數(shù)學(xué)：理性精神的熏陶

房元霞　宋寶和

摘 要：教學(xué)永遠(yuǎn)具有教育性，數(shù)學(xué)教育是以數(shù)學(xué)來(lái)育人的，數(shù)學(xué)教學(xué)滲透德育是科學(xué)性和思想性相統(tǒng)一的教學(xué)原則的要求。高中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透德育首先要充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的德育內(nèi)涵；其次要精心提煉數(shù)學(xué)知識(shí)的德育意義；還要適時(shí)升華數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)蘊(yùn)的德育價(jià)值，使德育與智育融合。

關(guān) 鍵 詞：高中數(shù)學(xué)；德育；教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：房元霞，山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，教授；宋寶和，山東省教育招生考試院，研究員

學(xué)科教學(xué)滲透德育，學(xué)生容易認(rèn)同，有潤(rùn)物無(wú)聲潛移默化的教育效果，是思想政治課程重要的輔助和補(bǔ)充。數(shù)學(xué)課程課時(shí)多，師生交往頻繁，有時(shí)間優(yōu)勢(shì)。結(jié)合數(shù)學(xué)的特點(diǎn)滲透社會(huì)主義核心價(jià)值觀(guān)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的德育價(jià)值，對(duì)于養(yǎng)成中學(xué)生良好的思想品德，提高教學(xué)質(zhì)量具有重要的作用。

一、充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的德育內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具。由于人類(lèi)社會(huì)和自然界的各種事物和現(xiàn)象都有量的規(guī)定，都有存在形式及其與外界的普遍聯(lián)系，因此，當(dāng)數(shù)學(xué)將這一切作為對(duì)象加以抽象，然后再返回到教育過(guò)程中去的時(shí)候，無(wú)論是內(nèi)容還是方法，都會(huì)涉及社會(huì)生活各個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教師要做有心人，要善于發(fā)掘、捕捉數(shù)學(xué)知識(shí)中的德育內(nèi)涵，進(jìn)而結(jié)合實(shí)際適時(shí)滲透。

例如，為了歸納等比數(shù)列，教材選擇了等比數(shù)列的例子：一種計(jì)算機(jī)病毒可以查找計(jì)算機(jī)中的地址簿，通過(guò)郵件進(jìn)行傳播。如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱(chēng)為第一輪，郵件接受者發(fā)送病毒稱(chēng)為第二輪，以此類(lèi)推。假設(shè)每一輪每一臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)計(jì)算機(jī)，那么在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是：1，20，202，203，…可以看出：由于這個(gè)等比數(shù)列中公比較大，所以病毒的傳播速度是很快的，學(xué)生容易認(rèn)同。而對(duì)于公比不這么大時(shí)，學(xué)生的看法就不盡相同了?？梢詠?lái)做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，取一張普通的紙（通常厚度約為0.1 mm），將其對(duì)折，再對(duì)折，此時(shí)紙仍不到0.5 mm；若對(duì)折10次，紙會(huì)多厚？再對(duì)折100次，又有多厚？大多數(shù)同學(xué)會(huì)估計(jì)，即使經(jīng)過(guò)100次對(duì)折，紙的厚度也不會(huì)厚于1 m。而事實(shí)上，經(jīng)過(guò)42次對(duì)折紙的厚度已達(dá)到43.98萬(wàn) km，從地球到月亮（38.44萬(wàn) km）還有富余。由此可以想象即使是一傳倆，病毒的傳播速度也是非常驚人的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的想象。這個(gè)例子就是要我們相信科學(xué)，要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)理性的思考遇到的問(wèn)題，不要輕信謠言，更不能傳播謠言，不能隨便受人蠱惑。

