質(zhì)疑與追問 增強(qiáng)學(xué)生思維的縝密性

朱耀峰

教學(xué)內(nèi)容：“分類計數(shù)”問題（適合“長方體和正方體”單元結(jié)束時使用）。

教學(xué)目標(biāo)：通過活動，幫助學(xué)生積累由特殊到一般、尋找規(guī)律解決問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)奧秘的興趣；掌握分類計數(shù)的方法以解決相關(guān)問題。

教學(xué)設(shè)想：借助課件直觀，將學(xué)生的探究活動不斷引向深入，通過不完全歸納引導(dǎo)學(xué)生把握問題的共性進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得一般性結(jié)論；教學(xué)中要盡可能地讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表述規(guī)律，教師只能在學(xué)生確有困難時給予適當(dāng)指引；通過窮盡列舉完善分類，讓學(xué)生養(yǎng)成及時驗證結(jié)論的學(xué)習(xí)習(xí)慣；通過質(zhì)疑與追問，提升學(xué)生思維品質(zhì)的嚴(yán)密性。

教學(xué)過程：

一、談話導(dǎo)入

課前，我們通過魔方認(rèn)知了三面涂色、兩面涂色、一面涂色的相關(guān)情況，誰能說說在魔方中三面涂色、兩面涂色、一面涂色的部件分別處在魔方的什么位置？能不能通過旋轉(zhuǎn)把魔方中三面涂色的部分移到兩面涂色或一面涂色的位置？（不能。）看來三面涂色、兩面涂色、一面涂色的位置是確定的。

今天，我們就來一起探究跟表面涂色有關(guān)的計數(shù)問題。板書：“分類計數(shù)”。課件出示：

把一個六面都涂上顏色的正方體木塊，切成64個大小相同的小正方體（如圖）。

（1）三面涂色的小正方體有多少個？

（2）兩面涂色的小正方體有多少個？

（3）一面涂色的小正方體有多少個？

設(shè)計意圖：沒有先研究棱長為3的正方體再研究棱長為4的正方體，主要出發(fā)點(diǎn)是棱長為3的正方體比較特殊，兩面涂色的每條棱上只有1個，一面涂色的每個面上只有1個，六面都沒涂色的也只有1個，不具有一般性；而棱長為4的正方體更具一般性，便于探究規(guī)律。

二、引導(dǎo)探究

1.棱長為4的正方體

（1）三面涂色的小正方體有多少個？

啟發(fā)：處在什么位置上的小正方體才會是三面被涂色的？其中有幾個是能看到的？而不能看到的又有幾個？說說不能看到的那些小正方體在什么位置？（課件變色能看到7個頂點(diǎn)上的小正方體。）再閉上眼睛想一想：三面涂色的小正方體在什么位置？有幾個？記住它們所在的位置。

（2）兩面涂色的小正方體有多少個？

啟發(fā)引導(dǎo)（與三面涂色基本同，略），思考：這個數(shù)據(jù)該通過怎樣的計算獲得？（課件變色能看到的9條棱上的每條棱上2個小正方體。）引導(dǎo)學(xué)生得出2×12=24。

（3）一面涂色的小正方體有多少個？

啟發(fā)引導(dǎo)（與三面涂色基本同，略），思考：這個數(shù)據(jù)該通過怎樣的計算獲得？（課件變色能看到的3個面上的每個面上的4個小正方體。）引導(dǎo)學(xué)生得出2×12=24。

（4）追問：六個面都沒有涂色的小正方體有多少個？

啟發(fā)：這樣的小正方體處在什么位置？它的個數(shù)該如何計算？（引導(dǎo)學(xué)生想象：將大正方體剝?nèi)ヒ粚悠?，得到的該是什么情況？）引導(dǎo)學(xué)生得出：六個面都沒有涂色的小正方體在大正方體的中間，而非表面。有兩種算法：64-8-24-24=8（個）或2×2×2=8（個），這兩種方法可以相互印證。

