定積分在經(jīng)濟學中的應用

吳湘云

(麗江師范高等?？茖W校數(shù)學與計算機科學系,云南麗江 674100)

定積分在經(jīng)濟學中的應用

吳湘云

(麗江師范高等?？茖W校數(shù)學與計算機科學系,云南麗江 674100)

定積分是高等數(shù)學或微積分課程的核心內(nèi)容，在幾何學、物理學、經(jīng)濟學中中有廣泛應用，因此成為考研數(shù)學熱點和重點內(nèi)容。鑒于教科書中對定積分在幾何學、物理學中應用講解較多，本文著重舉例說明定積分在經(jīng)濟學的應用。

定積分 總成本 總收益

定積分是高等數(shù)學或微積分課程的核心內(nèi)容，在幾何學中有廣泛應用，如平面圖形的面積、體積、平面曲線的弧長[1]；在物理學中也有廣泛應用，如功、水壓力和引力[1]；在平均值中有重要應用，如函數(shù)平均值和均方根[1]。其實定積分在經(jīng)濟學中也有廣泛應用，鑒于教科書中對定積分在幾何學、物理學中應用講解較多，本文著重舉例說明定積分在經(jīng)濟學中的應用。希望對經(jīng)濟類大學生的學習和備考有所幫助。

1 定積分的定義及可積的充分條件

1.1 定積分的定義

設函數(shù) f(x)在 ［a, b ］ 上有界，在 ［a, b］ 中任意插入若干個分點把區(qū)間 ［a, b］分成 n個小區(qū)間各個小區(qū)間長度依次為在每個小區(qū)間 ［xi-1,xi］ 上任取一點作函數(shù)值 f(ξi)與小區(qū)間長度 △xi的乘積 f(ξi)△ xi，并作出和記如果不論對 ［a, b］怎樣分發(fā)，也不論在小區(qū)間 ［xi-1,xi］ 上點 ξi怎樣取法，只要當 λ→0時，和 S總趨于確定的極限 I，這時稱這個極限 I為函數(shù) f(x)在區(qū)間［a, b］上的定積分(簡稱積分)，記作即其中 f(x)叫做被積函數(shù)， f(x)dx叫做被積表達式， x叫做積分變量， a叫做積分下限， b叫做積分上限， ［a, b］叫積分區(qū)間[1]。

1.2 函數(shù) f(x)在區(qū)間 ［a, b］ 上可積的充分條件

定理1 設 f(x)在區(qū)間 ［a, b］上連續(xù)，則 f(x)在 ［a, b］上可積[1]。

定理2 設 f(x)在區(qū)間 ［a, b］上有界，且只有有限個間斷點，則 f(x)在 ［a, b］上可積[1]。

2 定積分的簡單經(jīng)濟應用

2.1 已知某經(jīng)濟變量的變化率求該變量

若已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量 Q的變化率是時間 t的連續(xù)函數(shù)，即則從時間 t=t0到時間 t=t1期間，該產(chǎn)品的總產(chǎn)量 Q的增加值為若已知 t=t0時的總產(chǎn)量為 Q0，則總產(chǎn)量函數(shù)

例1:設某產(chǎn)品在時刻 t總產(chǎn)量的變化率為 f( t) = 100+ 12 t -0 0.6t2(單 位/小時) 求從 t=2到 t=4這兩小時的總產(chǎn)量[3]。

例2:（考研數(shù)學3試題）設某產(chǎn)品總產(chǎn)量 Q的變化率為f( t) = 200 + 5t - 0.5t2,求：(1)在 2≤t≤6這段時間中該產(chǎn)品總產(chǎn)量的增加值；(2)總產(chǎn)量函數(shù)[2]。

2.2 已知邊際成本求總成本

若已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為 C0，邊際成本 M C=C′( x)，其中x是該產(chǎn)品的產(chǎn)量，則生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本函數(shù)是

例3設某種商品每天生產(chǎn) x單位時固定成本為20元，邊際成本函數(shù)為 C′( x) = 0.4 x+ 2(元 /單位) ，求總成本函數(shù) C( x)。如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產(chǎn)品全部售出，求總利潤函數(shù) L( x)，每天生產(chǎn)多少單位時才能獲得最大利潤[3]。

解：固定成本為20元，即 C0=20，所以每天生產(chǎn) x單位時總成本函數(shù)為

設銷售 x單位商品得到的總收益為 R( x)，根據(jù)題意有 R( x)= 18x

所以L( x) = R( x ) - C( x ) = 18 x - (0.2 x2+ 2 x + 20) =- 0.2 x2+ 16 x -20

由 L′( x) =-0 .4 x+ 16 = 0得 x=40 ，而 L′(40) =-0 .4 ＜ 0，所以每天生產(chǎn)40單位時才能獲最大利潤。且最大利潤為 L (40) =-0.2× 402++16× 40 -20 = 300(元 )

2.3 已知邊際效益求總收益

若已知銷售某種產(chǎn)品的邊際收益 M R=R′( x)，其中 x是該商品的銷售量，則銷售該商品的總收益函數(shù)是

例4已知生產(chǎn)某商品 x單位時，邊際收益函數(shù)為 R′( x) = 300-(元 /單 位) ，試求生產(chǎn)x單位時總收益 R( x)以及平均單位收益

例5設生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50，產(chǎn)量為 x單位時的邊際成本函數(shù)為 C′( x) = x2- 14 x + 111，邊際收益函數(shù)為 R′( x) = 100 - 2x.求總成本函數(shù)，總收益函數(shù)和總利潤函數(shù)(考研數(shù)學3試題)[2]。

3 結(jié)語

已知某經(jīng)濟變量的變化率求該變量，已知邊際成本求總成本，以及已知邊際效益求總收益等問題是定積分用于經(jīng)濟方面最常見的典型問題，是經(jīng)濟類考研數(shù)學的重點內(nèi)容如(例2、例5)，應當引起重視，其實只需深刻理解定積分概念及可積充分條件，弄清題意，就可以順利解決此類問題。

[1]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學上冊(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2001：337-342, 344-349, 351-355,357-362,364-367,277-279.

[2]劉西垣,李永樂,袁蔭棠.2012年數(shù)學復習全書(考研數(shù)學三 經(jīng)濟類)[M].北京:國家行政學院出版社,2011:145.

[3]趙樹嫄.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎(一)微積分(修訂本)[M].北京:高等教育出版社,2003:252-253.