基于相對距離尺度TOPSIS法的機(jī)床結(jié)構(gòu)優(yōu)選設(shè)計研究

陳永亮 韓 瑤 龐錦平 劉 譜 潘高星

1.天津大學(xué)，天津，300072 2.天津第二機(jī)床有限公司，天津，300409

0 引言

機(jī)床的大件結(jié)構(gòu)是數(shù)控機(jī)床的重要部件，其結(jié)構(gòu)性能極大程度地影響加工精度。機(jī)床的大件結(jié)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、筋板厚度、高度、出砂孔尺寸等又直接影響大件結(jié)構(gòu)的動靜熱態(tài)特性。通過有限元分析方法得到方案各個性能評價指標(biāo)值，在結(jié)構(gòu)方案的確定過程中，往往采用綜合評價的方法對多種方案進(jìn)行評價，因此評價方法的選擇至關(guān)重要。文獻(xiàn)［1］基于結(jié)構(gòu)配置與性能改進(jìn)的綜合定量評價方法，得出某大型內(nèi)齒輪銑齒機(jī)的床身最優(yōu)改進(jìn)方案；文獻(xiàn)［2］根據(jù)可適應(yīng)原則建立結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)的綜合評價函數(shù)，并通過內(nèi)齒輪銑齒機(jī)床立柱元結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化驗(yàn)證了其有效性。文獻(xiàn)［3］通過對床身進(jìn)行APDL參數(shù)化建模和模態(tài)分析，經(jīng)簡單的數(shù)據(jù)比較得出最優(yōu)參數(shù)方案。文獻(xiàn)［4］通過橫梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化有效減小了主要熱源的生熱速率和熱傳導(dǎo)系數(shù)。文獻(xiàn)［5］以層次分析法確定對象各屬性權(quán)重，然后用基于歐幾里德距離（簡稱歐氏距離）的TOPSIS方法對各商家競爭力進(jìn)行排序，根據(jù)各方案相對理想解的接近程度初步評估選擇較佳方案。文獻(xiàn)［6］采用灰關(guān)聯(lián)分析和基于歐氏距離的TOPSIS方法進(jìn)行各游戲廠商的經(jīng)營績效評估，并通過三種方法的評價對比，總結(jié)其各自方法的優(yōu)缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［7］通過采用目標(biāo)規(guī)劃的優(yōu)化模型和高等數(shù)學(xué)的方法計算各評價指標(biāo)的權(quán)重，弱化了傳統(tǒng)TOPSIS方法確定權(quán)重的主觀程度。文獻(xiàn)［8］利用灰色系統(tǒng)理論，整合不同的評價理論，提出了灰關(guān)聯(lián)評價方法，并將該方法應(yīng)用于具體事例，從基于不同基礎(chǔ)功能和可適應(yīng)功能的設(shè)計方案中優(yōu)選出最佳方案。

本文根據(jù)可適應(yīng)設(shè)計原則，通過有限元分析得到各個方案的評價指標(biāo)值，采用不同距離尺度的TOPSIS方法對機(jī)床橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)選，并對不同距離尺度評價結(jié)果進(jìn)行比較和分析。

1 機(jī)床結(jié)構(gòu)的可適應(yīng)設(shè)計

機(jī)床結(jié)構(gòu)修改的一般過程如圖1所示。首先根據(jù)功能要求創(chuàng)新或者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行初步總體方案設(shè)計；然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行功能分解，將機(jī)床結(jié)構(gòu)劃分為子模塊，再通過參數(shù)驅(qū)動獲得各個設(shè)計方案，對各個方案進(jìn)行有限元分析，從而對產(chǎn)品性能進(jìn)行綜合評價對比以確定最優(yōu)方案。

圖1 機(jī)床結(jié)構(gòu)可適應(yīng)設(shè)計過程

對于機(jī)床橫梁結(jié)構(gòu)，評價其性能的指標(biāo)有質(zhì)量、固有頻率、靜剛度和熱特性等多項(xiàng)。因此，建立一個能全面反映機(jī)床性能的評價模型，通過對機(jī)床結(jié)構(gòu)的不同性能方案進(jìn)行綜合度量來評價各個方案的性能優(yōu)劣尤其重要。

2 評價指標(biāo)和權(quán)重的確定

假設(shè)S＝｛S0，S1，…，Sm｝是橫梁結(jié)構(gòu)的m種變型，對每個評價目標(biāo)進(jìn)行質(zhì)量測量、動態(tài)分析、靜力分析及熱分析，得出其質(zhì)量m、三向靜力變形（dx，dy，dz）、三向熱變形（δx，δy，δz），以及約束模態(tài)的前三階固有頻率（f1，f2，f3）和自由模態(tài)的前三階固有頻率（f′1，f′2，f′3）等n個評價指標(biāo)，進(jìn)而可得綜合評價因素集中的5個一級指標(biāo)，其表達(dá)式為

