三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

鄔堅(jiān)耀

重點(diǎn)：掌握“五點(diǎn)法”畫三角函數(shù)的圖象及其逆向思維，能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過恒等變形、換元等方法熟練地求解三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、對(duì)稱性；熟練求解三角函數(shù)的值域；理解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變化的影響以及掌握?qǐng)D象變換.

難點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的綜合變換；由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象確定A，ω，φ的值或范圍. 前者一般先逆用誘導(dǎo)公式化為同名同號(hào)，再分解成若干個(gè)中間步驟，并注意變換順序；后者常常以“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)作為突破口，從圖象的升降情況找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的五個(gè)點(diǎn)的位置，如何把多對(duì)一的問題轉(zhuǎn)化為一對(duì)一的問題，并恰當(dāng)運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的相關(guān)問題，一般是把圖象或目標(biāo)恒等式變形化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的形式：y=Asin（ωx+φ）+B，并注意角的范圍，然后化歸為y=Asinx+B的性質(zhì)；要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.具體包括以下幾個(gè)方面：

（1）求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象來求解.

（2）求三角函數(shù)的值域的方法有：①利用sinx和cosx的值域直接求；②把形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式求值域；③利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

（3）求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的對(duì)稱軸，只需令ωx+φ=+kπ（k∈Z），求出x的值，寫成直線方程的形式即得對(duì)稱軸；求y=Asin（ωx+φ）（ω≠0）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ（k∈Z），求出x的值即為對(duì)稱中心的橫坐標(biāo).

（4）三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，一般先將函數(shù)式化為y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再將ωx+φ看做一個(gè)整體，代入y=sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解.

（5）求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，一般地，先經(jīng)過恒等變形變成y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求解即可.

（6）作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的方法主要是五點(diǎn)作圖法（簡稱“五點(diǎn)法”）和圖象變換法. 用五點(diǎn)作圖法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=ωx+φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；用圖象變換法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的簡圖，先將三角函數(shù)y=Asinx的圖象進(jìn)行平移變換，再沿x軸方向進(jìn)行伸縮變換，平移的量是φ個(gè)單位；而先沿x軸方向進(jìn)行伸縮變換，再作平移變換，則平移的量是個(gè)單位.

（7）已知y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，從圖中易直接得A，再由ω=可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0+φ=0（或ωx0+φ=π），即可求出φ.

例1 將函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為（ ）

A. B.

C. 0 D. -

思索 利用平移規(guī)律求得解析式，驗(yàn)證得出答案.

破解 y=sin（2x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位得y=sin2x++φ=sin2x++φ的圖象. 所以，當(dāng)φ=π時(shí)，y=sin（2x+π）=-sin2x，為奇函數(shù)；當(dāng)φ=時(shí)，y=sin2x+=cos2x，為偶函數(shù)；當(dāng)φ=0時(shí)，y=sin2x+，為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)φ=-時(shí)，y=sin2x，為奇函數(shù). 故選B.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)的平移規(guī)律、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題.

例2 已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)sinx≤cosx時(shí)， f（x）=cosx；當(dāng)sinx>cosx時(shí)， f（x）=sinx.

給出以下結(jié)論：

①f（x）是周期函數(shù)；

②f（x）的最小值為-1；

③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ（k∈Z）時(shí)， f（x）取得最小值；

④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-0；

⑤f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.

其中正確的結(jié)論序號(hào)是______.

思索 該分段函數(shù)為周期函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀，畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用圖象的直觀性依次檢驗(yàn)結(jié)論.

破解 易知函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù). 函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖1所示.

圖1

由圖象可得，函數(shù)f（x）的最小值為-，當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+（k∈Z）時(shí)， f（x）取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-0；f（x）的圖象上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是2π.所以正確的結(jié)論的序號(hào)是①④⑤.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象及分段函數(shù)的性質(zhì)，同學(xué)們要多多注意三角函數(shù)與其他知識(shí)的融合.

例3 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ<的一段圖象如圖2所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并求出f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合.

圖2

思索 第（1）小題，已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易由圖得出；令X=ωx+φ，現(xiàn)利用已知圖象中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法求ω和φ，也可由圖象間接得出周期，再由ω=即可求出ω；確定φ時(shí)，將最低點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點(diǎn)（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因?yàn)棣?，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數(shù)f（x）的最大值為3，取到最大值時(shí)x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的性質(zhì)及解析式的求法，考查讀圖、識(shí)圖能力，數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

例4 已知函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是常考的復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調(diào)區(qū)間比較即可；第二小問需要結(jié)合函數(shù)的圖象，聯(lián)系周期和零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

破解 （1）因?yàn)棣?gt;0，根據(jù)題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點(diǎn)相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則b-a的最小值為14×+15×=.

點(diǎn)評(píng) 此題體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決綜合問題的能力，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和思維能力.

