透視仿射對應(yīng)在畫法幾何中的應(yīng)用與研究

張世海（甘肅交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

1 引言

在畫法幾何中，求解平面與立體表面的截交線以及曲面立體截交線的軸測投影，大部分情況下截平面都處于特殊位置平面或立體表面在某一個投影面上具有積聚性，所用的方法通常有積聚性法、輔助平面法、輔助球面法和換面法等，求解過程及作圖相對比較簡單。但是如果平面是一般位置平面或立體的表面無積聚性時，如果仍然采用上述方法，則作圖相對比較繁瑣，而且不易保證作圖的準確性。相反，應(yīng)用透視放射對應(yīng)法求解二次曲面的截交線、截交線的軸測投影等問題，則是一種行之有效的方法[1]。

2 透視仿射對應(yīng)的基本理論

2.1 兩平面場透視仿射對應(yīng)的建立

透視放射對應(yīng)是由一次平行投影所建立的兩平面場之間的仿射變換[2]。如圖1所示，設(shè)已知相交兩平面為P和P1，兩平面的交線為SS，直線L為投影方向。

圖1 透視仿射對應(yīng)的建立

通過平面P上的兩點A、B，作直線L的平行線，與平面P1相交于A1、B1，這樣平面P上的點和平面P1上的點就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，這種對應(yīng)就是P到P1的透視仿射對應(yīng)。其中，A和A1稱為對應(yīng)點，直線AB和A1B1稱為對應(yīng)直線，直線L稱為對應(yīng)方向，兩平面的交線SS上的點都是自身對應(yīng)的，稱為二重點，如點MS。顯然，交線SS是兩個對應(yīng)平面上二重點的軌跡，稱為對應(yīng)軸。

2.2 透視仿射對應(yīng)的基本性質(zhì)

由于透視放射對應(yīng)采用的是平行投影的方法，所以，透視放射對應(yīng)具有初等畫法幾何中平行投影的基本性質(zhì)，即同素性、從屬性、平行性和等簡比性。

1）同素性 平面P上的點對應(yīng)平面P1上唯一確定的點，平面P上的直線對應(yīng)平面P1上唯一確定的直線。

2）從屬性 若點屬于直線，則其對應(yīng)點也屬于該直線的對應(yīng)直線。

3）平行性 平面P上互相平行的兩條直線，在其P1上的對應(yīng)直線也平行。

4）等簡比性 直線上三個點所組成的簡比，等于其對應(yīng)直線上三個點的簡比。

2.3 兩平面場仿射對應(yīng)的主方向

在仿射對應(yīng)中，角度是一個變量，也就是說兩條相互垂直的直線，經(jīng)過仿射對應(yīng)后，其對應(yīng)直線不一定保持相互垂直的關(guān)系。但是，如果一對互相垂直的直線經(jīng)過仿射對應(yīng)后的對應(yīng)直線仍然垂直，那么這兩對直線所決定的方向就分別稱為場P和P1的主方向。

如圖2所示，對應(yīng)方向與對應(yīng)軸傾斜相交，

設(shè)透視仿射對應(yīng)由對應(yīng)軸SS和一對對應(yīng)點A和A1確定。過對應(yīng)點連線AA1的中點M作垂直于AA1的直線，與對應(yīng)軸相交于點N，以點N為圓心，NA或NA1為半徑作一輔助圓，與SS相交于1（11）、2（21），連接1A、2A和11A1、21A1。這時，直線1A、2A分別對應(yīng)于直線11A1、21A1。由于∠1A2和∠11A121均為直徑所對應(yīng)的圓周角，所以1A⊥2A，11A1⊥21A1。兩對應(yīng)直線1A、2A和11A1、21A1所決定的方向即為場P和P1的主方向。

