化的形式時，需要進(jìn)行左規(guī)或者右規(guī)將它轉(zhuǎn)化為規(guī)格化形式。雙符號數(shù)補(bǔ)碼規(guī)格化形式為：M＝00.1XX…XX或M＝11.0XX…XX。規(guī)格化方法是：

1.若加減運(yùn)算結(jié)果的兩個符號位不同，如01.XXX…XX或10.XXX…XX，表明運(yùn)算結(jié)果發(fā)生了溢出，此時需將尾數(shù)右移1位（小數(shù)點(diǎn)左移1位），階碼加1，即進(jìn)行右規(guī)。例如，若加減運(yùn)算結(jié)果是01.110111，階碼為10，規(guī)格化需要右規(guī)1位，階碼加1，規(guī)格化后的形式為00.1110111，階碼變?yōu)?1；若加減運(yùn)算結(jié)果是10.110111，階碼為10，規(guī)格化需要右規(guī)1位，階碼加1，規(guī)格化后的形式為11.0110111，階碼變?yōu)?1。

2.若加減運(yùn)算結(jié)果的兩個符號位相同，但最高數(shù)值位與符號位相同，如00.0XX…XX或11.1XX…XX，此時需將尾數(shù)左移（小數(shù)點(diǎn)右移），直至轉(zhuǎn)化為00.1XX…XX或11.0XX…XX的形式，階碼減去尾數(shù)左移的位數(shù)，即進(jìn)行左規(guī)。例如，若加減運(yùn)算結(jié)果是00.010111，階碼為11，則規(guī)格化需要左規(guī)1位，階碼減1，規(guī)格化后的形式為00.101110，階碼變?yōu)?0；若加減運(yùn)算結(jié)果是11.110111，階碼為11，則規(guī)格化需要左規(guī)2位，階碼減2，規(guī)格后的化形式為11.011100，階碼變?yōu)?1。

（二）IEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化

為了便于軟件的移植，浮點(diǎn)數(shù)的表示形式應(yīng)該有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）提出了IEEE754標(biāo)準(zhǔn)。IEEE754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定基數(shù)為2，符號S用0或1表示，階碼E用移碼表示，尾數(shù)M用原碼表示。如圖1所示為IEEE754標(biāo)準(zhǔn)32位浮點(diǎn)數(shù)和64位浮點(diǎn)數(shù)的格式。

圖1 IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式

對于IEEE754標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)，由于其尾數(shù)M用原碼表示，因此，其規(guī)格化方法與原碼規(guī)格化方法相同。根據(jù)原碼的規(guī)格化方法，尾數(shù)小數(shù)點(diǎn)后第一位的值為1，規(guī)格化后，尾數(shù)M的最高位應(yīng)該是1。對于32位浮點(diǎn)數(shù)，尾數(shù)M的范圍是0～22位，規(guī)格化后，尾數(shù)M最高位應(yīng)該為1，即第22位應(yīng)該為1。對于64位浮點(diǎn)數(shù)，尾數(shù)M的范圍是0～51位，規(guī)格化后，第51位應(yīng)該是1。因浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化后，尾數(shù)M最高有效位固定為1，即尾數(shù)M最左位固定為1，IEEE754標(biāo)準(zhǔn)將這個1缺省存儲，即不存儲，而隱藏在二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)的左邊。這樣M域中存儲的23位和52位實(shí)際上只表示了尾數(shù)的小數(shù)部分，即小數(shù)點(diǎn)右方的各位。

圖2所示為IEEE754標(biāo)準(zhǔn)32位浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化。其中（a）圖表示是一個非規(guī)格化數(shù)+0.0001101…×27的IEEE754標(biāo)準(zhǔn)格式，其中階碼用移碼表示。階碼原始是9，變?yōu)橐拼a后為7+127，二進(jìn)制為10000110。尾數(shù)域的數(shù)據(jù)為0.0001101…。將尾數(shù)0.0001101…規(guī)格化，按照原碼規(guī)格化方法，左規(guī)3位，規(guī)格化后變?yōu)?.1101…，階碼減3，變?yōu)?。由于IEEE754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，尾數(shù)域最高位隱藏不存儲，即小數(shù)點(diǎn)左邊應(yīng)該為1，則需要對規(guī)格化后的值再次進(jìn)行變換，即小數(shù)點(diǎn)向右再次移動1位，變?yōu)?.101…，階碼再減1，變?yōu)?。階碼用移碼表示為3+127，二進(jìn)制表示形式為10000010。尾數(shù)域數(shù)據(jù)為101…。（b）圖表示的即為規(guī)格化后的IEEE754標(biāo)準(zhǔn)格式。其中最高位0是符號位，表示“+”。

事實(shí)上，IEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化后，尾數(shù)域的數(shù)據(jù)只是小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)據(jù)，實(shí)際上尾數(shù)表示范圍比實(shí)際存儲的多一位，這一位就是小數(shù)點(diǎn)前的一位1。

圖2 IEEE754標(biāo)準(zhǔn)32位浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化