1. 為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個(gè)單位？搖

B. 向左平移個(gè)單位

C. 向右平移個(gè)單位？搖

D. 向左平移個(gè)單位

2. 已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）對(duì)任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數(shù)f（x）=πsin，如果存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數(shù)f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈，1.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，0，求函數(shù)f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因?yàn)?≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當(dāng)a<0時(shí)，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點(diǎn)（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因?yàn)棣?，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數(shù)f（x）的最大值為3，取到最大值時(shí)x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的性質(zhì)及解析式的求法，考查讀圖、識(shí)圖能力，數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

例4 已知函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是?？嫉膹?fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調(diào)區(qū)間比較即可；第二小問需要結(jié)合函數(shù)的圖象，聯(lián)系周期和零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

破解 （1）因?yàn)棣?gt;0，根據(jù)題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點(diǎn)相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則b-a的最小值為14×+15×=.

點(diǎn)評(píng) 此題體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決綜合問題的能力，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和思維能力.

1. 為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個(gè)單位？搖

B. 向左平移個(gè)單位

C. 向右平移個(gè)單位？搖

D. 向左平移個(gè)單位

2. 已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）對(duì)任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數(shù)f（x）=πsin，如果存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數(shù)f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈，1.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，0，求函數(shù)f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因?yàn)?≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當(dāng)a<0時(shí)，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?2-，2-.

破解 （1）解法一：令X=ωx+φ，由圖可得ω+φ=0，4πω+φ=π ？圯ω=，φ=-π， 所以f（x）=3sinx-.

解法二：由圖知A=3，T=4π-=π，所以T=5π，所以ω=，所以f（x）=3sinx+φ.因f（x）的圖象過點(diǎn)（4π，-3），故-3=3sin+φ，所以+φ=2kπ-，k∈Z，所以φ=2kπ-，k∈Z.因?yàn)棣?，所以φ=-，所以f（x）=3sinx-.？搖

（2）由2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為5kπ+，5kπ+4π，k∈Z；函數(shù)f（x）的最大值為3，取到最大值時(shí)x的集合為xx=5kπ+，k∈Z.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k的性質(zhì)及解析式的求法，考查讀圖、識(shí)圖能力，數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

例4 已知函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω>0.

（1）若y=f（x）在-，上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；

（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a

思索 第一小問是常考的復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性逆用，只需要求出ωx的整體范圍，再與y=sinx的單調(diào)區(qū)間比較即可；第二小問需要結(jié)合函數(shù)的圖象，聯(lián)系周期和零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

破解 （1）因?yàn)棣?gt;0，根據(jù)題意有-ω≥-，ω≤？圯0<ω≤.

（2）由已知， f（x）=2sin2x，g（x）=2sin2x++1=2sin2x++1，g（x）=0？圯sin2x+=-？圯x=kπ-或x=kπ-，k∈Z，即g（x）的零點(diǎn)相離間隔依次為和. 若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則b-a的最小值為14×+15×=.

點(diǎn)評(píng) 此題體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，具有一定的綜合性. 考查熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決綜合問題的能力，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和思維能力.

1. 為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=cos3x的圖象（ ）

A. 向右平移個(gè)單位？搖

B. 向左平移個(gè)單位

C. 向右平移個(gè)單位？搖

D. 向左平移個(gè)單位

2. 已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）對(duì)任意x都有f+x=f-x，則f 等于（ ）

A. 2或0？搖 B. -2或2？搖？搖？搖

C. 0？搖？搖？搖 D. -2或0

3. 已知函數(shù)f（x）=πsin，如果存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），則x1-x2的最小值是（ ）

A. 8π B. 4π C. 2π D. π

4. 已知函數(shù)f（x）=a2cos2+sinx+b.

（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值.

5. 已知函數(shù)f（x）=sin2ωx+2·sinωx·cosωx-cos2ωx+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈，1.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，0，求函數(shù)f（x）的值域.

參考答案

1. C 2. B 3. B？搖

4. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asinx++a+b.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=-·sinx++b-1，由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），得2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）.

（2）因?yàn)?≤x≤π，所以≤x+≤，所以-≤sinx+≤1，由題意知a≠0.當(dāng)a>0時(shí)，可得a+a+b=8，b=5，解得a=3-3，b=5；當(dāng)a<0時(shí)，可得b=8，a+a+b=5，解得a=3-3，b=8.

綜上所述，a=3-3，b=5或a=3-3，b=8.

6. （1）由已知f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin2ωx-+λ. 由直線x=π是y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin2ωπ-=±1，所以2ωπ-=kπ+（k∈Z），即ω=+（k∈Z）.又ω∈，1，故ω=. 所以f（x）的最小正周期是.

（2）由已知，函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，0，得f=0，從而可得λ=-2sin×-=-2sin=

-，即λ=-. 故f（x）=2sinx--，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?2-，2-.