TC4管狀零件內(nèi)壁加工殘余應(yīng)力計算及其有限元分析

孟龍暉 何 寧 李 亮

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

殘余應(yīng)力屬于固有應(yīng)力域中局部內(nèi)應(yīng)力的一種，通常情況下其值比較難以預(yù)測［1－2］。金屬切削加工是一個伴隨著高溫、高壓、高應(yīng)變率的塑性大變形過程，在已加工的表面層上會產(chǎn)生加工殘余應(yīng)力，殘余應(yīng)力在工件表面上的分布較淺（一般不超過0.2mm），但在深度方向有著較高的變化率，其形成機(jī)理主要有機(jī)械應(yīng)力、熱應(yīng)力以及相變［3］。鈦及其合金材料具有密度低、強(qiáng)度高、耐腐蝕性好、耐熱性好等優(yōu)點(diǎn)，目前在航空領(lǐng)域以及發(fā)電設(shè)備領(lǐng)域應(yīng)用較廣［4］。鈦及其合金材料表面加工殘余應(yīng)力的分布會嚴(yán)重影響已加工零件的靜力強(qiáng)度、疲勞強(qiáng)度及抗腐蝕性能［5］，同時還會嚴(yán)重影響零件幾何尺寸穩(wěn)定性［6－7］，從而影響零件的使用性能，制約零件的使用壽命。因此，測量并控制切削加工殘余應(yīng)力顯得尤為重要?，F(xiàn)有的殘余應(yīng)力檢測方法主要有無損測量法、有損測量法以及半損測量法。無損測量法主要有巴克豪森噪聲法、X射線法、中子衍射法和超聲波法等；有損測量方法主要有剝層法和輪廓法等；半損測量法主要有深孔法、盲孔法、環(huán)芯法等［8－14］。其中X射線法測量殘余應(yīng)力的技術(shù)目前已經(jīng)比較成熟，且運(yùn)用也比較廣泛［7］。對于管狀零件殘余應(yīng)力的測量，目前使用較為廣泛的方法還是腐蝕剝層結(jié)合X射線法。關(guān)于管狀零件剝層后對X射線法測得的應(yīng)力的修正問題，自從Moore等［15］提出的修正方法后并未有大的研究進(jìn)展，該修正方法目前仍然是使用最廣泛的修正方法。X射線法是通過測量晶粒內(nèi)特定的晶面間距的變化，將測得的應(yīng)變量乘以彈性常數(shù)從而求得殘余應(yīng)力值［7，16］。該方法要求材料有比較規(guī)則的晶粒，而TC4材料不符合這一要求，因此用X射線法很難測出其殘余應(yīng)力或者測量結(jié)果誤差較大。另外，X射線應(yīng)力儀價格較為昂貴，普及使用還有一定的困難。

本文提出了一種選用腐蝕剝層結(jié)合應(yīng)變片的使用來測量管狀零件內(nèi)壁加工殘余應(yīng)力的方法，所需設(shè)備價格低廉，操作簡單，且不局限于晶粒規(guī)則的材料。該計算方法的準(zhǔn)確性可用有限元方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 圓筒殘余應(yīng)力計算模型

在對圓筒內(nèi)部進(jìn)行剝層的同時，測量圓筒軸向長度以及外徑的變化，由此推算出圓筒三個方向上的殘余應(yīng)力，1919年Mesnager首先發(fā)表了該測定理論，1927年Sachs發(fā)表了相同的測定理論，并對其做了進(jìn)一步的完善［3，11］。下文對Sachs法的計算公式做進(jìn)一步的優(yōu)化及推導(dǎo)，并將其運(yùn)用于實(shí)踐。

設(shè)圓筒軸向相當(dāng)長，幾乎可以看作平面應(yīng)變問題進(jìn)行處理（由于實(shí)際條件的限制，在實(shí)驗(yàn)中所取圓筒并非很長，后文會對其進(jìn)行有限元驗(yàn)證）。設(shè)圓筒的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，如圖1所示，σa、σt、σr分別為圓筒內(nèi)軸向、切向和徑向的應(yīng)力。

