Mathematica在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

唐世星，毛羽強(qiáng)，楊光

(1.承德石油高等專(zhuān)科學(xué)校，河北 承德 067000;2.承德護(hù)理職業(yè)學(xué)院，河北 承德 067000)

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中一項(xiàng)重要內(nèi)容，目前已經(jīng)在很多高校中開(kāi)設(shè)了該課程［1-5］。通過(guò)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)軟件解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題，并讓學(xué)生親身體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)和管理活動(dòng)中的應(yīng)用，從而增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。同時(shí)，也可讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)不做數(shù)學(xué)理論研究，學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法也很重要［6-7］。Mathematica軟件是由Wolfram公司開(kāi)發(fā)的一個(gè)功能強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)，它提供了范圍廣泛的數(shù)學(xué)計(jì)算功能，支持在各個(gè)領(lǐng)域的人們所需要的各種計(jì)算功能，其主要功能包括數(shù)學(xué)分析、數(shù)值計(jì)算、動(dòng)態(tài)可視化引擎和文件處理與演示工具［8］。本文將通過(guò)典型實(shí)例探討Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。

1 Mathematica軟件符號(hào)計(jì)算功能

在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)的極限、一元函數(shù)與多元函數(shù)微積分、常微分方程、級(jí)數(shù)求和、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)等問(wèn)題的直接求解均是重要的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。利用Mathematica軟件的符號(hào)運(yùn)算功能可以直接求解這些問(wèn)題，并得到該問(wèn)題的解析解。特別是對(duì)于一些特殊的積分問(wèn)題，Mathematica軟件提供了豐富的特殊函數(shù)和數(shù)值積分表示方法。下面通過(guò)幾個(gè)典型例子說(shuō)明Mathematica軟件的符號(hào)計(jì)算功能:

在 Notebook 中輸入:Limit［x*Sin［b/x］*(1+a/x)^x，x － ＞ Infinity］，使用 Shift+Enter組合鍵執(zhí)行上述命令即可得到輸出結(jié)果為bea。

例2:求微分方程y″－3y'+2y=cosx的通解。

該方程為常系數(shù)線性非齊次微分方程，方程的求解過(guò)程很繁瑣，很容易出錯(cuò)。但是使用Mathematica軟件則很容易求得其通解。

在 Notebook 中輸入:DSolve［y″［x］－3y'［x］+2y［x］==Cos［x］，y［x］，x］，使用 Shift+Enter組合鍵執(zhí)行上述命令即可得到輸出結(jié)果為

2 Mathematica軟件繪圖功能

在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中有很多內(nèi)容是需要借助圖像來(lái)解決的，特別是對(duì)于定積分的應(yīng)用、空間解析幾何中的曲線和曲面。借助直觀的幾何圖像能夠讓學(xué)生很容易理解函數(shù)的特性，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中的一些復(fù)合函數(shù)的圖像，即使是教師也不容易直接畫(huà)出。但是借助于Mathematica軟件強(qiáng)大的繪圖功能，只需簡(jiǎn)單的幾行命令就能畫(huà)出直觀準(zhǔn)確的函數(shù)圖像，從而對(duì)函數(shù)的各種幾何特性更容易理解。

根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)畫(huà)圖的一般步驟，該函數(shù)的圖像是可以畫(huà)出的，但是計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。使用Mathematica軟件則很容易做出該函數(shù)的圖像，在Notebook里輸入命令:Plot［x^3/(x^2－2x－3)，{x，－5，5}］，執(zhí)行后即可得到如圖1所示的函數(shù)圖像。由圖像可以觀察出該函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性及漸近線，其中該函數(shù)的斜漸近線在圖像上能夠直觀的觀察出來(lái)，但是沒(méi)有畫(huà)出。由斜漸近線的定義，不難得出該曲線的斜漸近線方程為y=x－2。

3 Mathematica軟件動(dòng)態(tài)可視化功能

在較新版本的Mathematica軟件中提供了更加豐富的動(dòng)態(tài)可視化功能，特別是Manipulate和Animate兩個(gè)命令使得交互式操作和可視化功能更加強(qiáng)大，從而為高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中有很多內(nèi)容的動(dòng)態(tài)演示和交互式操作提供了強(qiáng)有力的幫助。通過(guò)交互式操作和動(dòng)態(tài)演示使得學(xué)生能夠更清晰的看到變化過(guò)程，觀察到每一個(gè)細(xì)節(jié)，這樣對(duì)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)工作大有裨益，同時(shí)也增加了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣。

例4:某電器廠在對(duì)冰箱制冷后斷電測(cè)試其制冷效果，t小時(shí)后冰箱的溫度為(單位:℃)。問(wèn)冰箱溫度T關(guān)于時(shí)間t的變化率是多少?

根據(jù)高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，可以比較容易的得到冰箱溫度T關(guān)于時(shí)間t的變化率為但是這樣的結(jié)果對(duì)于理解冰箱溫度關(guān)于時(shí)間的變化率不夠直觀、明了，下面通過(guò)該問(wèn)題的動(dòng)態(tài)交互式操作功能實(shí)現(xiàn)過(guò)程來(lái)簡(jiǎn)要介紹一般的交互式功能實(shí)現(xiàn)過(guò)程:

首先:設(shè)計(jì)界面。根據(jù)該問(wèn)題可以考慮設(shè)計(jì)四個(gè)部件來(lái)實(shí)現(xiàn)交互式過(guò)程:1)時(shí)間軸;2)冰箱溫度隨時(shí)間的變化圖像;3)冰箱溫度關(guān)于時(shí)間的變化率圖像;4)時(shí)間、冰箱溫度及溫度變化率的動(dòng)態(tài)數(shù)字顯示。

其次:根據(jù)每一個(gè)組件的功能分別設(shè)計(jì)代碼予以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)通過(guò)執(zhí)行代碼直觀的觀察效果，根據(jù)需要進(jìn)行微調(diào)。

本示例的代碼如下:

執(zhí)行后得到圖2所示的設(shè)計(jì)界面:

通過(guò)點(diǎn)擊右上角的“+”按鈕，可以進(jìn)行相關(guān)的操作，例如粘貼快照、自動(dòng)運(yùn)行等，也可以手動(dòng)調(diào)節(jié)時(shí)間軸，其它三個(gè)部件會(huì)隨著時(shí)間t的變化而變化，充分實(shí)現(xiàn)交互式操作功能，可對(duì)冰箱制冷效果有一個(gè)更為直觀的理解(如圖3所示)。

4 結(jié)束語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力起著積極的推動(dòng)作用，能夠有效提高學(xué)生分析處理實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用，學(xué)生可以充分利用計(jì)算機(jī)和Mathematica軟件處理運(yùn)算復(fù)雜的工程問(wèn)題，從而大大簡(jiǎn)化了繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高工作效率，培養(yǎng)了學(xué)生的科技創(chuàng)新意識(shí)，取得了良好的教學(xué)效果。

［1］郭科.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)高等數(shù)學(xué)分冊(cè)［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［2］章棟恩，許曉革.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］.北京:高等教育出版社，2004.

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［4］王學(xué)會(huì).高等農(nóng)業(yè)院校大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課滲透理論教學(xué)的實(shí)踐與探討［J］.山東社會(huì)科學(xué)，2011(5):197－198.

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［8］面向高等教育的Mathematica:高等教育解決方案［EB/OL］.http://www.wolfram.com/solutions/education/higher-education/2011－01－18.

［9］楊波.Mathematica與高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)的整合研究［J］.高職教育，2012(6):211－213.

［10］艾冬梅.加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力［J］.實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2007，24(4):25－27.