再舉一個(gè)例子，現(xiàn)在存入銀行1萬(wàn)元，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末得到的本利和分別是：10 198，10 399.92，10 605.83，10 815.83，11 029.99。[1]將問(wèn)題做一般化處理，設(shè)本金為p元，年利率為r，如果以年為單位計(jì)算復(fù)利，那么，t年以后資金總額是p（1+r）t元。[1]如果以月為單位計(jì)算利息，則月利率為r/12，t年后資金總額是p（1+r/12）12t元；如果以天為單位計(jì)算復(fù)利，則t年后資金總額是p（1+r/365）365t元。一般地，如果以1/n年為單位計(jì)算復(fù)利，那么t年后資金總額是p（1+r/n）nt元。如果每時(shí)每刻計(jì)算復(fù)利（連續(xù)復(fù)利），那么，t年后資金總額是pert元。假設(shè)年利率按1%計(jì)算，本金69年多翻一番，若按4%計(jì)算，則17年多翻一番，利率提高到原來(lái)的幾倍，翻番的時(shí)間縮短為原來(lái)的幾分之一。所以，國(guó)家法律規(guī)定民間的資金借貸活動(dòng)不能連續(xù)計(jì)息，利率也“最高不得超過(guò)銀行同類(lèi)貸款利率的四倍”，否則不受法律保護(hù)。這個(gè)模型不僅可以分析投資與收益，人口問(wèn)題、生物種群的消長(zhǎng)問(wèn)題、放射性物質(zhì)的衰變問(wèn)題等都適用。譬如，我國(guó)大陸人口2012年約為13.4億，自然增長(zhǎng)率若按2005年的5.89‰計(jì)算，每年的凈增人口約為791.6萬(wàn)，如再增長(zhǎng)一個(gè)千分點(diǎn)，則多增加約135萬(wàn)人。所以我們國(guó)家從上世紀(jì)七十年代就實(shí)行計(jì)劃生育政策，提倡晚婚晚育，優(yōu)生優(yōu)育，這的確是富民強(qiáng)國(guó)的明智之舉。

二、精心提煉數(shù)學(xué)知識(shí)的德育意義

“科學(xué)技術(shù)作為人類(lèi)文化的組成部分，它對(duì)于社會(huì)的意義，不僅存在于物質(zhì)的范疇，而且存在于精神的范疇?！盵1]高中數(shù)學(xué)課程突出了數(shù)學(xué)技術(shù)實(shí)用性、計(jì)算性等工具性、技術(shù)性的一面，但數(shù)學(xué)又是一種文化，數(shù)學(xué)思想是凝聚著人類(lèi)高度理性的精神財(cái)富。我們探討中學(xué)數(shù)學(xué)課程在教育中的德育意義，就應(yīng)精心提煉其內(nèi)蘊(yùn)的文化價(jià)值，探討由數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的科學(xué)規(guī)定性產(chǎn)生的精神力量和意志品質(zhì)，進(jìn)行理想、信念和態(tài)度教育。

在函數(shù)的圖像中，縱軸的箭頭指向高中學(xué)習(xí)的總目標(biāo)：努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，提升自己的能力，將來(lái)做一個(gè)對(duì)國(guó)家、對(duì)社會(huì)有用的人；縱軸上一個(gè)個(gè)標(biāo)記單位的正整數(shù)就是我們努力的階段性目標(biāo)。指數(shù)函數(shù)y=ax（a>1）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，圖像指向右上方，提醒我們堅(jiān)持不懈的努力，每天朝著目標(biāo)邁出一小步，那么我們將實(shí)現(xiàn)近期目標(biāo)且逐步實(shí)現(xiàn)人生目標(biāo)。對(duì)數(shù)函數(shù)x=logaN（a>1）的值域是（-∞，+∞），啟示我們不要怕起點(diǎn)低，只要能夠意識(shí)到自己的不足，肯勤奮努力，刻苦學(xué)習(xí)，終究會(huì)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。冪函數(shù)y=xα（0<α<1）隨自變量x的增大，函數(shù)變化盡管緩慢，但值域一樣是[0，+∞），使我們明白水滴石穿、繩鋸木斷，日積月累，事情終究會(huì)發(fā)生質(zhì)的改變，學(xué)業(yè)是這樣，做人更是如此，不以善小而不為，不以惡小而為之。正弦函數(shù)y=sinx，x∈（-∞，+∞）是以2π為周期進(jìn)行周期性的波動(dòng)，使我們看到不論學(xué)習(xí)還是做什么事情，如果是“三天打魚(yú)，兩天曬網(wǎng)”，搖擺不定，不能持之以恒、堅(jiān)持不懈，終究會(huì)一事無(wú)成。雖然冪函數(shù)y=xα（α>0）的圖像在（0，+∞）上單調(diào)遞增，但是不同類(lèi)的冪函數(shù)上升的速度還是差距較大，隨著自變量取值逐漸增大，當(dāng)α>1時(shí)位于直線(xiàn)y=x的上方，上升較快，當(dāng)α<1時(shí)位于直線(xiàn)y=x的下方，上升較慢，所以無(wú)論學(xué)習(xí)還是做事要善于總結(jié)適合自己的方法，方法對(duì)頭了，才能事半功倍。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性據(jù)α的取值不同而有較大差異，當(dāng)α>1時(shí)，是相應(yīng)區(qū)間上的增函數(shù)，當(dāng)0<α<1時(shí)是減函數(shù)。使我們認(rèn)識(shí)到，“近朱者赤，近墨者黑”，要向好的榜樣學(xué)習(xí)，見(jiàn)賢思齊，耳濡目染，不經(jīng)意間脫胎換骨。兩類(lèi)函數(shù)的圖像也警示我們，如果人生偏離了正確的方向，很快就會(huì)滑落深淵，所以要在日常的生活和學(xué)習(xí)中養(yǎng)成良好的品質(zhì)和習(xí)慣，遵紀(jì)守法，嚴(yán)于律己，不好逸惡勞，自覺(jué)抵制社會(huì)不良思潮的誘惑。

