自重構(gòu)機(jī)器人變形過(guò)程運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及越障仿真

葛為民 張華瑾 王肖鋒 雷營(yíng)林

天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津，300384

0 引言

自重構(gòu)機(jī)器人是由多個(gè)具有相同功能的模塊組成的智能機(jī)器人系統(tǒng)，它可以根據(jù)工作環(huán)境的不同自主變換構(gòu)型來(lái)實(shí)現(xiàn)所需功能，在航空航天、災(zāi)后救援、極限維護(hù)等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。根據(jù)單元模塊結(jié)構(gòu)不同，自重構(gòu)機(jī)器人主要分為以下三種［1］：晶格式模塊機(jī)器人［2］、鏈?zhǔn)侥K機(jī)器人［3］、混合式模塊機(jī)器人［4］。當(dāng)前國(guó)內(nèi)外對(duì)晶格式模塊機(jī)器人研究較多，但晶格式模塊在空間的運(yùn)動(dòng)受到柵格約束［5］（單元模塊必須處于柵格中心才能實(shí)現(xiàn)連接），不易到達(dá)空間的任意位置，若要到達(dá)空間任意位置，需要大量的模塊堆積才能實(shí)現(xiàn)，而鏈?zhǔn)胶突旌鲜阶灾貥?gòu)機(jī)器人系統(tǒng)僅需數(shù)量較少的模塊就可以到達(dá)空間任意位置。目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于機(jī)器人的越障研究較多，大多集中在仿生 機(jī) 器 人［6］、履 帶 機(jī) 器 人［7－8］、輪 腿 式 機(jī) 器人［9－10］以及月球車［11］等領(lǐng)域，而對(duì) 自重構(gòu)機(jī)器人的越障，尤其是越障力學(xué)模型、越障條件等的分析較少。

對(duì)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的自重構(gòu)系統(tǒng)的研究必須考慮構(gòu)型變換過(guò)程中的下列問(wèn)題：①對(duì)接面能否到達(dá)準(zhǔn)確位置并與相應(yīng)的對(duì)接面進(jìn)行配合；②多模塊系統(tǒng)變形過(guò)程的運(yùn)動(dòng)空間能否保證系統(tǒng)的并行運(yùn)動(dòng)不產(chǎn)生干擾；③變形過(guò)程中各模塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否明確，以便控制。一方面，對(duì)系統(tǒng)的變形進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是自重構(gòu)模塊機(jī)器人實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)；另一方面，在系統(tǒng)的構(gòu)型變換完成后，能否實(shí)現(xiàn)所需運(yùn)動(dòng)，是研究中需要明確的。因此，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)步態(tài)與越障能力的研究也是必要的。

本文基于D－H方法對(duì)鏈?zhǔn)侥K構(gòu)成的蛇形構(gòu)型（相當(dāng)于構(gòu)型中的一條支鏈）轉(zhuǎn)換為環(huán)形構(gòu)型的重構(gòu)過(guò)程的正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了分析，歸納了變形運(yùn)動(dòng)普適公式，利用多體動(dòng)力學(xué)軟件Recur－Dyn與MATLAB對(duì)變形過(guò)程中系統(tǒng)末端對(duì)接面的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度與加速度進(jìn)行仿真對(duì)比，驗(yàn)證了該普適公式的正確性與有效性，同時(shí)對(duì)環(huán)形構(gòu)型的滾動(dòng)步態(tài)與越障條件做了分析，最后進(jìn)行了越障運(yùn)動(dòng)仿真。

1 自重構(gòu)機(jī)器人模型描述

1.1 單元模塊結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)方式

該鏈?zhǔn)絾卧K原理與結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與外觀見圖1a、圖1b，單元模塊主要包括U形外架、U形內(nèi)架、舵機(jī)架、舵機(jī)輔架、內(nèi)架連軸件和舵機(jī)。單元模塊的尺寸為128mm×100mm×100mm。單元模塊之間通過(guò)連接孔實(shí)現(xiàn)模塊之間的對(duì)接。模塊的連接面同時(shí)具有外圈孔及內(nèi)圈孔，其中一個(gè)側(cè)面還可以選擇與內(nèi)架或外架連接，這保證了模塊連接的多樣性與可靠性。該單元模塊具有一個(gè)自由度——U形內(nèi)架可以相對(duì)U形外架實(shí)現(xiàn)空間360°的轉(zhuǎn)動(dòng)。單模塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，以外架為支撐，內(nèi)架為驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)刨地前進(jìn)（圖1c），滿足了自重構(gòu)機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)最基本的條件。