（5）操作教具（驗證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)）。

①將處在頂層的4個頂點(diǎn)上的4個小正方體從教具中取下，讓學(xué)生見證“三面涂色”。

②將處在非底層的8條棱上的16個小正方體取下，讓學(xué)生明確計算方法、見證“兩面涂色”。同時追問學(xué)生：還有兩面涂色的小正方體在哪里？

③取出其中5個一面涂色的小正方體，讓學(xué)生明確計算方法、見證“一面涂色”。

④呈現(xiàn)“六個面都沒涂色”的小正方體（由8個小正方體組成的棱長為2的正方體）。

⑤將最底層的小正方體按類歸位，驗證計數(shù)的結(jié)果及計算方法。

（6）填表。

將正方體的棱長、各種正方體的個數(shù)及計算方法填入活動記錄表中。并引發(fā)思考：計算所需的數(shù)據(jù)與原正方體的棱長有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確表達(dá)出不能看到的三面涂色、兩面涂色、一面涂色及六個面都沒有涂色的小正方體的位置，是想通過學(xué)生的準(zhǔn)確表達(dá)從而在頭腦中建立表象。再閉上眼睛想一想，再次建立初步的表象。計算方法的探究主要是為找到通式的規(guī)律作鋪墊，實(shí)物教具的操作更是為了讓學(xué)生在頭腦中建立清晰的表象?；顒佑涗洷淼奶顚?，主要是通過比較與歸納，從而找到此類問題的規(guī)律，獲取解決問題的一般方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

2.棱長為3的正方體

學(xué)生自主完成，將探究結(jié)果填在活動記錄表中。完成后指名匯報交流。

3.棱長分別為5、6、10的正方體

學(xué)生自主完成，將探究結(jié)果填在活動記錄表中。

小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

投影呈現(xiàn)學(xué)生的活動記錄表。

通過課件形象呈現(xiàn)，印證學(xué)生的結(jié)論。

引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色問題的一般規(guī)律。

設(shè)計意圖：將棱長為4的正方體作為重點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，棱長為3、5、6、10的正方體用于進(jìn)一步強(qiáng)化認(rèn)識及新建立的概念，通過比較歸納發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色的一般規(guī)律。課件呈現(xiàn)主要是為了讓學(xué)生頭腦中的概念表象更清晰。

4.棱長為a的正方體木塊

讓學(xué)生通過小組合作，在觀察分析前面5種正方體表面涂色的相關(guān)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論：三面涂色：8個；兩面涂色：（a-2）×12（個）；一面涂色：（a-2）2×6（個）；六個面都沒涂色的：（a-2）3（個）。完成活動記錄表。

設(shè)計意圖：將探究的內(nèi)容由有具體長度的正方體推進(jìn)到用字母表示的抽象的正方體，也將剛剛獲得的有關(guān)正方體表面涂色的新認(rèn)知由特殊推向一般，發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出結(jié)論，豐富和積累了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的經(jīng)驗。

5.長7、寬5、高4的長方體endprint

課件呈現(xiàn)：將一個長為7厘米、寬為5厘米、高為4厘米的長方體木塊表面涂色后切成棱長為1厘米的小正方體，結(jié)果會怎樣？

在學(xué)生充分自主探究的基礎(chǔ)上小組合作完成，將探究結(jié)果填在活動記錄表中。

在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，通過實(shí)物教具的操作形象化展示與印證學(xué)生的探究結(jié)果。

設(shè)計意圖：將探究的內(nèi)容由正方體推進(jìn)到長方體，進(jìn)一步地將剛剛獲得并得到強(qiáng)化的認(rèn)知由特殊再次推向一般。不僅豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的經(jīng)驗，更能讓學(xué)生體會到長、正方體之間的密切關(guān)系。而圓柱、圓錐、棱錐、棱臺、圓臺等立體實(shí)物都不具備這樣的特征。實(shí)物教具的操作，驗證學(xué)生的結(jié)論、方法，進(jìn)一步建立表象形成認(rèn)知。

6.由特殊到一般（課件出示）

一個長方體木塊，長a、寬b、高c（a、b、c都為大于或等于2的整數(shù)），把它的表面涂上紅色后，再將其分割成邊長為1的小正方體。（1）三面涂色的小正方體有多少個？（2）兩面涂色的小正方體有多少個？（3）一面涂色的小正方體有多少個？（4）六個面都沒涂色的小正方體有多少個？