三、舍入處理

在浮點(diǎn)運(yùn)算中，在執(zhí)行右規(guī)或?qū)﹄A時，尾數(shù)低位上的數(shù)值會因?yàn)槌鰴C(jī)器的允許位數(shù)而被移掉，從而使數(shù)值的精度受到影響。為了減小數(shù)據(jù)的誤差，需要對移掉的數(shù)據(jù)進(jìn)行舍入處理。計(jì)算機(jī)中常用的舍入方法有兩種：四舍五入法和截?cái)嗵幚矸ā?/p>

（一）四舍五入法

四舍五入法類似于十進(jìn)制的四舍五入，即尾數(shù)超出規(guī)定的保留位的多余位數(shù)值，若大于規(guī)定的保留位的最低有效位值的一半時，則需要進(jìn)位，即在尾數(shù)保留位的最低有效位上加1。若超出規(guī)定的保留位的多余位數(shù)的值，小于規(guī)定的保留位的最低有效位值的一半時，則直接舍去。例如，若要進(jìn)行舍入處理的數(shù)據(jù)為0.11011001，要求保留位為4位。則進(jìn)行舍入處理的多余數(shù)據(jù)為1001，由于1001大于1000，因此需要向高位進(jìn)位。將0.1101的末位直接加1，即0.1101+0.0001=0.1110，舍入處理結(jié)果為0.1110；若要進(jìn)行舍入處理的數(shù)據(jù)為0.11010001，要求保留位為4位。則進(jìn)行舍入處理的多余數(shù)據(jù)為0001，由于0001小于1000，因此需要舍去。直接將0001舍去，保持其它數(shù)值不變，舍入處理結(jié)果為0.1101。

對于多余位剛好等于有效位值的一半時，分兩種情況處理：當(dāng)規(guī)定的保留位的最低有效位為0時，則直接舍去；若規(guī)定的保留位的最低有效位為1時，則向高位進(jìn)一位使其變?yōu)?。例如，若要進(jìn)行舍入處理的數(shù)據(jù)為0.11001000，要求保留位為4位。保留位的最低有效位為0，則直接舍去多余位1000。舍入處理結(jié)果為0.1100。若要進(jìn)行舍入處理的數(shù)據(jù)為0.11011000，要求保留位為4位。保留位的最低有效位為1，則向保留位的最低位加1，即0.1101+0.0001=0.1110，舍入處理結(jié)果為0.1110。

四舍五入法的舍入結(jié)果最接近于被舍入處理的數(shù)據(jù)，而且是無偏近似。但該方法要求一次加法運(yùn)算，有可能需要對舍入結(jié)果再次進(jìn)行規(guī)格化。這種舍入方式是IEEE浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)舍入處理的默認(rèn)模式。

（二）截?cái)嗵幚矸?/h3>

截?cái)嗵幚矸ㄊ且环N簡單的方法，直接將超出規(guī)定的保留位的多余位舍去，而剩余的規(guī)定的保留位則保持不變。例如，若要進(jìn)行舍入處理的數(shù)據(jù)為0.11011001，要求保留位為4位。則進(jìn)行舍入處理的多余數(shù)據(jù)為1001，直接將多余位1001舍去即可。舍入處理結(jié)果為0.1101。截?cái)嗵幚矸椒ú僮骱唵危`差相對較大，影響結(jié)果的精度。

四、溢出處理

在浮點(diǎn)運(yùn)算過程中，需要檢測計(jì)算結(jié)果是否發(fā)生溢出。如果溢出，需要進(jìn)行溢出處理。溢出有兩種，一種是階碼溢出，另一種是尾數(shù)溢出。

階碼的溢出有兩種情況，一種是兩個同符號數(shù)據(jù)相加，由于一個數(shù)據(jù)的絕對值很大，已經(jīng)使正階碼達(dá)到最大值，兩數(shù)相加規(guī)格化后，階碼需要增加，這時發(fā)生階碼上溢。另一種是兩個不同符號數(shù)據(jù)相加，由于兩個數(shù)據(jù)的絕對值很小，兩數(shù)相加規(guī)格化后，階碼需要減少，這時發(fā)生階碼下溢[3]。

尾數(shù)的溢出也有兩種情況，一種是兩個同符號數(shù)據(jù)相加，出現(xiàn)相加結(jié)果最高位向上進(jìn)位，需要將尾數(shù)右移，階碼加1。即對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行右規(guī)格化處理。另一種是兩個數(shù)據(jù)運(yùn)算后，數(shù)據(jù)長度超出了要求的數(shù)據(jù)長度，這時需要對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行舍入處理。由于浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍很廣，在實(shí)際應(yīng)用中，階碼的溢出很少出現(xiàn)，但尾數(shù)的溢出出現(xiàn)較多。

[1]Carl Hamacher等.計(jì)算機(jī)組成[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[2]白中英.計(jì)算機(jī)組成原理（第四版）[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[3]羅克露，劉輝等.計(jì)算機(jī)組成原理（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.