式中，X1為質(zhì)量指標(biāo)；X2為靜變形指標(biāo)；X3為熱變形指標(biāo)；X4為約束模態(tài)固有頻率指標(biāo)；X5為自由模態(tài)固有頻率指標(biāo)。

每個一級指標(biāo)所包含的若干個二級指標(biāo)可表示為

于是，總因素指標(biāo)集共有n＝13個評價指標(biāo)，規(guī)定J1＝ ｛X1，X2，X3｝為 成 本 型 指 標(biāo) 集，J1＝｛X4，X5｝為收益型指標(biāo)集。收益型指標(biāo)越大，對評估結(jié)果越有利；成本型指標(biāo)越小，對評估結(jié)果越有利。反之，則對評估結(jié)果不利。

對于本文采取的評價方法，首先確定各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。一級評價指標(biāo)對應(yīng)的各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)可表示為

二級評價指標(biāo)對應(yīng)的各指標(biāo)權(quán)重系數(shù)可表示為

將權(quán)重系數(shù)W 合成可得

且∑W ＝1。

3 TOPSIS評價方法的數(shù)學(xué)模型

逼近理想解的排序方法（technique for order preference by similarity to ideal solution，TOPSIS）是 Hwang等［9］于1981年首次提出的，它借助多屬性問題的理想解和負(fù)理想解給方案集中各方案排序。

3.1 計算規(guī)范化矩陣

首先，根據(jù)每個評價目標(biāo)的n個定量指標(biāo)值建立特征矩陣：

然后，根據(jù)特征矩陣計算規(guī)范化矩陣，得到規(guī)范化表達(dá)式：

3.2 構(gòu)造評價指標(biāo)權(quán)重規(guī)范化矩陣

通過計算評價指標(biāo)權(quán)重規(guī)格化值vij，建立的評價指標(biāo)權(quán)重規(guī)范化矩陣為

式中，vij為第j個目標(biāo)的第i個評價指標(biāo)的權(quán)重規(guī)格化值。

3.3 確定理想解和反理想解

根據(jù)權(quán)重規(guī)格化值vij所確定的理想解A＊和反理想解A－的表達(dá)式為

3.4 計算距離尺度

計算距離尺度即計算每個目標(biāo)到理想解和反理想解的距離，目標(biāo)到理想解A＊的距離為S＊，到反理想解A—的距離為S—。

S＊為各評價目標(biāo)與最優(yōu)目標(biāo)的接近程度，S＊值越小，評價目標(biāo)距離理想目標(biāo)越近，方案越優(yōu)。

3.5 計算理想解的貼近度

理想解的貼近度表達(dá)式為

根據(jù)C＊值的大小可判斷評價目標(biāo)的優(yōu)劣，該值越大，表明評價方案越優(yōu)。

4 距離尺度的計算

用理想解求解多屬性決策問題的概念簡單，只要在屬性空間定義適當(dāng)?shù)木嚯x測度就能計算備選方案的理想解。在TOPSIS方法中，距離尺度的計算通常采用明考斯基距離，常用的歐式距離是明考斯基距離的特殊情況。由于明考斯基距離是一種絕對距離，研究表明，它會因固有頻率、變形等評價指標(biāo)的單位不同而難以明顯區(qū)分不同方案的優(yōu)劣，因此，本文引入了蘭氏距離、基于相似性的差異性距離等相對距離法，以減小數(shù)據(jù)測量對單位的敏感性。

4.1 歐氏距離

歐氏距離尺度通過n維歐幾里德距離尺度進(jìn)行計算，其目標(biāo)到理想解A＊的距離為S＊，到反理想解A—的距離為S，其表達(dá)式為

式中，v＊j與分別為第j個目標(biāo)到最優(yōu)目標(biāo)及最劣目標(biāo)的距離。

4.2 蘭氏距離

蘭氏距離［10］是定義在歐氏空間上的一種度量，蘭氏距離與各變量的單位無關(guān)。由于蘭氏距離對大的異常值不敏感，故適用于高度偏斜的數(shù)據(jù)。根據(jù)蘭氏距離的定義［11］，目標(biāo)到理想解A＊的蘭氏距離為，到反理想解A—的蘭氏距離為，其表達(dá)式為

4.3 相似距離

20世紀(jì)90年代，周美立［12］提出了用于計算系統(tǒng)相似度的新理論，其理論針對明考斯基距離尺度域值［0，∞］的局限性，采用以相似性為基礎(chǔ)的差異性度量［13-14］計算目標(biāo)到理想解A＊的差異性距離和到反理想解的差異性距離。其表達(dá)式為

5 立式磨床橫梁結(jié)構(gòu)優(yōu)選

5.1 立式磨床橫梁結(jié)構(gòu)動靜熱態(tài)特性有限元分析

三種立式磨床橫梁基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)方案如圖2所示。圖2a為橫梁立柱分離式結(jié)構(gòu)，其固定約束加于底部地腳螺釘處及與床身相連接處；圖2b為橫梁一體式結(jié)構(gòu)，其固定約束加于底部地腳螺釘處；圖2c為在圖2b基礎(chǔ)上將導(dǎo)軌以下部分截掉而成的結(jié)構(gòu)，其底部約束加于底部地腳螺釘處。

