囚禁于簡諧勢＋四次勢阱中兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體

陳光平

（1.四川文理學院 物理與機電工程學院，四川 達州635000；2.中國科學院國家授時中心時間頻率基準重點實驗室，陜西 西安710600）

0 引言

自1995年人類首次在實驗室實現(xiàn)稀薄堿金屬原子氣體的玻色愛因斯坦凝聚實驗以來，關(guān)于玻色愛因斯坦凝聚體的研究一直是一個熱點問題.作為典型拓撲結(jié)構(gòu)破缺的渦旋，廣泛存在于諸如超流3He，2He等領(lǐng)域，近幾年來吸引了各類理論和實驗物理學家的興趣.隨著實驗和工程技術(shù)的發(fā)展，人們從旋轉(zhuǎn)的玻色愛因斯坦凝聚體（BECs）中觀察到單個渦旋結(jié)構(gòu)，[1-2]加快凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率，會出現(xiàn)更多的渦旋，甚至會出現(xiàn)成百上千個渦旋.[3-6]通常人們把玻色愛因斯坦凝聚體囚禁于簡諧勢阱中，但是當玻色愛因斯坦凝聚體的旋轉(zhuǎn)頻率接近囚禁簡諧勢的振動頻率ω⊥時，強大的離心力將使得勢阱約束力減弱導致凝聚體散落；為了克服這一局限，最近實驗上通過藍諧激光耦合構(gòu)造一個四次勢阱，再將它與簡諧勢阱結(jié)合，形成一個簡諧勢＋四次勢的新勢阱，因四次勢阱的存在，加強了勢阱對凝聚體的約束，凝聚體在這種勢阱中以較小速率Ω旋轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)渦旋，隨著旋轉(zhuǎn)速率Ω增加，渦旋數(shù)目逐漸增加，最后形成一個大的渦旋格子.在這種簡諧勢＋四次勢的勢阱中，即使旋轉(zhuǎn)速率Ω＞ω⊥，凝聚體也不會散落，而且會進一步形成更多的渦旋格子；但是當角速率大于一個臨界值Ωc時，凝聚體的中心會出現(xiàn)一個空洞，中心部分的渦旋消失.再進一步增加旋轉(zhuǎn)速度時，凝聚體的基態(tài)會形成一個巨大的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，渦旋完全消失.[7]最近也有作者研究耦合中心雙勢阱中旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦和自旋軌道耦合作用下的基態(tài)問題.[8-10]

基于上述研究，本文主要研究兩分量旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結(jié)構(gòu).研究旋轉(zhuǎn)頻率、原子種間相互作用強度對渦旋結(jié)構(gòu)的影響，以期發(fā)現(xiàn)它們對凝聚體性能的作用規(guī)律.

1 基態(tài)的理論模型

本節(jié)主要研究在一個二維（x，y）平面內(nèi)，囚禁于簡諧勢＋四次勢阱中的旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)模型，勢阱函數(shù)描述為：

g11為第一類原子種內(nèi)相互作用強度，g22為第二類原子種內(nèi)相互作用強度，g12是第一類原子與第二類原子之間的種間相互作用強度，它們都可以通過Feshbance共振方法對它們進行調(diào)節(jié)為ψi的概率密度為凝聚體的旋轉(zhuǎn)角動量算符.

經(jīng)過無量綱化處理后得到兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的Gross-Pitaevskii方程如下

采用虛時演化和有限差分方法對方程（4）進行數(shù)值仿真實驗，調(diào)整不同的種間相互作用強度g12和旋轉(zhuǎn)速率Ω可得系統(tǒng)的不同基態(tài)結(jié)構(gòu).

2 數(shù)值實驗與結(jié)果分析

為了得到玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)波函數(shù)，設(shè)種內(nèi)原子相互作用強度g11＝g22＝g，為了簡單起見，設(shè)定g＝100；再設(shè)種間原子相互作用強度g12＝g21，固定四次勢系數(shù)λ＝0.5，我們將討論凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率和種間原子相互作用強度對基態(tài)的影響.