圖1 單元模塊的三維模型及運(yùn)動(dòng)模式

1.2 單元模塊的數(shù)學(xué)描述

在全局坐標(biāo)系Σ0中對(duì)編號(hào)為i的單元模塊建立圖2所示的空間局部坐標(biāo)系Σi，雙U形單元模塊的外架與內(nèi)架分別用Ua和Ub來(lái)表示，其5個(gè)連接面分別用C0、C1、C2、C3、C4來(lái)表示。選取單元模塊中間旋轉(zhuǎn)軸的中心點(diǎn)作為局部參考基準(zhǔn)的原點(diǎn)Oi，z軸沿中心旋轉(zhuǎn)軸線方向并由連接面C0指向連接面C3，x軸沿水平方向，y軸垂直地面向上。

圖2 單元模塊的空間坐標(biāo)系

單元模塊的齊次坐標(biāo)變換矩陣［12］為

同理，還有以下變換：

式中，θ為內(nèi)架相對(duì)于外架轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；l1為連接面C1與旋轉(zhuǎn)軸的距離；l2為連接面C0和C2、C3與基準(zhǔn)平面Oixy之間的距離；l3為連接面C4與旋轉(zhuǎn)軸之間長(zhǎng)度。

2 變形過(guò)程運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

本文針對(duì)n個(gè)首尾相連的模塊構(gòu)成的蛇形構(gòu)型轉(zhuǎn)化為環(huán)形構(gòu)型的過(guò)程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，建立全局平面簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型（圖3）。以中心節(jié)點(diǎn)（xi，yi）為原點(diǎn)建立局部慣性坐標(biāo)系。根據(jù)其構(gòu)型得到每個(gè)關(guān)節(jié)在全局坐標(biāo)系中的位置，則系統(tǒng)的第i＋n個(gè)關(guān)節(jié)的幾何約束方程為

根據(jù)D－H方法，對(duì)于n個(gè)首尾相接的自重構(gòu)模塊鏈，在它們由直線蛇形變換為環(huán)形的重構(gòu)過(guò)程中，第i＋n個(gè)模塊的末端連接面中心的位置為

圖3 簡(jiǎn)化二維系統(tǒng)模型圖

其中，矢量U1的起點(diǎn)為構(gòu)型末端模塊所在局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，終點(diǎn)為連接面C4的中心；Cn，1表示第n個(gè)模塊的C1連接面；Cn，4表示第n個(gè)模塊的C4連接面。同理，可以求出任意構(gòu)型中任意模塊上任一點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)。

以圖4所示的6模塊直線構(gòu)型變換為環(huán)形構(gòu)型為例，對(duì)該系統(tǒng)重構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究，驗(yàn)證重構(gòu)過(guò)程中模塊6的C4連接面能否到達(dá)指定位置進(jìn)行對(duì)接?；谌肿鴺?biāo)系，根據(jù)式（4），模塊6末端的中心在變換過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖4 6模塊構(gòu)型變換

對(duì)于整個(gè)重構(gòu)系統(tǒng)，在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析之前，首先需對(duì)整個(gè)重構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析，以防止實(shí)際運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的傾翻。本文只選擇了系統(tǒng)中的一個(gè)支鏈，因此假定系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中地面對(duì)系統(tǒng)的摩擦力足夠支撐整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)部分，使系統(tǒng)不發(fā)生傾翻。

將相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣代入式（5）并化簡(jiǎn)求解，可以得到模塊6末端中心在全局坐標(biāo)系中的瞬時(shí)位置表達(dá)式：