圖2 橫梁初始結(jié)構(gòu)選型

橫梁的改進(jìn)思路為：①拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改進(jìn)提高靜剛度；②減小重量；③提高固有頻率；④減少熱變形。改進(jìn)方案如表1所示。對三種橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行動靜及熱態(tài)分析；采用ANSYSWorkbench軟件對12種橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行自動網(wǎng)格劃分，建立有限元模型；然后定義材料屬性，材料特性數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 橫梁各修改方案

表2 材料特性數(shù)據(jù)

在進(jìn)行約束模態(tài)分析時，對每種方案加固定約束；在自由模態(tài)分析中不加任何約束。在進(jìn)行靜力分析時，滑塊安裝面除了受床鞍傳來的磨削力外，還受床鞍及主軸部件的重力作用，其受力情況如表3所示。

表3 橫梁受力情況

在進(jìn)行熱分析時，由于滾珠絲杠軸承發(fā)熱，在軸承安裝面上加150W的熱流量，其余面上的空氣對流系數(shù)設(shè)置為5W／（m2·K）。橫梁受力分析結(jié)果如表4所示。

表4 橫梁受力評價指標(biāo)

5.2 橫梁評價指標(biāo)權(quán)重系數(shù)分配

根據(jù)綜合評價因素集確定的各個評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)如表5所示。

表5 橫梁各評價指標(biāo)權(quán)重系數(shù)分配

算得 W＝｛0.3，0.04，0.03，0.03，0.04，0.03，0.03，0.12，0.09，0.09，0.08，0.06，0.06｝，然后分別根據(jù)前述三種綜合評價方法進(jìn)行計算。

5.3 TOPSIS評價

首先根據(jù)表4列出特征矩陣，然后根據(jù)特征矩陣計算得出規(guī)范化矩陣R（由于矩陣尺寸過大，在此不予列出）。

由式（7）及式（8）計算理想解和反理想解：

根據(jù)式（8）及式（9）計算歐幾里德距離：

最后由式（7）算出每種方案指標(biāo)距離理想解的貼近度：

同理，利用式（10）、式（11）和式（7）可得到各方案的基于蘭氏距離的貼近度：

利用式（12）、式（13）和式（7）可得到各方案基于相似距離的貼近度：

5.4 TOPSIS評價法中不同距離尺度的比較

本文采用三種方法對12種橫梁結(jié)構(gòu)方案進(jìn)行評價。TOPSIS法強(qiáng)調(diào)在距離理想解近的同時要遠(yuǎn)離負(fù)理想解，值越大表示離正理想解越近而離負(fù)理想解越遠(yuǎn)，其最大的優(yōu)點(diǎn)是簡單、直接，缺點(diǎn)主要是結(jié)果不具確切含義僅表示一種相對水平。

三種評價方法評價的結(jié)果如表6所示，分別用大于0.85，0.80，0.75的區(qū)分度值截取三種方案的選擇結(jié)果，得出的滿足條件的子集合為

其子集的交集為

表6 三種距離尺度的TOPSIS評價方法比較

三種方法評價結(jié)果的區(qū)分度曲線如圖3所示。對于TOPSIS法，區(qū)分度值表示貼近度值。

圖3 三種方法評價結(jié)果的區(qū)分度曲線

從交集結(jié)果及圖3中的三條曲線可以看出，對于不同的評價方法，最終方案排序結(jié)果總體一致，尤其是蘭氏距離法和相似距離法完全一致，均能得到滿意結(jié)果。但三種方法對各個方案區(qū)分的明顯程度不同，歐氏距離尺度法最差，蘭氏距離尺度和相似距離尺度均較為理想。因此，基于相對距離的蘭氏尺度和相似尺度法要優(yōu)于基于絕對距離的歐氏尺度法。

6 結(jié)語

本文通過實(shí)驗(yàn)和仿真驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，歐氏距離尺度法、蘭氏距離尺度法和相似距離尺度法都能區(qū)分方案的優(yōu)劣，但由于數(shù)據(jù)處理方法和區(qū)分度的定義不同，每種方法所選擇的最優(yōu)結(jié)果仍有細(xì)微差別。三種方法所選的最優(yōu)方案之間的改進(jìn)度不大，其值在1%～5%之間。從各種方法對各個方案區(qū)分的明顯程度看，蘭氏距離尺度法和相似距離尺度法都優(yōu)于歐氏距離尺度法。在實(shí)際設(shè)計生產(chǎn)中，采用蘭氏距離尺度法和相似距離尺度法的TOPSIS法都能快速合理地進(jìn)行方案優(yōu)選。

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