圖1 兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)相圖（組分1（↑）和組分2（↓））與種間相互作用強度、旋轉(zhuǎn)頻率之間的關(guān)系.從第一列到第四列依次對應(yīng)旋轉(zhuǎn)頻率Ω＝0，1.5，2.5，3.5；從第一排到第五排依次對應(yīng)種間相互作用強度g12＝0，50，80，100，120；其它參數(shù)為種內(nèi)相互作用強度g＝100，四次勢強度系數(shù)λ＝0.5；簡諧勢振動頻率ω⊥＝1.

從第一列相圖可以看出，在沒有旋轉(zhuǎn)（Ω＝0）的情況下，當種間相互作用強度g12＜g時，組分1和組分2相圖相互重疊，都呈現(xiàn)出無對稱破缺的圓盤狀分布；當g12＝g＝100時，組分1和組分2的相圖開始呈現(xiàn)出分裂的趨勢，但是仍然處于相混合狀態(tài)；然而當g12＞g的時候，兩組分發(fā)生了相分離；不過此時兩組分相圖依然是呈現(xiàn)出翻折對稱.造成這一現(xiàn)象的原因，是兩組分原子的種內(nèi)相互作用強度和種間相互作用強度均相等，簡諧勢和四次勢也是對稱勢能，所以在無其它相互作用（如旋轉(zhuǎn)）下，其基態(tài)呈現(xiàn)出對稱性分布是正確合理的；當然，當種間相互作用強度小于種內(nèi)相互作用強度時，種內(nèi)相互作用起主導作用，基態(tài)相圖呈現(xiàn)出相混合狀態(tài)；而當種間相互作用大于種內(nèi)相互作用時，兩組分分布排斥（g12＞0是排斥，g12＜0是吸引）力加大，所以兩組分呈現(xiàn)出相分離.可見，在無旋轉(zhuǎn)作用下，種間相互作用影響著基態(tài)相圖結(jié)構(gòu)，但是不改變相圖分布的對稱性.

隨著旋轉(zhuǎn)速率的引入并加快，Ω＞1取1.5時，如第二列圖，玻色愛因斯坦凝聚體并沒有因為旋轉(zhuǎn)過快而出現(xiàn)散落，而是出現(xiàn)了對稱破缺的渦旋.隨著種間相互作用增強，渦旋的個數(shù)在增加，渦旋的結(jié)構(gòu)不對稱性越來越明顯；當種間相互作用增強到關(guān)鍵值g12≥g時，基態(tài)相圖基本呈現(xiàn)出相分離，因種間相互排斥作用的增大發(fā)生相分離而使得兩組分各自分布在一個較小的空間，所以這種壓迫使得原來的渦旋被壓塌，因此渦旋個數(shù)逐漸減少.

從圖一的第一、二、三排圖可知隨著玻色愛因斯坦凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率的增加，當旋轉(zhuǎn)速率增大時，系統(tǒng)基態(tài)出現(xiàn)渦旋結(jié)構(gòu)，隨著旋轉(zhuǎn)速率的增加渦旋數(shù)增加，但是離心力也在增強，所以當旋轉(zhuǎn)速率增加到Ω＝2.5時（第三列），在基態(tài)相圖的中心原有渦旋消失逐漸形成空洞，在環(huán)狀相圖上仍然保持少量渦旋個數(shù)；進一步增大旋轉(zhuǎn)速率Ω＝3.5時（第四列），渦旋完全消失，相圖形成一個環(huán)形；但是，因為g12＜g，旋轉(zhuǎn)速率的增加始終不會改變相混合的狀態(tài).

從圖一第四、五排圖，我們可以看出當旋轉(zhuǎn)速率Ω增加時，組分1和組分2分出多個塊狀，并且隨著Ω的進一步加強，這些塊狀的原子團被推向外側(cè)，形成近似圓環(huán)狀分布，因為離心力過大，所以環(huán)的寬度縮小，兩組分原子占據(jù)的空間進一步被壓縮，導致塊與塊之間發(fā)生部分重疊，最后都形成環(huán)形狀，占據(jù)相同的空間，導致相混合狀態(tài)出現(xiàn).由此可見，只要增加旋轉(zhuǎn)速率到足夠大，不論旋轉(zhuǎn)時是相混合還是相分離狀態(tài)，最終都會走向相混合，這是旋轉(zhuǎn)的一個重要效果.