其中，（x0，y0）表示模塊1的旋轉(zhuǎn)軸中心在全局坐標(biāo)系中的初始位置。

同理，根據(jù)式（6）可以得到模塊6末端中心的瞬時(shí)速度表達(dá)式：

末端中心的瞬時(shí)加速度可表示為

同理，可以求得每個(gè)模塊末端在構(gòu)型變換過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)位移、速度、加速度與時(shí)間之間的關(guān)系。通過(guò)對(duì)每個(gè)模塊運(yùn)動(dòng)參數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)，以及數(shù)學(xué)歸納法證明，得到n個(gè)模塊組成的自重構(gòu)模塊鏈在由直線構(gòu)型變換為環(huán)形構(gòu)型過(guò)程中的位移、速度以及加速度的普適公式。

末端連接面中心在全局坐標(biāo)系中的瞬時(shí)位置坐標(biāo)普適公式為

對(duì)式（9）求導(dǎo)，就可以得到瞬時(shí)速度普適公式：

瞬時(shí)加速度普適公式為

3 變形過(guò)程運(yùn)動(dòng)仿真分析

通過(guò)對(duì)直線鏈?zhǔn)綐?gòu)型變換為環(huán)形構(gòu)型過(guò)程運(yùn)動(dòng)學(xué)普適公式的推導(dǎo)，可以明確各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角變化與其在慣性坐標(biāo)系當(dāng)中的位置、速度以及加速度、時(shí)間之間的關(guān)系。下文給出在不同仿真環(huán)境下的仿真結(jié)果及對(duì)比，以驗(yàn)證普適公式的有效性。仿真環(huán)境設(shè)置如下：?jiǎn)卧K的數(shù)量為6，其中l(wèi)1＝78mm，l3＝50mm，連接方式為首尾連接，各關(guān)節(jié)并行運(yùn)動(dòng)，且勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，模塊1局部坐標(biāo)原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的初始位置設(shè)定為（0，0，0）。

對(duì)系統(tǒng)末端的運(yùn)動(dòng)軌跡與重構(gòu)工作空間進(jìn)行仿真。從圖5所示的仿真結(jié)果來(lái)看，對(duì)于模塊末端運(yùn)動(dòng)軌跡的仿真，MATLAB的仿真結(jié)果（圖5a）與RecurDyn的仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了普適公式描述運(yùn)動(dòng)軌跡的正確性。仿真結(jié)果準(zhǔn)確地反映了末端連接面的運(yùn)動(dòng)軌跡，預(yù)估了系統(tǒng)重構(gòu)所需的運(yùn)動(dòng)空間，為自重構(gòu)系統(tǒng)的并行運(yùn)動(dòng)控制與重構(gòu)算法提供了一定的理論依據(jù)。

圖5 運(yùn)動(dòng)軌跡仿真

對(duì)末端模塊的位移速度與加速度進(jìn)行了仿真（圖6～圖8）。圖7、圖8的仿真結(jié)果表明了普適公式對(duì)系統(tǒng)末端速度、加速度描述的有效性。速度、加速度作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式對(duì)控制算法的研究有一定的指導(dǎo)意義。

4 環(huán)形滾動(dòng)步態(tài)及越障仿真分析

4.1 環(huán)形滾動(dòng)步態(tài)分析

環(huán)形機(jī)器人的滾動(dòng)是通過(guò)對(duì)每個(gè)模塊轉(zhuǎn)角的控制實(shí)現(xiàn)的。滾動(dòng)主要有兩種形式：靜態(tài)滾動(dòng)與動(dòng)態(tài)滾動(dòng)［13］。靜態(tài)滾動(dòng)只要求對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)加上周期的轉(zhuǎn)角變化信號(hào)，但必須使重心保持在與地面接觸的兩個(gè)支撐點(diǎn)之間；動(dòng)態(tài)滾動(dòng)除對(duì)關(guān)節(jié)加周期信號(hào)之外，還需通過(guò)控制轉(zhuǎn)角的變化來(lái)改變環(huán)形系統(tǒng)的重心位置，使其落在支撐點(diǎn)的前方，產(chǎn)生力矩，從而推動(dòng)整個(gè)系統(tǒng)滾動(dòng)。動(dòng)態(tài)滾動(dòng)與靜態(tài)滾動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方式見圖9。