圖2 仿射對應(yīng)的主方向

3 透視仿射對應(yīng)法的應(yīng)用

3.1 應(yīng)用透視仿射對應(yīng)法求截交線

例 如圖3所示，求平面P與三棱柱的截交線。

1)作截平面P的對應(yīng)軸SS。在跡線平面上任取一點N，過N作水平線，得二重點nS，連接PXnS，為P面的對應(yīng)軸SS，這樣就建立了以SS為對應(yīng)軸、點n＇和n為對應(yīng)點的透視放射對應(yīng)。

圖3 求平面P與斜三棱柱的截交線

2)作棱線cf的對應(yīng)直線c1f1以及c1f1與c＇f＇的交點k＇?？上惹蟪鰂的對應(yīng)點f1，連接fn并延長交對應(yīng)軸SS于fS點，連接fS錯誤！鏈接無效。并延長，與過f點所作平行于n n＇（對應(yīng)方向）的直線ff1交于f1點，f1點即為f點的對應(yīng)點。同理，可作出c點的對應(yīng)點c1，因fc交 SS于cS，連接cS f1，則c1必在cS f1上，且與c對應(yīng)。c1f1與cf即為一對對應(yīng)直線，c1f1與c＇f＇的交點k＇即為CF棱線與P面交點的正面投影，由k＇求得k。

3)由于三棱柱的棱線AD、BE、CF相互平行，故其ad、be、cf的對應(yīng)直線a1d1、b1e1、c1f1也互相平行。所以，分別求出ad、be與ss的交點as、bs，過as、bs作cs f1的平行線與a＇d＇、b＇e＇相較于h＇、m＇點，由h＇、m＇點求出h、m點。

4)連接△k＇h＇m＇和△khm，即為截交線的兩面投影，并判別可見性。

3.2 應(yīng)用透視仿射對應(yīng)法求截斷面的實形

求截斷面實形所用的方法通常有換面法、旋轉(zhuǎn)法和重合法等，但這些方法往往需要作出截交線的投影才能求出截斷面實形。而采用透視仿射對應(yīng)法，則可在已知截平面和曲面的情況下直接求出截斷面的實形。

如圖4所示，平面P與斜圓柱面相交，求截斷面的實形。

圖4 求平面P與斜圓柱截交線的實形

由于截交線與底圓均在斜圓柱面上，而且圓柱面上所有素線相互平行，因此截交線橢圓與圓柱底圓構(gòu)成透視仿射對應(yīng)，將P面上的橢圓旋轉(zhuǎn)到與H面重合時，該橢圓與底圓仍然構(gòu)成透視仿射對應(yīng)，對應(yīng)軸為PH，該橢圓即為截斷面的實形。

1）作輔助正垂面R，求出平面P與圓柱軸線的交點O（o，o′）。

2）采用旋轉(zhuǎn)法[3]求出P面繞PH旋轉(zhuǎn)到與H面重合時的新位置O0。

3）由對應(yīng)點為O0、O2，求出對應(yīng)的主方向，從而確定實形橢圓的長、短軸，再作出橢圓。

3.3 應(yīng)用透視仿射對應(yīng)法求作平行于坐標面的圓的斜軸測投影

對于平行于坐標面的圓，總存在兩條平行于坐標軸且相互垂直的直徑，作出此兩條直線的斜軸測投影，即為所求橢圓的一對共軛直徑。通過建立圓和欲求橢圓之間的透視仿射對應(yīng)關(guān)系，即可確定橢圓的長短軸，從而完成平行于坐標面的圓的斜軸測投影。

圖5 求橢圓的長短軸

如圖5所示，利用橢圓外切平行四邊形的一邊M1N1作為透視仿射對應(yīng)軸，作與橢圓及外切平行四邊形對應(yīng)的圓和外切正方形，找出圓心O，O與O1為一對對應(yīng)點，利用該對應(yīng)中的主方向求得橢圓的長軸E1F1和短軸G1H1，完成橢圓。若A1B1=2C1D1，∠A1 O1 C1=45°，即為國標推薦的斜二測水平面上的橢圓。