圖1 管狀零件殘余應(yīng)力示意圖

現(xiàn)分析從內(nèi)半徑a到半徑ρ的內(nèi)層被去除所得到的結(jié)果。

設(shè)從內(nèi)半徑a到半徑ρ的內(nèi)層殘余應(yīng)力為σ（ρ），當(dāng)其被釋放后，與內(nèi)層被去除后在半徑為ρ的圓筒內(nèi)表面上施加反向的σ（ρ）是等效的。設(shè)σab、σtb、σrb分別為去除內(nèi)層后在圓筒外表面上所產(chǎn)生的附加的軸向、切向以及徑向的應(yīng)力。在初始狀態(tài)下其內(nèi)應(yīng)力是自相平衡的。

將所去除的內(nèi)層看作一個整體，由于在去除前其內(nèi)壁徑向并未有任何作用力，則σrb為零，由Lame圓筒理論，可得

設(shè)εab、εtb、εrb分別為圓筒外表面上軸向、切向以及徑向的應(yīng)變，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系如下：

其中，E、μ分別表示彈性模量和泊松比，由σrb為零可以得到：

聯(lián)立式（3）、式（5）消去εrb，由式（1）可以得到徑向殘余應(yīng)力：

在試圖解釋大陸海岸線的拼圖構(gòu)造方面，首個學(xué)術(shù)性解釋援引了“上帝之手”的說法。1668年，一位名叫弗朗索瓦·普拉特（Fran ois Placet）的法國修道士提出，《圣經(jīng)》上提到的洪水摧毀了消失的亞特蘭蒂斯島，使其沉入水底，形成了大西洋。在17世紀(jì)和18世紀(jì)時，許多歐洲人認(rèn)為地球是由《圣經(jīng)》上提到的一系列災(zāi)難塑造成的。當(dāng)時，上帝的憤怒一直是對大陸所處位置的一種流行性解釋。

同時殘余應(yīng)力應(yīng)該滿足軸對稱平面問題的平衡方程：

在無外力作用的情況下，殘余應(yīng)力的分布應(yīng)當(dāng)滿足軸向與切向的平衡，即滿足下列關(guān)系式：

將式（6）代入式（7）可以得到切向殘余應(yīng)力：

其中，fb＝πb2，f＝πρ2。將圓筒內(nèi)壁從半徑a至半徑ρ部分去除時，剩余部分所產(chǎn)生的附加應(yīng)力被認(rèn)為是均勻分布在圓筒截面上的，根據(jù)此假設(shè)以及式（8）的平衡條件可以得到以下平衡公式：

將式（11）對ρ求導(dǎo)，可以得到

將式（5）代入式（2）消去εrb，再代入式（12），可以得到軸向殘余應(yīng)力：

根據(jù)式（6）、式（10）、式（13），可以通過測量管外表面軸向和切向的應(yīng)變的變化，獲取管內(nèi)壁徑向、切向和軸向的殘余應(yīng)力。

2 圓管長度對應(yīng)力測量的影響

上述計算管內(nèi)壁殘余應(yīng)力的公式是在圓筒軸向相當(dāng)長、幾乎可以按照平面應(yīng)變問題進(jìn)行處理的假設(shè)條件下推導(dǎo)出來的，然而實(shí)際上圓筒不可能取得相當(dāng)長。從實(shí)驗(yàn)可操作性以及節(jié)約材料方面考慮，圓筒應(yīng)該取短點(diǎn)，但是圓筒過短會嚴(yán)重影響實(shí)驗(yàn)精度。綜合考慮上述兩方面問題，圓筒該取多長，可用有限元法進(jìn)行驗(yàn)證。

