多項式擬合模型在GPS水準測量中的應用

王 強，崔希民，張恒璟，杜俊秀

（1.中國礦業(yè)大學 地球科學與測繪工程學院，北京100083；2.遼寧工程技術(shù)大學 測繪學院，遼寧 阜新123000）

GPS水準使得大地水準面或高程異常變?yōu)橹苯佑^測量，如果擬合方法求定的大地水準面差距或高程異常有足夠的精度，則GPS水準可在一定范圍內(nèi)代替低等級的水準測量。利用GPS觀測得到的大地高，通過高程擬合，計算出所需要的正常高，可以成倍提高測量生產(chǎn)作業(yè)效率，且為通過GPS測量確定大地水準面的研究提供參考［1-2］。

GPS高程曲面擬合的方法有很多，多項式曲面擬合模型廣泛應用在小區(qū)域控制測量中［3］。在擬合模型中，法方程病態(tài)時最小二乘解撓動較大的問題直接影響擬合參數(shù)的求解［4-5］。本文通過實例，對多項式擬合模型進行分析，并討論中心化處理和擬合點位置分布對提高GPS高程擬合精度的影響。用自編GPS高程軟件，比較各次擬合方法的優(yōu)劣，從而探究在實際工程中采用多項式擬合GPS水準代替水準測量的現(xiàn)實性。

1 多項式曲面擬合模型

多項式曲面法擬合似大地水準面的基本原理是將高程異常近似地看作一定區(qū)域內(nèi)各點坐標的曲面函數(shù)，用已聯(lián)測水準的GPS點（也稱為公共點）高程異常擬合這一函數(shù)，求得函數(shù)的擬合系數(shù)，進而確定一定區(qū)域內(nèi)高程異常與點平面坐標的函數(shù)關(guān)系。利用這一函數(shù)計算其他GPS點（也稱為待定點）的高程異常，最后求點的正常高。

多項式擬合方程的一般形式如下［6］：

其中

式中：ξi表示高程異常；a0，a1，a2，…an為擬合系數(shù)；εi為殘差。

式（2）中，如果取未知數(shù)一次項，則稱平面擬合；取所有的二次項，又稱二次多項式擬合；只取二次項中的交叉項，稱為相關(guān)平面擬合；取三次項，稱三次多項式擬合，以此類推。

2 擬合模型精度評定

2.1 內(nèi)符合精度

根據(jù)參與擬合計算已知點的值ξi′與擬合值ξ′i，用Vi＝ξi′-ξ′i求擬合殘差Vi，從而來求擬合內(nèi)符合精度，計算公式為

式中：μ為內(nèi)符合精度；n為參與計算的已知點個數(shù)。

2.2 外符合精度

為了檢查GPS高程異常擬合效果，在設計計算方案時，常會用一部分已知點作為公共點，而將另外一部分已知點作為檢核點參與擬合計算，根據(jù)檢核點的ξi′值與擬合值ξ′i，用式（4）計算外符合精度M，計算公式為

式中n為參于檢核的點數(shù)。

2.3 GPS水準精度評定

1）用GPS水準求出的GPS點間的正常高程差，在己知點間組成附合或閉合高程路線，按計算的閉合差與表1中允許殘差比較，來衡量GPS水準所達到的精度［7］。

表1 水準限差

2）檢核點擬合殘差△H＝H水-H擬。所以由誤差傳播定律可知：

即

由式（6）可得

式中：σ擬代表檢核點高程擬合中誤差；σ水代表水準點的高程中誤差；σΔH代表檢核點的外符合精度。

評定GPS水準所能達到的等級精度主要是由檢核點高程擬合中誤差評定。由式（7）可以看出，檢核點高程擬合中誤差小于檢核點的外符合精度。因此，評定參考的主要依據(jù)就是外符合精度。將外符合精度與限值做比較，就可以評定GPS水準所能達到的等級精度。

3 中心化處理

當法方程系數(shù)矩陣最大值與最小值之比過大時，會造成矩陣主對角線元素不占優(yōu)，法方程系數(shù)矩陣病態(tài)［8］。如果直接把X，Y代入模型，稱為非中心化處理。本文在利用這些實驗數(shù)據(jù)時，為了改善法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，將測區(qū)坐標中心化處理，先求出測區(qū)公共點坐標分量的平均值，將測區(qū)點的平面坐標進行平移，平移的X，Y方向分量為該GPS測區(qū)中心點的X，Y坐標，這個過程叫做中心化。中心化使得數(shù)值計算更為方便，并減少計算精度的損失。設中心點的坐標為其模型為

在實驗中要采用新的ΔX，ΔY坐標進行數(shù)學計算和模型檢驗。

4 算例比較分析

4.1 采用數(shù)據(jù)

本測區(qū)總共13個已知控制點，都是與國家二等水準聯(lián)測的點，水準精度為三等。同時有X，Y、大地高和水準高，點號從G01—G13，測區(qū)的面積約為20km×25km，高程異常在15m左右。如果選取的公共點個數(shù)為N，則檢核點的個數(shù)為（13-N）個。測區(qū)控制點有大地經(jīng)緯度，也有大地坐標所對應的直角坐標，本文只選擇直角坐標，即坐標格式為X，Y進行實驗。

4.2 擬合方案

擬合方案采用完全二次多項式擬合、非完全二次多項式擬合、一次多項式擬合和三次多項式擬合。在測區(qū)選擇的數(shù)據(jù)情況有：第一組在測區(qū)選擇7個公共點參與擬合計算，其余6個點為檢核點；第二組（參與擬合點在測區(qū)外圍進行內(nèi)推）選擇9個公共點參與擬合計算，其余4個點為檢核點；第三組（參與擬合點在測區(qū)內(nèi)部進行外推）選擇9個公共點參與擬合計算，其余4個點為檢核點。以上每一組都分為直接代入X，Y坐標和中心化后代入兩種情況。三次多項式擬合選擇的擬合計算點個數(shù)固定為11個，檢核點個數(shù)為2。（下列各表中“非”代表直接帶入X，Y 坐標，“中”代表對坐標中心化處理；“內(nèi)”代表內(nèi)符合精度，“外”代表外符合精度，單位為mm）