圖6 運(yùn)動(dòng)位移與時(shí)間的關(guān)系曲線

圖7 運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系曲線

圖8 運(yùn)動(dòng)加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線

從圖9來(lái)看，對(duì)于6模塊組成的環(huán)形機(jī)器人系統(tǒng)，兩種滾動(dòng)步態(tài)都只需對(duì)其中四個(gè)模塊輸入轉(zhuǎn)角信號(hào)，其轉(zhuǎn)角發(fā)生變化帶動(dòng)另外兩個(gè)關(guān)節(jié)角度發(fā)生變化，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)向前滾動(dòng)。角度變化的快慢決定機(jī)器人系統(tǒng)向前運(yùn)動(dòng)的速度。通過(guò)分析圖9就可以將環(huán)形系統(tǒng)推廣到任意多個(gè)模塊組成的模塊環(huán)，并得出滾動(dòng)步態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖9 滾動(dòng)步態(tài)示意圖

4.2 環(huán)形越障分析

對(duì)蛇形重構(gòu)為環(huán)形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，原因是蛇形構(gòu)型在越障方面的能力非常有限，而環(huán)形構(gòu)型則有著很強(qiáng)的越障能力。

對(duì)于動(dòng)態(tài)滾動(dòng)越障，其前進(jìn)的動(dòng)力主要來(lái)自于系統(tǒng)重心變化產(chǎn)生的傾覆力矩。當(dāng)系統(tǒng)以動(dòng)態(tài)滾動(dòng)步態(tài)翻越臺(tái)階時(shí)，只有在重心移到臺(tái)階與環(huán)形系統(tǒng)的支撐點(diǎn)前，并且重力產(chǎn)生的力矩足以克服地面摩擦力產(chǎn)生的力矩時(shí)，才能保證系統(tǒng)順利翻越障礙。對(duì)于6模塊環(huán)形系統(tǒng)（越障力學(xué)模型見圖10），當(dāng)環(huán)形系統(tǒng)接觸到垂直障礙物并恢復(fù)到初始正六邊形構(gòu)型時(shí)，平衡方程（忽略系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的摩擦）為

式中，f1為障礙物對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的阻力；f2為地面對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的阻力；ft為與地面接觸關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力；N1為障礙物對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的反作用力；N2為地面對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的反作用力；mg為系統(tǒng)所受的重力；h為障礙物的高度；s為系統(tǒng)支撐點(diǎn)到障礙物支撐點(diǎn)的水平距離；sc為系統(tǒng)的質(zhì)心到障礙物支撐點(diǎn)的水平距離。

圖10 6模塊環(huán)形系統(tǒng)越障力學(xué)模型

在環(huán)形越障的過(guò)程中，質(zhì)心在x方向的位置變化為Δs，在y方向的位置變化為Δh，因此，在環(huán)形系統(tǒng)翻上垂直障礙物的瞬間，地面對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的反作用力N2＝0，其余參數(shù)有以下關(guān)系：

即此時(shí)水平方向與豎直方向上的分力矢量和為0，各力對(duì)障礙物支撐點(diǎn)的力矩矢量和也為0。而N2＝0，除重力外，其余力的方向都通過(guò)支撐點(diǎn)，因此，在環(huán)形系統(tǒng)翻上障礙物的瞬間，環(huán)形系統(tǒng)的質(zhì)心應(yīng)與支撐點(diǎn)處于同一水平位置，即環(huán)形系統(tǒng)質(zhì)心O′與支撐點(diǎn)B在x方向的坐標(biāo)值相同。則當(dāng)關(guān)節(jié)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)質(zhì)心位置繼續(xù)改變時(shí)，重力產(chǎn)生傾覆力矩，從而使系統(tǒng)翻上臺(tái)階。