3 總結(jié)

本文主要研究了囚禁于簡諧勢＋四次勢阱中兩組分玻色愛因斯坦凝聚體的基態(tài)結(jié)構(gòu)，研究發(fā)現(xiàn)，與單組分玻色愛因斯坦凝聚體不同，組分間的相互作用強度對基態(tài)相圖有重要的影響，它可以使兩組分玻色愛因斯坦凝聚體原子由相混合轉(zhuǎn)向相分離；在四次勢的作用下，旋轉(zhuǎn)凝聚體的旋轉(zhuǎn)速率可以增大到超過簡諧勢的振蕩頻率而不致凝聚體因離心力增大而散落，同時，旋轉(zhuǎn)速率的增加可以在一定程度上增加渦旋產(chǎn)生的個數(shù)，然而，旋轉(zhuǎn)速率超過一定程度后，強大的離心力將使渦旋消失而形成環(huán)狀分布，并且不管無旋轉(zhuǎn)時基態(tài)相圖是相分離還是相混合，在旋轉(zhuǎn)速率增大到一定程度后，都會最終演變?yōu)橄嗷旌蠣顟B(tài).總之，種間相互作用、旋轉(zhuǎn)體速率均對基態(tài)相圖結(jié)構(gòu)有著重要的影響，這為我們在實驗上實現(xiàn)兩組分旋轉(zhuǎn)玻色愛因斯坦凝聚體和認知它的基態(tài)結(jié)構(gòu)有著重要的指導意義.

[1]M.R.Matthews，B.P.Anderson，P.C.Haljan，et al.Vortices in a Bose-Einstein Condensate[J].Phys.Rev.Lett，1999（83）：2498-2504.

[2]K.W.Madison，F(xiàn).Chevy，W.Wohlleben，et al.Vortex Formation in a Stirred Bose-Einstein Condensate[J].Phys.Rev.Lett，2000（84）：806-811.

[3]J.R.Abo-Shaeer，C.Raman，J.M.Vogels，et al.Observation of Vortex Lattices in Bose-Einstein Condensates[J].Science，2001（292）：476-480.

[4]C.Raman，J.R.Abo-Shaeer，J.M.Vogels，K.Xu，et al.Vortex Nucleation in a Stirred Bose-Einstein Conden-sate[J].Phys.Rev.Lett，2001（87）：210402-210408.

[5]P.C.Haljan，I.Coddington，P.Engels，et al.Driving Bose-Einstein-Condensate Vorticity with a Rotating Normal Cloud[J].Phys.Rev.Lett，2001（87）：210403-210409.

[6]A.L.Fetter.Rotating vortex lattice in a Bose-Einstein condensate trapped in combined quadratic and quartic radial potentials[J].Phys.Rev.A，2001（64）：063608-063617.

[7]Alexander L.Fetter，B.Jackson，Stringari.Rapid rotation of a Bose-Einstein condensate in a harmonic plus quartic trap[J].Phys.Rev.A，2005（71）：013605.

[8]Xiao-Fei Zhang，Rui-Fang Dong，Tao Liu，et al.Spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensates confined in concentrically coupled annular traps[J].Phys.Rev.A，2012（86）：063628.

[9]Xiao-Fei Zhang，Ri-Sheng Gao，XinWang，et al.Bose –Einstein condensates in concentrically coupled annular traps with spin –orbit coupling and rotation[J].Physics Letters A，2013（377）：1109–1113.

[10]Xiao-Fei Zhang，Biao Li，Shou-Gang Zhang.Rotating spin –orbit coupled Bose–Einstein condensates in concentrically coupled annular traps[J].LASER PHYSICS，2013（23）：105501.