圖1 控制網(wǎng)略圖

第一組控制網(wǎng)的GPS數(shù)據(jù)：G01—G07為公共點，G08—G13為檢核點；

第二組控制網(wǎng)的GPS數(shù)據(jù)：G01—G09為公共點，G10—G13為檢核點；

第三組控制網(wǎng)的 GPS數(shù)據(jù)：G01、G02、G03、G04、G08、G10、G11、G12、G13 為公共 點，G05、G06、G07、G09在擬合區(qū)域外圍，為檢核點；

特別地，針對三次多項式擬合，G01—G11為參與擬合的公共點，G12—G13為檢核點。

4.3 擬合結(jié)果

通過對第一組、第二組和第三組數(shù)據(jù)分別進行中心化和非中心化的完全二次多項式擬合、非完全二次多項式擬合、一次多項式擬合，利用間接平差原理求得擬合模型。

表2～5列出在不同擬合方式下所得到的擬合數(shù)、內(nèi)外符合精度和條件數(shù)。

表2 第一組擬合結(jié)果（7個點）

表3 第二組擬合結(jié)果（9個點內(nèi)推）

表4 第三組擬合結(jié)果 （9個點外推）

可以看出，特別是對于三次多項式擬合，直接代入坐標計算擬合系數(shù)常數(shù)項過大，法方程嚴重病態(tài)，擬合結(jié)果不穩(wěn)定，內(nèi)外符合精度低，法方程條件數(shù)達到1039；中心化處理后，法方程的病態(tài)得到緩解，內(nèi)外符合精度提高，法方程條件數(shù)只有1013。

表5 三次多項式擬合結(jié)果（11個擬合點）

4.4 擬合結(jié)果比較分析

1）由表2～5數(shù)據(jù)分析可知，對于一次、不完全二次，中心化后的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果與直接代入坐標擬合精度差不多。但是對于完全二次和三次多項式，中心化后的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果都比直接代入的精度高，模型可靠。特別是三次多項式擬合，中心化后可以顯著改善法方程的病態(tài)性，使結(jié)果穩(wěn)定，提高精度。

2）由前三組數(shù)據(jù)分析可知，內(nèi)外符合精度沒有必然的聯(lián)系。內(nèi)符合精度反映的是擬合模型的擬合精度，外符合精度反映的是轉(zhuǎn)換參數(shù)的有效性。內(nèi)符合精度高，不一定外符合精度就高，反之亦然。

3）由前三組數(shù)據(jù)分析可知，對于本測區(qū)而言，在坐標代入方式和選擇公共擬合點個數(shù)相同的情況下，完全二次多項式擬合的精度最高，一次多項式次之，不完全二次多項式精度最低，說明具體的測區(qū)有具體的適合模型。

4）第一組選擇擬合點數(shù)為7個，第二組選擇擬合點數(shù)為9個。由一、二組數(shù)據(jù)結(jié)果分析可知，在基準擬合點分布大概相同的情況下，選擇的基準擬合點數(shù)越多，擬合的模型內(nèi)外符合精度越高。

5）第二組和第三組選擇的基準擬合點的個數(shù)相同，但是基準擬合點的分布不一樣。第二組選擇的點位于測區(qū)的邊緣和內(nèi)部，實行的是內(nèi)推；第三組選擇的基準擬合點位于集中的一個區(qū)域，實行的是外推。第二組內(nèi)符合精度稍微高于第三組，外符合精度明顯優(yōu)于第三組。由此分析可知，內(nèi)推模型明顯優(yōu)于外推模型。

6）三次與完全二次擬合相比較，擬合的次數(shù)和參數(shù)個數(shù)變多，但是內(nèi)外符合精度并沒有提高。由此分析可知，多項式擬合中，并不是擬合次數(shù)越高越好。

由上述結(jié)果可知，對于本測區(qū)而言，最合適的多項式擬合模型是基準公共點均勻分布在測區(qū)外圍和內(nèi)部、具有適量多的公共點數(shù)、中心化后的完全二次多項式擬合模型。其外符合精度在11mm左右，經(jīng)計算，能夠達到四等水準測量的精度。

5 結(jié)束語

GPS擬合高程精度在地形復雜地區(qū)，由于大地水準面相對不規(guī)則，需要選取合適的函數(shù)模型構(gòu)造大地水準面模型來接近真實的大地水準面，這樣擬合的結(jié)果會較好，擬合高程精度將會提高。從本文討論中可知：

1）對于同類地形復雜情況，在GPS水準擬合過程中，擬合模型一旦選定，擬合精度的高低還取決于基準點的個數(shù)、選取及分布。選取的基準點個數(shù)應該盡可能的多；選取的基準點應均勻分布在測區(qū)四周和中央（可以盡量避免外推），并反映出該測區(qū)真實地形，則經(jīng)過內(nèi)插所獲得的各點的擬合高程精度將進一步提高。

2）在多項式擬合中，盡量對坐標進行中心化處理，以得到更優(yōu)的效果。

3）不同的區(qū)域選用不同的擬合方法精度會不一樣，所以應該根據(jù)實際情況，選擇不同的擬合方法。對于本區(qū)域的情況，可以用二次多項式擬合模型代替四等水準測量。

［1］鄧罡.GPS高程擬合代替水準測量研究［D］.長沙：中南大學，2012.

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