由于單元模塊結(jié)構(gòu)的限制，在環(huán)形構(gòu)型的滾動(dòng)中，每個(gè)關(guān)節(jié)最小的夾角（即U形內(nèi)架與U形外架的最小夾角）為π／2，在滾動(dòng)越障過(guò)程中初始構(gòu)型的質(zhì)心位置O到翻越瞬間系統(tǒng)的質(zhì)心位置O′的距離為l。因此，有以下幾何關(guān)系：

由式（14）可得到6模塊環(huán)形系統(tǒng)能翻越垂直障礙的條件：

其中，lmax為系統(tǒng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角到達(dá)極限位置（即其中一個(gè)關(guān)節(jié)的U形內(nèi)架與U形外架的夾角為π／2時(shí)，就不能再減?。r(shí)的OO′長(zhǎng)度；β為OO′連線與阻力f1方向所夾銳角。對(duì)于結(jié)構(gòu)確定的系統(tǒng)，lmax與β是一定的，因此，系統(tǒng)能否翻越垂直障礙主要取決于系統(tǒng)與障礙物的水平距離與障礙物的高度。

環(huán)形系統(tǒng)以靜態(tài)滾動(dòng)步態(tài)越障的過(guò)程，只需要通過(guò)合理的控制各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角即可實(shí)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為穩(wěn)定。但由于6模塊環(huán)形系統(tǒng)模塊數(shù)量較少，越上臺(tái)階同樣是通過(guò)改變質(zhì)心的位置實(shí)現(xiàn)的，故不再贅述。

當(dāng)系統(tǒng)處于圖11所示初始位置時(shí)，最高能夠翻越高30mm的臺(tái)階，由仿真可得，如果臺(tái)階過(guò)高，則可能造成以下結(jié)果：①當(dāng)系統(tǒng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度較大，即滾動(dòng)速度較大時(shí)，穩(wěn)定性差，則爬上臺(tái)階后環(huán)形系統(tǒng)傾翻；②當(dāng)環(huán)形系統(tǒng)與障礙物過(guò)近，即s較小時(shí)，則爬不上臺(tái)階，產(chǎn)生回滾；③若滾動(dòng)速度較大且與障礙物過(guò)近，則爬不上臺(tái)階，回滾后傾翻。可見動(dòng)態(tài)滾動(dòng)越障穩(wěn)定性較差，對(duì)于模塊數(shù)量較多的環(huán)形系統(tǒng)，通過(guò)合理控制轉(zhuǎn)角變化及滾動(dòng)速度，以靜態(tài)滾動(dòng)步態(tài)則可平穩(wěn)翻越較高的垂直障礙。

圖11 越障仿真

5 結(jié)論

（1）本文針對(duì)自重構(gòu)機(jī)器人系統(tǒng)建立了全局坐標(biāo)系，定義了單元模塊的連接面與齊次變換矩陣。基于D－H方法，對(duì)6模塊自重構(gòu)機(jī)器人的蛇形支鏈變換為環(huán)形支鏈的過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了推導(dǎo)，歸納了多模塊系統(tǒng)在蛇形變?yōu)榄h(huán)形的過(guò)程中，瞬時(shí)坐標(biāo)、速度以及加速度的普適公式，討論了其構(gòu)型變換過(guò)程中正運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問(wèn)題。

（2）利用仿真軟件驗(yàn)證了普適公式的有效性與正確性，明確了多模塊系統(tǒng)構(gòu)型變換過(guò)程中運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)末端連接面的運(yùn)動(dòng)軌跡是否達(dá)到目標(biāo)位置做出了估計(jì)，為運(yùn)動(dòng)空間的確定提供了依據(jù)，為鏈?zhǔn)阶灾貥?gòu)系統(tǒng)重構(gòu)過(guò)程的控制算法與控制器的設(shè)計(jì)奠定了一定基礎(chǔ)。

（3）對(duì)環(huán)形系統(tǒng)滾動(dòng)的兩種步態(tài)與越障進(jìn)行了分析，并對(duì)環(huán)形系統(tǒng)的越障運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真，明確了該變形的意義。

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