探析最短路徑問(wèn)題

李桂生

在中考數(shù)學(xué)試卷中常常出現(xiàn)求幾條線段之和最小值的試題.這類試題通過(guò)考查點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)與它相關(guān)線段和的最值情況，不但能了解學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題能力，而且還能通過(guò)讓學(xué)生對(duì) “動(dòng)”與“定”之間的關(guān)系的思考，深入了解學(xué)生的探索能力與識(shí)別能力，這對(duì)指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)及引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著重要的意義.

現(xiàn)特對(duì)求線段和最小值的幾種題型進(jìn)行分析、歸納.

一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)

圖1

例1如圖1，已知A、B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.

解：連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求.（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短）

二、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)

例2如圖2，要在街道旁修建一個(gè)奶站C，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短.

圖2圖3

解：只有A、C、B在同一直線上時(shí)，才能使AC+BC最小.作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).如圖3.因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，所以AC=A′C.所以AC+BC=A′C+BC，由三角形三邊關(guān)系可知，A′C+BC>A′B，所以當(dāng)點(diǎn)C移到點(diǎn)C′時(shí)，AC+BC=A′C+BC= A′C′+BC′=A′B. 故此時(shí)AC+BC最小.

三、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部

例3如圖4，已知A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.

圖4圖5

解：如圖5，分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求.因?yàn)锳B= A′B、AC= A″C，所以當(dāng)A′B、BC和A″C三條線段在一條直線上時(shí)，三條邊AB、BC和AC的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小.

圖6

例4如圖6，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

解：將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E；連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為建橋的位置，MN即為所建的橋.由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A、B兩地的距離為：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若橋的位置建在CD處，連接AC、CD、DB、CE，則AB兩地的距離為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，因?yàn)锳C+CE>AE ，所以AC+CE+MN>AE+MN，即AC+CD+DB>AM+MN+BN.所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短.

四、求圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)

在此問(wèn)題中，可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案.

例5一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？

圖7圖8

解：如圖7，當(dāng)點(diǎn)A在圓外，則最小距離AB=1，最大距離AC=AB+2R=9，所以R=4.如圖8，當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)，則最小距離AB=1，最大距離AC=2R-AB=9，所以R=5.

總之，在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而解決問(wèn)題.