3.4 在軸測投影中作曲面立體的截交線

在軸測投影中求作曲面立體截交線，通常是先在多面正投影圖上作出截交線，然后再根據(jù)截交線上各點的坐標作出截交線的投影。這種方法雖比較容易掌握，但在作多面正投影圖時，容易產(chǎn)生累計誤差，較難求出截交線上的特殊點，無法保證作圖的準確性[4]。而利用透視仿射對應(yīng)法，則可在軸測投影圖上直接作圖，能克服上述缺點。

如圖6所示，正圓柱被一般位置平面P所截切，利用透視仿射對應(yīng)法，求出截交線橢圓的軸測投影（正二測E）。

圖6 求圓柱截交線的軸測投影

先任意作軸測平面Q，并采用XOY坐標重合法作出圓柱底圓的實形。坐標面的重合位置X0O0Y0和其軸測投影X1O1Y1成透視仿射對應(yīng)（稱為對應(yīng)Ⅰ），QX1QY1為對應(yīng)軸，O1、O0為一對應(yīng)點，O1X1和O0X0、O1Y1和O0Y0是相互垂直的成對應(yīng)的直線。過底橢圓中心c1作k1l1∥QH1，則在與它對應(yīng)的直線K0L0上便能找到與c1對應(yīng)的點C0，從而作出圓柱底圓的實形。

截平面P上各點的軸測投影和其在XOY坐標面上的次投影成透視仿射對應(yīng)（稱為對應(yīng)Ⅱ），PH1(PX1PY1)為對應(yīng)軸，PZ1和O1為一對應(yīng)點。由于P面上截交線橢圓上各點的次投影都處在圓柱底橢圓上，因此該兩橢圓便是對應(yīng)Ⅱ中的一對對應(yīng)圖形。由于PV1和O1X1、PW1和O1Y1也是相互成對應(yīng)的直線，因而可求得與k1l1對應(yīng)的K1L1以及與c1點對應(yīng)的C1點，C1點即為截交線橢圓的中心。K1L1與圓柱軸測輪廓線的交點A1、B1便是與a1、b1對應(yīng)的點，因而也就是截交線橢圓與軸測輪廓線的切點[5]。

由此可見，圓柱底橢圓（中心為c1）與其實形圓（中心為C0）成對應(yīng)Ⅰ，又與截交線橢圓（中心為C1）成對應(yīng)Ⅱ，這兩個對應(yīng)具有公共的對應(yīng)方向，因而截交線橢圓與實形圓之間也成透視仿射對應(yīng)（稱為對應(yīng)Ⅲ），PZ1和O0、C1和C0均為相對應(yīng)的對應(yīng)點，PV1和O0X0、PW1和O0Y0為對應(yīng)直線，它們的交點為M、N點，MN即為對應(yīng)Ⅲ的對應(yīng)軸。以上三個對應(yīng)的對應(yīng)軸應(yīng)具有公共點J。作C1C0的中垂線，找出對應(yīng)Ⅲ的主方向，從而求出截交線橢圓的長軸D1E1和短軸F1G1，最終作出截交線橢圓的軸測投影。

4 結(jié) 語

由于透視仿射對應(yīng)是平行投影下的兩場之間的變換，其基本理論和性質(zhì)比較簡單，而且投影方向不受垂直的限制[6]，可以根據(jù)需要靈活確定。因此，對于求作截交線、截交線實形和圓的斜軸測投影等問題比較簡潔、準確，是一種行之有效的的方法。

[1]張桂梅.徐臨洪.曾接賢.基于透視仿射變換研究畫法幾何中的截交線問題[J].南昌航空工業(yè)學(xué)院報，2003，第2期:68-70.

[2]朱輝.曹桄.張士良.高等畫法幾何學(xué)[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1985:1-495.

[3]鄭國權(quán).道路工程制圖[M].北京：人民交通出版社，2002:1-366.

[4]戴志國.應(yīng)用仿射變換求二次曲面交線特殊位置點的探討[J].大連輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，1995，14（2）:28-31.