（引導(dǎo)學(xué)生觀察前面的活動數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)每一個結(jié)果與正方體的棱長或長方體的長寬高之間的關(guān)聯(lián)度。）

設(shè)計意圖：將探究的內(nèi)容由正方體擴(kuò)展到長方體、再由具體數(shù)據(jù)推向抽象的字母，使所探究的內(nèi)容進(jìn)一步貼近知識本質(zhì)和概念的內(nèi)涵，豐滿學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和認(rèn)識經(jīng)驗，讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有了系統(tǒng)的建模，從而形成準(zhǔn)確的概念認(rèn)知。

三、質(zhì)疑追問

1.應(yīng)用

一個長為8厘米、寬為6厘米、高為3厘米的長方體木塊，將其表面涂成紅色后再分割成棱長為1厘米的小正方體。提出問題并解答，并將結(jié)果填在活動記錄表中。

設(shè)計意圖：從給圖形到不給圖形，全憑學(xué)生在頭腦中構(gòu)圖，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

2.質(zhì)疑

（1）為什么此前一題中“a、b、c都為大于或等于2的整數(shù)”？

（2）分割成的小正方體會不會出現(xiàn)有4個面涂色的？

3.追問

如果是將長方體表面涂色再切成小正方體，會不會出現(xiàn)4個面涂色的小正方體呢？（引發(fā)學(xué)生的討論、辯論、爭論。）課件出示10×1×1的長方體。

設(shè)計意圖：當(dāng)教學(xué)活動進(jìn)行到獲得一般規(guī)律與結(jié)論時，很多老師往往是組織一些練習(xí)用于鞏固新的認(rèn)知。但對于長方體表面涂色問題還有很多“特殊情況”需要進(jìn)行深度探究。通過質(zhì)疑及追問再次讓學(xué)生的認(rèn)知“從一般到特殊”，甚至是“特殊中的特殊”，居然出現(xiàn)了四面涂色的小正方體，更出現(xiàn)了五面涂色的小正方體。讓學(xué)生見證數(shù)學(xué)的奇妙！似在意料之外，即在意料之中！有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的縝密性。

四、深度探究

將下列長方體表面涂色后再切割成棱長為1的小正方體，得到的小正方體中：（1）三面涂色的小正方體有多少個？（2）兩面涂色的小正方體有多少個？（3）一面涂色的小正方體有多少個？六個面都沒涂色的小正方體有多少個？

1.4×3×2 2.3×2×2

3.2×2×2 4.3×2×1

5.2×2×1 6.2×1×1

7.3×1×1 8.4×3×1

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)是在學(xué)生獲得有關(guān)長、正方體表面涂色問題的一般認(rèn)知的基礎(chǔ)上，通過“窮盡”的列舉，將長、正方體表面涂色問題不斷引向深入，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知體系更豐滿、更繁茂，認(rèn)知領(lǐng)域的“知識樹”根基更穩(wěn)固，將探究發(fā)現(xiàn)的“一般規(guī)律”靈活運(yùn)用，做到“具體問題具體分析”。

本節(jié)課的教學(xué)，先是在正方體體系內(nèi)由一般到特殊，由具體到抽象，讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)正方體表面涂色問題的一般規(guī)律。然后由正方體表面涂色這一特殊情況推向長方體表面涂色的一般情況，讓學(xué)生將有關(guān)正方體表面涂色的認(rèn)識遷移到長方體表面涂色的認(rèn)知中，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的飛躍，再將具體的長方體推向抽象的用字母表示長寬高的長方體，引導(dǎo)學(xué)生得出有關(guān)長方體表面涂色問題的一般規(guī)律。在似乎“萬事大吉”的情況下，又進(jìn)行了深度探究，不僅實(shí)現(xiàn)了“從一般到特殊”，更完成了“從特殊到特殊”。讓學(xué)生一次又一次地深陷探究的“漩渦”中，在一次又一次的“看到彼岸”的欣喜中，不斷收獲“柳暗花明”，練就縝密的思維。endprint