自動導引車骨架結構優(yōu)化設計

吳 斌 錢曉明 武 星 沈 科

南京航空航天大學，南京，210016

0 引言

隨著物流自動化技術的迅速發(fā)展，自動導引車（automated guided vehicle，AGV）作為一種重要的物流自動化裝備已獲得了廣泛應用。然而目前AGV的幾何尺寸普遍較大，車體較重，導致AGV搬運貨物時用來克服自身質量產(chǎn)生的阻力而消耗的能源過多，縮短了電池的工作時間。因此，對AGV車身骨架進行結構優(yōu)化，減小AGV的自重系數(shù)（即車輛自重與標記載重的比值），實現(xiàn)等強度、輕量化的設計目標具有重要意義。

AGV骨架結構優(yōu)化是一種連續(xù)體拓撲優(yōu)化，連續(xù)體拓撲優(yōu)化本質上是一種0－1離散變量的整數(shù)優(yōu)化問題［1］，均勻化方法、變密度法和水平集方法是三種常用的建模方法［2－4］。優(yōu)化準則法是連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計常用的求解方法［5］，對于求解有大量設計變量和單約束的優(yōu)化問題，具有很高的優(yōu)化效率［6］。Schmit［7］首先給出了用數(shù)學規(guī)劃方法求解多種載荷情況下彈性結構設計的數(shù)學表達式，之后很多研究者對結構優(yōu)化進行了研究。文獻［6］以柔性機構為研究對象，建立了分布式柔性機構拓撲優(yōu)化設計的多準則優(yōu)化模型，雖然該模型能滿足機械效率的輸出要求，但其數(shù)學模型忽略了材料的剛度約束，應用領域受到限制。文獻［8］運用連桿機構綜合技術研究了集中式柔性機構拓撲優(yōu)化設計的“偽剛體”方法，由于研究對象存在運動副，偽剛體法設計的局部柔性變形存在應力集中現(xiàn)象，部件承受循環(huán)載荷會造成疲勞破壞。文獻［9］研究了客車車身骨架結構的優(yōu)化設計，以承載梁的截面為變量建立目標函數(shù)，雖然該方法實現(xiàn)了減重優(yōu)化，但由于忽略了同一承載梁的不同軸向位置的截面是可變的，故該優(yōu)化方法未能實現(xiàn)最輕量化這一優(yōu)化目標。文獻［10］提出了一種水平集方法，對柔性機構進行形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化，取得了較優(yōu)的設計效果，但在進行優(yōu)化求解的過程中需要設計額外的約束，計算效率偏低。本文以AGV為研究對象，針對目前AGV普遍存在的自重系數(shù)較大的問題，基于力學分析與數(shù)學規(guī)劃，合理分配約束條件加載的位置，優(yōu)化AGV車身骨架的制造工藝，利用變密度法和優(yōu)化準則法確定較優(yōu)的AGV車身骨架的形貌與材料分配，以此建立車身骨架三維模型，在載重為500kg的工況下，利用有限元軟件對該模型進行剛度和強度的仿真分析。

1 車身骨架承載梁優(yōu)化

目前，AGV廠家大多選用鋼材作為制造AGV車身骨架的材料，因此，本文以Q235作為研究對象。AGV運送貨物時受到貨物的壓力產(chǎn)生彎曲形變，所以提高骨架用鋼的彎曲強度是必要的。由于彎曲正應力是控制梁的主要因素，故彎曲正應力的強度條件往往是設計梁的主要依據(jù)［11］。即

式中，σmax為最大彎曲正應力；Mmax為最大彎矩；W為抗彎截面系數(shù)；［σ］為許用應力。

從式（1）可以看出，要提高梁的承載能力應從兩個方面考慮：一方面是采用合理的截面形狀，以增大W 的值；另一方面則是合理安排梁的受力情況，以減小Mmax的值。

1.1 承載梁的截面分析

由式（1）可以看出，梁可能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)W成正比，而使用材料的多少和自重的大小則與截面積A成正比。所以合理的截面形狀應是截面面積A較小，而抗彎截面系數(shù)W較大。由表1可以看出，工字鋼和槽鋼兩種截面更為合理［11］。