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的里程碑，它的發(fā)展不僅為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法，更使得數(shù)學(xué)理性極度升華，是培養(yǎng)學(xué)生理性思維品格和進(jìn)行數(shù)學(xué)審美好素材。這里以計(jì)算曲邊梯形的面積為例。矩形的高是不變的，因此，矩形面積=底×高。而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f（x）在[a，b]上是變化的，故曲邊梯形的面積不能用這個(gè)公式來(lái)求，否則誤差太大。由于曲邊梯形的高f（x）在[a，b]上也是連續(xù)變化的，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，在很小的一段區(qū)間上它的變化很小，可以近似地看成不變。因此，如果把[a，b]劃分為許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來(lái)近似代替這個(gè)小區(qū)間上窄的曲邊梯形的變高，用窄矩形的面積代替窄曲邊梯形的面積，用階梯形的面積代替曲邊梯形的面積，誤差就小了。但畢竟有誤差，不是精確值。如果讓每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0，這時(shí)階梯形趨于曲邊梯形，各個(gè)窄的矩形的面積和作為曲邊梯形的面積的誤差趨于0，窄矩形面積之和（階梯形的面積）的極限自然定義為曲邊梯形的面積。解決曲邊梯形面積問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想多么自然質(zhì)樸，多么平和入理，毫無(wú)抽象、神秘之感。數(shù)學(xué)思維多么簡(jiǎn)約精確，多么深刻透徹，多么嚴(yán)謹(jǐn)、周密、富有理性，毫無(wú)臆造、粗糙之嫌。數(shù)學(xué)是真、善、美的化身，它在解決問(wèn)題的過(guò)程中一步步將人的思維引向深刻，在很大程度上使人脫離世風(fēng)浮躁的沖擊。

三、適時(shí)升華數(shù)學(xué)知識(shí)的德育價(jià)值

每一門(mén)科學(xué)都有自己的追求、規(guī)范、方法和價(jià)值判斷，這些科學(xué)規(guī)范對(duì)于學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的人們常常具有很強(qiáng)的約束力。數(shù)學(xué)科學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)也有自己的品性與風(fēng)格，這些品性和風(fēng)格始終要求人們不能違背數(shù)學(xué)的科學(xué)規(guī)范。教師在將知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為教育形態(tài)的加工過(guò)程中，要把自己對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)范的認(rèn)識(shí)和理解貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)升華數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)蘊(yùn)的德育價(jià)值。

以閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)曲線(xiàn)為例，彎彎曲曲、高高低低、綿延伸展，在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值。但是，極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值，極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小，極值僅是函數(shù)的局部性質(zhì)并非整體性質(zhì)，因而只能說(shuō)明這個(gè)局部，不能說(shuō)明別的局部，當(dāng)然更不能以偏概全代替整體。它暗示我們，如果自己的學(xué)習(xí)成績(jī)或某方面是個(gè)極大值，也不要因此而驕傲或瞧不起別的同學(xué)，要把眼光放長(zhǎng)遠(yuǎn)一些，不要只局限于自己班級(jí)的情況，山外青山天外天，走在前面的人多的是。再者有了高原的鋪墊，山峰才能海拔更高，同學(xué)們要團(tuán)結(jié)協(xié)作，形成一個(gè)積極向上的團(tuán)體，促使高的更高，強(qiáng)的更強(qiáng)。如果自己的學(xué)習(xí)成績(jī)或某方面是個(gè)極小值也不要灰心，只要肯努力，走過(guò)“柳暗”就會(huì)迎來(lái)“花明”。人生的路又何嘗不是如此，有時(shí)平坦一帆風(fēng)順，有時(shí)崎嶇步履艱難，因此，我們要始終保持冷靜的頭腦和積極向上、樂(lè)觀(guān)豁達(dá)的人生態(tài)度，順風(fēng)順?biāo)臅r(shí)候，我們一日千里，突飛猛進(jìn)，遇到挫折時(shí)，也不灰心、不自棄，勇敢地面對(duì)成功與失敗的挑戰(zhàn)。

數(shù)學(xué)學(xué)科的相繼性較強(qiáng)，知識(shí)之間聯(lián)系密切。所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一方面需要及時(shí)整合已學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法創(chuàng)造新的知識(shí)和方法；另一方面，每學(xué)過(guò)一種新方法都要反思能否更好地解決以前學(xué)習(xí)中曾經(jīng)遇到過(guò)的問(wèn)題。例如，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，為了求得瞬時(shí)變化率，先給自變量以增量，相應(yīng)的有函數(shù)的增量，便得到函數(shù)在這點(diǎn)的平均變化率，它是自變量增量的函數(shù)，自變量的增量趨于0，平均變化率的極限成為函數(shù)在這點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。函數(shù)的增量、率等都是舊概念，作平均變化率，將其視為自變量的增量的函數(shù)，再在自變量的增量趨于0時(shí)取極限就創(chuàng)造出新概念和方法——瞬時(shí)變化率。如果用形來(lái)表示，平均變化率是曲線(xiàn)在某點(diǎn)的割線(xiàn)的斜率，瞬時(shí)變化率是曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，在該點(diǎn)的割線(xiàn)的極限位置是在該點(diǎn)切線(xiàn)。如果|Δx|很小，則|Δy-f'（x）Δx|比|Δx|小得多，因此在該點(diǎn)的鄰近，可以用切線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)段，將非線(xiàn)性函數(shù)局部線(xiàn)性化。在工程問(wèn)題中，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)的計(jì)算我們可以用近似公式來(lái)代替。這就提示我們，創(chuàng)新并不是什么高不可攀的，只要我們有扎實(shí)的基礎(chǔ)，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)思考，肯鉆研，勇于創(chuàng)新、敢于創(chuàng)新一定可以做出好的成績(jī)。再如函數(shù)單調(diào)性的判斷方法比較豐富，我們可以先畫(huà)出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性；也可以根據(jù)定義用作差比較法來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性；學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性就更便捷。正是東方不亮西方亮，水路不通旱路通，條條大路通羅馬。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題或生活中的問(wèn)題，不能急功近利，要有良好的心理素質(zhì)、思維品質(zhì)，要注意積累，經(jīng)常反思，集思廣益，終究會(huì)將問(wèn)題圓滿(mǎn)解決。

習(xí)慣的養(yǎng)成，品德的提高，往往不在于別人的說(shuō)教，而在于自身的感悟與體驗(yàn)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透德育，我們不能奢望其能塑造學(xué)生完善的人格，但我們期望其能針對(duì)學(xué)生的思想實(shí)際，使智育和德育做到真正的融合，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)理性精神的熏陶，當(dāng)其在心性與思維受到碎片化信息的迷惑和干擾時(shí)，能保持必要的平衡，擁有矯正的張力。

參考文獻(xiàn)：

[1]何伯鏞.大哉，數(shù)學(xué)之為德[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996（2）：10-14.

責(zé)任編輯/楊艷利