三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式

金石

1. 角的分類

（1）按旋轉(zhuǎn)方向分類可以分為正角、負(fù)角和零角.

（2）按終邊的位置可以分為象限角和軸線角. 終邊在x軸上的角的集合為{αα=kπ，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為αα=kπ+，k∈Z？搖.

（3）按照終邊是否相同分類. 與α的終邊相同的角的集合為{ββ=2kπ+α，k∈Z}，與α的終邊共線的角的集合為{ββ=kπ+α，k∈Z}.

2. 已知角α的取值范圍或所在的象限，求所在的象限

一般有直接法和幾何法兩種解法，其中幾何法的具體操作如下：如圖1，把各象限均分為2等份，再從x軸正向的上方按逆時(shí)針的順序起，依次將各區(qū)域標(biāo)上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循環(huán)一周，則α原來是第幾象限的符號所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域. 這個(gè)結(jié)論在三角恒等變換中經(jīng)常要用到，應(yīng)該記住此結(jié)論.

3. 根據(jù)三角函數(shù)的定義，求角α的三角函數(shù)值？搖

（1）已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求此點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解.

（2）已知角α的終邊所在的直線方程，需分兩種情況取點(diǎn)：先在終邊上的兩條射線上分別取點(diǎn)，再利用三角函數(shù)的定義去求解；根據(jù)直線方程直接求出tanα，然后再根據(jù)角的終邊所在的象限求出其他的三角函數(shù)值.

4. 同角三角函數(shù)關(guān)系式的用途

（1）根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值.

（2）化簡同角三角函數(shù)式.

（3）證明同角的三角恒等式.

（4）注意公式的逆用和變形用，如在解決齊次分式求值問題時(shí)，經(jīng)常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.

5. 使用誘導(dǎo)公式的注意事項(xiàng)

（1）使用步驟：負(fù)化正，大化小，小化銳是終了.

“負(fù)化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα這組公式將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角.

“大化小”是指當(dāng)角較大時(shí)可以使用sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（kπ+α）=tanα這組公式將已知角轉(zhuǎn)化為0～360°的角.

“小化銳”是指利用π±α，±α（k=1，3）這組誘導(dǎo)公式將小角化為銳角，不管用哪組誘導(dǎo)公式，最終的求值問題，一般都轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求值問題，所以一定要牢記特殊角的三角函數(shù)值.

（2）所有的誘導(dǎo)公式都可以歸納為k·+α（k∈Z）的三角函數(shù)值：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名函數(shù)值，然后在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號. 概括為“奇變偶不變，符號看象限”，這里的奇、偶是指k的奇、偶.

6. 化簡三角函數(shù)式

化簡三角函數(shù)式的一般要求是：（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常常將式子中的“1”作巧妙的變形.

7. 涉及扇形的周長或者面積的有關(guān)最值問題

涉及扇形的周長或者面積的有關(guān)最值問題一般有兩種解法，其一是列出有關(guān)弧長或半徑的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的觀點(diǎn)求函數(shù)的最值；其二是利用基本不等式求最值. 不管用哪種方法，一定要注意變量的取值范圍及取得最值時(shí)變量的值.

例1 （2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-4，3），則cosα等于（ ）

A. ？搖？搖 ？搖 ？搖B. ？搖？搖？搖

C. -？搖 D. -

思索 本題考查三角函數(shù)的定義.

破解 根據(jù)題意可得，cosα== =-. 故選D.

評析 已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出此點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義cosα=求解.

例2 已知α是第三象限角，sinα=-，則cotα=______.

思索 本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式.

破解 解法一：由三角函數(shù)同角函數(shù)的關(guān)系式得cosα=±= ±=±.又因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵襝osα<0，所以cosα= -，所以cotα==2.

解法二：由三角函數(shù)的定義可知，sinα=，x=-=-= -2. 因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以可認(rèn)為角α的終邊過點(diǎn)（-2，-1），所以cotα===2.

評析 已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他角的三角函數(shù)值，一般有兩種方法：一是根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解；二是根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)的定義求出其他的三角函數(shù)值. 不管用哪種方法，一定要注意角的取值范圍.

例3 （2014年高考大綱卷） 設(shè)a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，則（ ）

A. a>b>c？搖？搖 B. b>c>a？搖？搖

C. c>b>a？搖？搖 D. c>a>b

思索 本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式，以及函數(shù)y=sinx的單調(diào)性.

破解 因?yàn)閎=cos55°= sin35°>sin33°，所以b>a. 因?yàn)?1，所以>sin35°. 又c=tan35°=>sin35°，所以c>b，所以c>b>a，故選 C.

評析 本題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式，利用函數(shù)單調(diào)性加以解決. 不同名時(shí)化同名，有切有弦化為弦.

例4 （2013年高考浙江卷）已知α∈R，sinα+2cosα=，則tan2α等于（ ）

A. ？搖 B. ？搖？搖？搖？搖？搖

？搖 C. -？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. -

思索 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式.

破解 把條件中的式子兩邊平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故選C.

評析 本題利用齊次式的思想，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式解決給值求值的問題，考查同學(xué)們的推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

例5 已知角α的終邊上一點(diǎn)P（-4，3），求的值.

思索 利用誘導(dǎo)公式化簡，再代入求值.

破解 因?yàn)榻铅恋慕K邊上一點(diǎn)P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周長為30 cm，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

思索 本題考查扇形的面積公式及函數(shù)最值問題.

破解 解法一：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)，S有最大值，此時(shí)l=30-2×=15，α===2，所以當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值.