表1 幾種截面W和A的比值

根據(jù)自動導引車的結構和制造工藝，選取槽鋼承載載荷。根據(jù)文獻［11］，取安全系數(shù)ns＝2，得許用應力［σ］＝117.5MPa。

1.2 承載梁的靜力分析

本文設計的AGV采用驅動單元潛入牽引式的拖車結構，即將AGV的驅動單元與承載單元分離，驅動單元承受的壓力較小，能夠提供帶動AGV行駛的牽引力即可，承載單元則承受大部分的壓力，潛入牽引式拖車結構如圖1所示。目前，大多數(shù)自動導引車配有承載及裝卸貨物的移載機構，移載機構與貨物的質量由移載機構的底板傳遞到AGV左右兩側的梁上，梁由萬向輪與定向輪支撐，在靜態(tài)載荷下，可將左（右）梁簡化為簡支梁，梁的工況如圖2所示。

以橫坐標x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為x的函數(shù)。梁的剪力方程和彎矩方程分別為

圖1 AGV結構簡圖

圖2 AGV承載梁工況圖

靜態(tài)載荷下，AGV左右側的梁可簡化為圖3a所示的簡支梁，則剪力圖和彎矩圖如圖3b和圖3c所示。

圖3 剪力、彎矩分布圖

根據(jù)式（2）可求出

式中，F(xiàn)RA為定向輪的支持力，N；FRB為萬向輪的支持力，N；q為負載的載荷集度，N／m；a為載荷集度距梁后端的距離，m；b為載荷集度距梁前端的距離，m；l為梁的長度，m；c為后輪距梁后端的距離，m；d為前輪距梁前端的距離，m。

此時，最大彎矩為

兩支座為車輪布置的位置。AGV前輪與后輪間距離越大，其抗俯仰和橫擺的性能越好，行駛越穩(wěn)定，但長軸距在提高直線行駛穩(wěn)定性的同時，導致轉向靈活性下降，轉彎半徑增大，AGV的機動性變差。因此，在穩(wěn)定性和靈活性之間必須做出取舍，找到合適的平衡點。

本文設計的AGV采用驅動單元潛入牽引式的拖車結構，額定載重為500kg。為降低AGV結構的復雜性及減小轉向阻力，優(yōu)化轉向性能，去除兩個萬向輪，將驅動單元向前移動至其中心距車身骨架前端距離為d處，該驅動單元可承載的最大壓力為800N。由于選用的定向輪的額定載重為350kg，兩個定向輪的最大承載質量之和大于AGV滿載時的整車總質量，因此，只研究驅動單元承載的壓力對設計AGV的影響。為使驅動單元能夠驅動AGV且不影響驅動單元的減震功能，F(xiàn)RB應大于400N且小于800N。假定設計梁長為1.2m，綜合考慮AGV的抗俯仰、橫擺的性能以及保證轉向的靈活性，確定邊界條件，根據(jù)式（4）建立目標函數(shù)FRB的數(shù)學模型：

計算得到FRB＝625N，符合要求，此時［a b c d］T＝ ［0 0.5 0.25 0.15］Tm，Mmax＝957N·m。選取熱軋槽鋼20a為梁的加工材料，根據(jù)式（1）有σmax＝5.4MPa，則σmax＜［σ］。所選取的梁及載荷與車輪位置符合設計要求。

2 車身骨架優(yōu)化

2.1 基于變密度法的車身骨架數(shù)學模型

本文采用變密度法，以密度為拓撲設計變量，把優(yōu)化時結構的拓撲優(yōu)化問題轉化為材料的最優(yōu)分布問題，以實現(xiàn)拓撲優(yōu)化理論應用于AGV車身骨架結構設計，在給定的設計空間內(nèi)，經(jīng)過拓撲優(yōu)化分析找到AGV車身骨架的最佳結構分布，在滿足結構剛度要求的條件下，減小結構質量，實現(xiàn)車身骨架結構的輕量化設計。

在拓撲優(yōu)化領域，目前運用較多的密度插值模型有SIMP插值模型［12］和RAMP插值模型。從對中間密度的懲罰效果來看，SIMP插值模型的處理效果比RAMP插值模型略好［13］。SIMP模型主要通過引入懲罰因子，在材料的彈性模量和單元相對密度之間建立起一種顯式的非線性對應關系。當設計變量的值在（0，1）之間時，對中間密度值進行懲罰，使中間密度值向0／1兩端聚集，這樣可以使連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型能很好地逼近0－1離散變量的優(yōu)化模型。插值以后的彈性模量為

其中，p為數(shù)學模型中對中間密度材料的懲罰因子。懲罰因子的作用是當設計變量的值在（0，1）之間時，通過逐漸增加p的值對設計變量的中間值進行懲罰，隨著p值的增大，設計逐漸接近0／1設計。為有效壓縮中間密度材料，一般取p≥2。E0＝1000Emin。xi表示單元i的相對密度。

