彈性力學平面應(yīng)力問題的加權(quán)殘值法分析

宋國輝

（安徽建筑大學 土木工程學院，合肥 230601）

1 引 言

加權(quán)殘值法又稱為加權(quán)余量法，是一種近似方法，它在求解力學問題的時候，可以從微分方程式直接解出近似解。

它在流體力學、熱傳導以及化學工程等方面應(yīng)用較為廣泛［1］。

2 加權(quán)殘值法的基本內(nèi)容

對于工程科學類的問題，最終的求解都可以把它看成在給定的初始條件下求解微分方程式（組）。如有某問題的控制微分方程及邊界條件為:

其中ζ為待定函數(shù)，D、H為微分算子，d、h為已知函數(shù)，m為邊界條件數(shù)。

要求上述的控制方程，可以直接假定待定函數(shù)ζ的一個近似解，即試函數(shù)Γ:

式中Ck為待定系數(shù)，Nk為已知的試函數(shù)，n為試函數(shù)的數(shù)目。

通常情況下，將試函數(shù)代入上述控制方程和邊界條件，試函數(shù)Γ一般不會符合要求，那么便產(chǎn)生了內(nèi)部和邊界殘值，分別為Ra、Rb，

可以采用內(nèi)部權(quán)函數(shù)Wa和邊界權(quán)函數(shù)Wb來消除殘值，則對應(yīng)的方程為:

通過計算，解得待定系數(shù)Ck（k＝1，2…n）。將Ck代入試函數(shù)方程，得問題的近似解。

根據(jù)權(quán)函數(shù)的不同，加權(quán)殘值法計算可以分為以下幾種:

① 最小二乘法

可以求得待定系數(shù)Ck。

② 配置法

配置法包括配點法，配線法，配面法及配域法等，這里只介紹配點法。

權(quán)函數(shù)為笛拉克δ函數(shù):

二維問題:

通過解（10）得Ck。

③ 伽遼金法

按加權(quán)殘值法的觀點去理解伽遼金法，伽遼金法實際上就是將試函數(shù)項當做權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法［2］。

④ 子域法

將物體的ε域分為n個子域εk（k＝1，2，3…n），權(quán)函數(shù)滿足Wk＝1（在εk內(nèi)），Wk＝0（不在εk內(nèi)）。則殘值方程組為:

即可求得Ck。

⑤ 矩量法

二維問題:

求解方程（12）可求得待定系數(shù)。

3 平面應(yīng)力問題

求解平面應(yīng)力問題時，應(yīng)滿足應(yīng)力函數(shù)φ（x，y）表示的相容方程:

上式可以簡化為

應(yīng)力邊界條件:

其中X，Y為給定的面力分量，l，m為外法線的方向余弦。

在彈性力學中，應(yīng)力分量和應(yīng)力函數(shù)φ（x，y）之間滿足的條件為:

其中Xx，Yy，Xx，Yy代表的是體力分量。那么，求解平面應(yīng)力問題就變成了求解滿足（13）和（14）的應(yīng)力函數(shù)φ（x，y）。

4 算 例

4．1 以三角形懸臂梁為例，說明該方法的應(yīng)用。

如圖1所示，為一個只受重力作用的三角形懸臂梁，梁的密度為ρ，求其應(yīng)力分量。

圖1 三角形懸臂梁

對于該題我們用加權(quán)殘值法中的配點法求解，則:

（1）應(yīng)力邊界條件:

（2）試函數(shù)

三角形懸臂梁的應(yīng)力分量由重力組成，則取試函數(shù)為:

（3）配點法求解

顯然（18）滿足相容方程（13），則取上邊界任一點（x，y＝0）及斜邊界上一點（1，tanβ）進行配點。將試函數(shù)代入（15）可得:

將式（19）代入上邊界（16）得殘值方程為:

以上邊界任意一點（x，y＝0）代入上式，解得a＝0，b＝0將式（19）代入斜邊界（17）得殘值方程為:

將a＝0，b＝0及斜邊界上任意一點（1，tanβ）代入上式殘值方程解得

將上 面 解 得 的a，b，c，d代 入 （19）得，

下面我們再以一端固定的細長桿為例，來說明該方法的應(yīng)用。

如圖2所示，一端固定的細長桿，在長邊界受均勻分布力q，試求解應(yīng)力分量。

圖2 一端固定細長桿

對于該問題可以用加權(quán)殘值法中的最小二乘法求解。

（1）應(yīng)力邊界條件:

上邊界:

下邊界:

左邊界:

（2）試函數(shù)

應(yīng)力分量由多項式解答，則取試函數(shù)為:

（3）最小二乘法求解

顯然（23）滿足相容方程，將（23）代入（15）得

將式（24）代入上邊界得殘值方程為:

將式（24）代入下邊界得殘值方程為:

那么解答結(jié)果與彈性力學也是相同的。

5 結(jié) 論

本工作利用加權(quán)殘值法中的基本理論知識，用配點法分析了三角形懸臂梁，用最小二乘法分析了一端固定的細長桿，通過分析得出的數(shù)值解，并與彈性力學的解析解比較，兩者結(jié)果是一致的。因此，可以看出該方法在實際使用中的簡單，易操作性。

1 徐文煥，陳虬．加權(quán)余量法在結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用［M］．北京:中國鐵道出版社，1985:1－2．

2 徐次達，陳學潮，鄭瑞芬．新計算力學加權(quán)殘值法－原理、方法及應(yīng)用［M］．上海:同濟大學出版社，1997:2－5．

3 徐芝綸．彈性力學簡明教程第三版［M］．北京:高等教育出版社，1990:30－40．