解法二：設(shè)扇形的圓心角為α（0<α<2π），半徑為r，面積為S，弧長為l，則l=αr. 由題意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面積S=2·α==≤=（cm2），所以當(dāng)且僅當(dāng)α=，即α=2rad時(shí)取等號. 此時(shí)扇形有最大面積，最大面積是 cm2.

評析 本題解法一是利用扇形的面積公式建立二次函數(shù)，進(jìn)而求二次函數(shù)的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管運(yùn)用何種方法，一定要注意函數(shù)的定義域. 利用此法也可以解決當(dāng)扇形的面積一定時(shí)求其周長的最小值問題.

1. sin585°的值為（ ）

A. -？搖？搖？搖？搖 B. ？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖 D.

2. 下列關(guān)系式中正確的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圓心角為，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為（ ）

A. 1：3？搖？搖？搖？搖B. 2：3？搖？搖？搖 C. 4：3？搖？搖？搖D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，則cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？搖？搖？搖？搖？搖 B.？搖？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖？搖 D. ±

5. 已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=-，則tanα=________.

參考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故選A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？搖 設(shè)扇形的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，扇形面積為S，內(nèi)切圓的面積為S′. 因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，所以R-r=2r，R=3r，===，故選B.

4. C？搖 因?yàn)?lt;θ<，所以cosθ

5. - 因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.

A. ？搖 B. ？搖？搖？搖？搖？搖

？搖 C. -？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. -

思索 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式.

破解 把條件中的式子兩邊平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故選C.

評析 本題利用齊次式的思想，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式解決給值求值的問題，考查同學(xué)們的推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

例5 已知角α的終邊上一點(diǎn)P（-4，3），求的值.

思索 利用誘導(dǎo)公式化簡，再代入求值.

破解 因?yàn)榻铅恋慕K邊上一點(diǎn)P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周長為30 cm，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

思索 本題考查扇形的面積公式及函數(shù)最值問題.

破解 解法一：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)，S有最大值，此時(shí)l=30-2×=15，α===2，所以當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值.

解法二：設(shè)扇形的圓心角為α（0<α<2π），半徑為r，面積為S，弧長為l，則l=αr. 由題意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面積S=2·α==≤=（cm2），所以當(dāng)且僅當(dāng)α=，即α=2rad時(shí)取等號. 此時(shí)扇形有最大面積，最大面積是 cm2.

評析 本題解法一是利用扇形的面積公式建立二次函數(shù)，進(jìn)而求二次函數(shù)的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管運(yùn)用何種方法，一定要注意函數(shù)的定義域. 利用此法也可以解決當(dāng)扇形的面積一定時(shí)求其周長的最小值問題.

1. sin585°的值為（ ）

A. -？搖？搖？搖？搖 B. ？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖 D.

2. 下列關(guān)系式中正確的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圓心角為，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為（ ）

A. 1：3？搖？搖？搖？搖B. 2：3？搖？搖？搖 C. 4：3？搖？搖？搖D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，則cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？搖？搖？搖？搖？搖 B.？搖？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖？搖 D. ±

5. 已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=-，則tanα=________.

參考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故選A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？搖 設(shè)扇形的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，扇形面積為S，內(nèi)切圓的面積為S′. 因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，所以R-r=2r，R=3r，===，故選B.

4. C？搖 因?yàn)?lt;θ<，所以cosθ

5. - 因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.

A. ？搖 B. ？搖？搖？搖？搖？搖

？搖 C. -？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. -

思索 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式.

破解 把條件中的式子兩邊平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故選C.

評析 本題利用齊次式的思想，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正切的二倍角公式解決給值求值的問題，考查同學(xué)們的推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

例5 已知角α的終邊上一點(diǎn)P（-4，3），求的值.

思索 利用誘導(dǎo)公式化簡，再代入求值.

破解 因?yàn)榻铅恋慕K邊上一點(diǎn)P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周長為30 cm，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

思索 本題考查扇形的面積公式及函數(shù)最值問題.

破解 解法一：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以當(dāng)且僅當(dāng)r=時(shí)，S有最大值，此時(shí)l=30-2×=15，α===2，所以當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值.

解法二：設(shè)扇形的圓心角為α（0<α<2π），半徑為r，面積為S，弧長為l，則l=αr. 由題意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面積S=2·α==≤=（cm2），所以當(dāng)且僅當(dāng)α=，即α=2rad時(shí)取等號. 此時(shí)扇形有最大面積，最大面積是 cm2.

評析 本題解法一是利用扇形的面積公式建立二次函數(shù)，進(jìn)而求二次函數(shù)的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管運(yùn)用何種方法，一定要注意函數(shù)的定義域. 利用此法也可以解決當(dāng)扇形的面積一定時(shí)求其周長的最小值問題.

1. sin585°的值為（ ）

A. -？搖？搖？搖？搖 B. ？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖 D.

2. 下列關(guān)系式中正確的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圓心角為，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為（ ）

A. 1：3？搖？搖？搖？搖B. 2：3？搖？搖？搖 C. 4：3？搖？搖？搖D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，則cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？搖？搖？搖？搖？搖 B.？搖？搖？搖？搖？搖

C. -？搖？搖？搖？搖 D. ±

5. 已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα=-，則tanα=________.

參考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故選A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？搖 設(shè)扇形的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，扇形面積為S，內(nèi)切圓的面積為S′. 因?yàn)樯刃蔚膱A心角為，所以R-r=2r，R=3r，===，故選B.

4. C？搖 因?yàn)?lt;θ<，所以cosθ

5. - 因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.