基于SIMP材料插值模型，以結構體積和材料變形位移為約束條件，以柔順度最?。▌偠茸畲螅槟繕撕瘮?shù)的AGV車身骨架結構拓撲優(yōu)化設計的數(shù)學模型為

式中，x為拓撲變量設計向量；C為柔順度；F為結構節(jié)點載荷矢量；K為整體剛度矩陣；U為結構節(jié)點位移矢量；xi為材料的相對密度；ui為材料單元位移列向量；k0為材料密度為“1”的單元剛度矩陣；vi為材料單元相對體積；f為體積優(yōu)化比例系數(shù)；u＊為位移的上限值；xmin為最小材料單元密度，為防止拓撲值取0時結構剛度矩陣可能出現(xiàn)奇異，通常取xmin為0.01。

2.2 基于優(yōu)化準則法設計變量迭代格式

依據(jù)Kuhn－Tucker最優(yōu)化條件，Lagrange函數(shù)關于設計變量和Lagrange乘子的駐值條件為

式中，n為設計變量個數(shù)。

令Lagrange函數(shù)取值為“0”，可得

基于不動點迭代思想，將式（5）代入SIMP模型可得到最終的優(yōu)化準則：

Lagrange乘子λ1在每一步迭代中均會發(fā)生變動，為了求解簡便，采用二分法進行求解。一次迭代中，為使迭代過程穩(wěn)定，引入移動極限常數(shù)m（0＜m＜1）及阻尼因子ζ（0＜ζ＜1），令

則基于變密度插值模型和優(yōu)化準則法的設計變量的顯式收斂格式為

3 車體骨架結構優(yōu)化求解分析

根據(jù)AGV的設計要求，AGV額定載重為500kg，設計區(qū)域長、寬、高分別為1.2m、0.5m、0.2m，單元類型選擇3D實體，材料選擇Q235，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3，體積比例系數(shù)f＝0.3，懲罰因子p＝3，阻尼因子ζ＝0.8，移動極限m＝0.2，u＊＝0.1mm，劃分正六面體網(wǎng)格，后輪約束自由度2和3，前輪約束自由度3。在優(yōu)化軟件中嵌入優(yōu)化準則法、設計變量、約束以及變量迭代格式，進行拓撲優(yōu)化運算求解。負載及約束如圖4所示，箭頭表示加載的力，三角形表示自由度約束。運算結果如圖5所示。圖5顯示了優(yōu)化后AGV車身骨架材料的密度分布，且在后輪、承載梁上側中點附近及承載梁下側中點至中點前端0.3m處密度最大。

圖4 初始拓撲空間，載荷分布及約束條件

圖5 優(yōu)化求解材料密度分布

根據(jù)拓撲優(yōu)化結果，建立AGV車身骨架模型，利用有限元軟件對車身骨架進行仿真分析，其驗證結果如圖6、圖7所示。圖6顯示車身骨架結構中單元所受的最大Von mises當量應力為8.824MPa，且在后輪位置應力最大。圖7顯示中間橫梁及兩側承載梁下側中點至中點前端0.3m處變形位移最大，且最大變形位移為0.02mm。車身骨架模型應力分布及變形結果與理論分析及圖5所示一致。

日本明電舍設計的車體結構、基于經(jīng)驗設計的車體骨架結構與利用本文優(yōu)化方法設計的安裝移載機構的車體結構如圖8a～圖8c所示，其質量及幾何參數(shù)比較見表2。由表2可知，本文優(yōu)化方法設計的AGV車身骨架幾何尺寸及自重更小，能夠保證優(yōu)異的穩(wěn)定性和靈活性。

圖6 Von mises應力分布

圖7 變形位移分布

圖8 AGV結構比較

表2 明電舍、經(jīng)驗法與優(yōu)化法設計的AGV車體骨架參數(shù)比較

4 結語

本文將力學分析、數(shù)學規(guī)劃與拓撲優(yōu)化相結合的優(yōu)化方法運用于AGV車身骨架結構優(yōu)化，是一次新的嘗試。在力學分析的基礎上，利用數(shù)學規(guī)劃得到AGV車身骨架載荷分配及車輪位置，采用變密度法建立AGV車身骨架拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型，利用優(yōu)化準則法推導出該模型的顯式收斂格式，通過拓撲優(yōu)化仿真得到AGV車體骨架的優(yōu)化模型。仿真分析表明，優(yōu)化結果具有良好的力學性能，達到了等強度、輕量化的設計要求，對AGV車身骨架的設計具有指導作用。

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