在ABAQUS軟件中根據(jù)實(shí)際零件的橫截面尺寸建模，圓筒外直徑為45mm，內(nèi)直徑為41mm。文獻(xiàn)［2］指出，當(dāng)管軸向長度達(dá)到外直徑的6倍時得到的數(shù)據(jù)精度已經(jīng)足夠高，故將模型的軸向長度設(shè)置為450mm，為外直徑的10倍。不失一般性，在圓筒的內(nèi)壁施加圖2所示隨深度變化的切向和軸向殘余應(yīng)力，所施加的殘余應(yīng)力具有一定的代表性。切向殘余應(yīng)應(yīng)力在直角坐標(biāo)系中是不斷變化的，屬于不規(guī)則殘余應(yīng)力，需通過編寫應(yīng)力文件并將其導(dǎo)入模型中來實(shí)現(xiàn)應(yīng)力的施加，且只能以單元的形式施加初始內(nèi)應(yīng)力。

圖2 施加于模型內(nèi)壁的殘余應(yīng)力

將上述計算得到的柱坐標(biāo)應(yīng)力轉(zhuǎn)換為x、y方向的正應(yīng)力、以及x、y方向的切應(yīng)力，而z坐標(biāo)方向的應(yīng)力不需要變換，可以直接導(dǎo)入。即

式中，θ、σρ、σθ、τρθ分別為計算點(diǎn)的角度、徑向應(yīng)力、切向應(yīng)力以及對應(yīng)的切應(yīng)力。

將MATLAB計算得到的應(yīng)力文件導(dǎo)入ABAQUS中，自平衡后的效果如圖3所示?？梢钥闯鰬?yīng)力層內(nèi)的殘余應(yīng)力值在深度方向上變化率很高，這是加工殘余應(yīng)力的主要特征。

圖3 模型施加預(yù)定應(yīng)力并自平衡后的效果圖

在應(yīng)力達(dá)到自平衡后運(yùn)用ABAQUS的生死單元技術(shù)將內(nèi)層單元逐層“殺死”，以此來模擬實(shí)際實(shí)驗(yàn)中應(yīng)力層逐層被腐蝕的過程。在每一層單元被“殺死”后軟件會計算由此而發(fā)生的應(yīng)力重新分布過程以及整個模型應(yīng)變的變化。

記錄此過程中模型外表層應(yīng)變的變化，這里記錄的是外層軸向中間部位的應(yīng)變，目的是減少邊緣效應(yīng)對測量結(jié)果的影響。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中應(yīng)變片也要求貼在軸向較中間的位置。為方便后文中應(yīng)力的計算，將每組應(yīng)變數(shù)據(jù)都減去該組的第一個應(yīng)變值，使得每組第一個值為零（實(shí)際上測得的應(yīng)變值也是如此，因?yàn)樵谫N應(yīng)變片之前零件內(nèi)部早已自平衡，貼好應(yīng)變片后應(yīng)變儀必須先進(jìn)行清零操作）。最終得到切向和軸向的應(yīng)變值如表1所示。

表1 切向應(yīng)變和軸向應(yīng)變在各分析步的值

以上模型得到的結(jié)果精度較高，但是軸向太長，實(shí)驗(yàn)時存在諸多不便以及浪費(fèi)材料現(xiàn)象?？山⒛Ｐ?，通過改變軸向長度來分析軸向長度最短為多長時其精度已足夠高。

用Python語言對ABAQUS進(jìn)行二次開發(fā)來進(jìn)行驗(yàn)證。用Python進(jìn)行建模，橫截面始終保持一致，通過不斷增大軸向長度并進(jìn)行計算和對比，直到精度滿足要求為止。設(shè)定模型每一個分析步的應(yīng)變與上文得到的應(yīng)變值相差不超過10－7為滿足條件。程序流程如圖4所示。

圖4 Python二次開發(fā)流程圖

以上二次開發(fā)運(yùn)行最終結(jié)果表明，軸向長度為50mm時已滿足要求。由此得出結(jié)論：此零件取軸向長度為50mm來做測量殘余應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)，其精度是可靠的，是綜合考慮節(jié)約材料和實(shí)驗(yàn)精度的結(jié)果。此結(jié)果對實(shí)驗(yàn)以及工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義，當(dāng)管直徑不一致時，管的軸向長度與外半徑比值λ滿足λ≥50／45（即λ≥1.11）時精度已經(jīng)很高。

3 有限元驗(yàn)證

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)的過程中，內(nèi)層材料通過化學(xué)腐蝕的方式去除，外層應(yīng)變的變化通過應(yīng)變片來測得，最后將所測得的應(yīng)變值代入上述公式來反算內(nèi)壁殘余應(yīng)力的值。利用上述計算得到的切向和軸向的應(yīng)變值反算內(nèi)壁的殘余應(yīng)力，借以驗(yàn)證該算法的正確性。

將切向和軸向應(yīng)變值與腐蝕深度關(guān)系的孤立點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。實(shí)際上在計算應(yīng)力值的過程中，式中的微分項(xiàng)對最終計算結(jié)果的影響很大。實(shí)測值部分比較分散時所取的曲線的形式對斜率有較大的影響。在MATLAB中用最小二乘法對其進(jìn)行曲線擬合，其擬合的吻合度直接影響到計算結(jié)果的精度。通過多次調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，發(fā)現(xiàn)十次多項(xiàng)式擬合的曲線與原先的孤立點(diǎn)的吻合度較高。這里并不特別要求多項(xiàng)式的次數(shù)，在擬合的過程中可以根據(jù)測量曲線而適當(dāng)調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，使擬合出的曲線與所測得的點(diǎn)達(dá)到較高的吻合度即可。

令Λ＝εtb＋μεab，在MATLAB中對Λ求導(dǎo)，其值依賴于對孤立點(diǎn)的曲線擬合，其準(zhǔn)確度對求解結(jié)果的精度影響較大。將求導(dǎo)后的值代入上文的計算公式，求得切向殘余應(yīng)力隨深度的變化，并將求得的應(yīng)力與所施加的應(yīng)力進(jìn)行對比，如圖5a所示；同理可以求得軸向殘余應(yīng)力隨深度的變化并與所施加的應(yīng)力進(jìn)行對比，如圖5b所示。

圖5 施加的應(yīng)力值與計算得到的殘余應(yīng)力值對比

由圖5可以看出，計算值與施加值曲線大部分是很吻合的，在應(yīng)力極點(diǎn)值處兩者之間有一定的誤差，誤差值大約為真實(shí)殘余應(yīng)力的5%左右，完全在可以接受的范圍之內(nèi)，即采用本文方法計算得到的應(yīng)力值準(zhǔn)確度是較高的。

4 總結(jié)與展望

基于一些假設(shè)推導(dǎo)出管狀零件內(nèi)壁殘余應(yīng)力計算公式，有限元分析結(jié)果表明，管狀零件的軸向長度與其外徑比值λ滿足λ≥1.11時已經(jīng)滿足其平面假設(shè)的要求。通過有限元分析的進(jìn)一步模擬驗(yàn)證，將模型外表面的應(yīng)變值代入應(yīng)力計算公式得到的應(yīng)力值與施加給模型的初始應(yīng)力值進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)兩條應(yīng)力曲線非常吻合，其誤差完全在可以接受的范圍之內(nèi)。由此可以得出結(jié)論：該測量方法得到的加工殘余應(yīng)力的可信度是較高的，在實(shí)踐中可以運(yùn)用該方法利用價格低廉的設(shè)備代替X射線法所需的價格高昂的設(shè)備來測量管狀零件內(nèi)壁加工殘余應(yīng)力，操作簡單，結(jié)果可靠。

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