具有噪聲與時(shí)延的多個(gè)體系統(tǒng)的魯棒一致性

黃新宇 李德權(quán)

摘 要：針對(duì)一般的有向非平衡網(wǎng)絡(luò)，研究了當(dāng)測量噪聲與通信時(shí)延共存時(shí)的單積分多個(gè)體系統(tǒng)的魯棒一致性問題。通過在隨機(jī)逼近一致性協(xié)議中引入時(shí)變控制增益來抑制測量噪聲，并利用不等式放縮和數(shù)學(xué)歸納法證明了只要網(wǎng)絡(luò)中通信時(shí)延有上界，多個(gè)體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)均方一致性，最終的一致性值收斂到一個(gè)隨機(jī)變量。最后通過仿真算例驗(yàn)證了所得的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)逼近；魯棒一致性；測量噪聲；多個(gè)體系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1672-1098（2014）02-0017-06

網(wǎng)絡(luò)化多個(gè)體系統(tǒng)由大量個(gè)體或節(jié)點(diǎn)相互之間信息傳遞耦合而成，每個(gè)個(gè)體具有各自的動(dòng)力學(xué)行為且僅能獲得局部信息。由于不需要集中式控制和網(wǎng)絡(luò)全局信息，多個(gè)體系統(tǒng)不僅節(jié)約成本，而且在復(fù)雜環(huán)境下具有極強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)能力。多個(gè)體系統(tǒng)一致性是指系統(tǒng)中個(gè)體間通過局部信息共享，最終使網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體狀態(tài)趨于相同。一致性問題的關(guān)鍵是如何設(shè)計(jì)合理的一致性算法或協(xié)議使網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體能夠達(dá)成一致。而平均一致性問題作為一致性問題的特例，則要求最終的一致性值是網(wǎng)絡(luò)中所有個(gè)體初始狀態(tài)的算術(shù)平均，并在負(fù)載平衡等方面具有廣泛應(yīng)用。

實(shí)際應(yīng)用中網(wǎng)絡(luò)個(gè)體間的信息通信通常會(huì)遇到以下兩種情況：一是由于多個(gè)體間進(jìn)行信息交換時(shí)，發(fā)送方的信息經(jīng)過一定時(shí)間滯后才能夠使接收方收到，這就導(dǎo)致通信時(shí)延的產(chǎn)生；二是網(wǎng)絡(luò)都是在一定的環(huán)境下運(yùn)行，由于隨機(jī)通信環(huán)境的影響，網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體間信息的獲取和傳送過程中不可避免會(huì)受到測量噪聲的干擾。到目前為止，已有相當(dāng)?shù)奈墨I(xiàn)已經(jīng)分別研究了上述兩種情況對(duì)多個(gè)體系統(tǒng)一致性的影響，但是當(dāng)上述兩種情況共存時(shí)關(guān)于多個(gè)體系統(tǒng)的一致性研究尚未有系統(tǒng)性結(jié)論。因次，對(duì)測量噪聲和通信時(shí)延共存時(shí)的多個(gè)體系統(tǒng)一致性問題進(jìn)行研究，既具有極強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，也非常必要。

文獻(xiàn)[1]研究了具有測量噪聲干擾的有向網(wǎng)絡(luò)多個(gè)體系統(tǒng)的魯棒一致性，通過構(gòu)造一個(gè)廣義二次李雅普諾夫函數(shù)來分析收斂性，證明所有個(gè)體在隨機(jī)逼近一致性算法的作用下達(dá)到均方一致性。然而沒有考慮個(gè)體信息交換過程中出現(xiàn)時(shí)延的情況。文獻(xiàn)[2]研究了具有測量噪聲和通信時(shí)延的無向網(wǎng)絡(luò)多個(gè)體系統(tǒng)的魯棒一致性并分析了收斂速率。文中通過選用一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性回歸函數(shù)，使得具有有限時(shí)延的多個(gè)體系統(tǒng)達(dá)到漸近一致性。此外還證明了收斂速率和步長的關(guān)系，得到收斂速率僅僅和步長有關(guān)而與時(shí)延無關(guān)的結(jié)論。但是此結(jié)論僅對(duì)無向網(wǎng)絡(luò)成立，從而限制其應(yīng)用范圍并可能會(huì)在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)帶來算法執(zhí)行方面的問題。

本文在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上研究了測量噪聲和時(shí)延共存時(shí)多個(gè)體系統(tǒng)的一致性。和文獻(xiàn)[1]的方法類似，在隨機(jī)逼近一致性算法的作用下，通過降低控制增益使每個(gè)個(gè)體減少分配給其鄰居個(gè)體相應(yīng)邊的權(quán)重，從而達(dá)到抑制測量噪聲的目的。與文獻(xiàn)[2]不同的是，本文研究了更一般的有向網(wǎng)絡(luò)多個(gè)體系統(tǒng)的魯棒一致性問題，并主要通過不等式放縮和數(shù)學(xué)歸納法分析了閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性，而文獻(xiàn)[2]通過對(duì)稱矩陣對(duì)角化技術(shù)和無向圖的拉普拉斯矩陣相關(guān)性質(zhì)來分析閉環(huán)系統(tǒng)的一致收斂性，這種分析方法對(duì)一般的有向網(wǎng)絡(luò)不再適用。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

通常，多個(gè)體間的通信網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以用有向圖G=（v，ε，W）來表示，其中v表示通信網(wǎng)絡(luò)中個(gè)體或節(jié)點(diǎn)數(shù)，ε={eij=（i，j）|i，j∈v}表示邊集，W=（wij）∈RN×N表示與有向網(wǎng)絡(luò)相對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣，有向邊eji∈ε表示個(gè)體或節(jié)點(diǎn)i可以獲得個(gè)體j的信息，這時(shí)個(gè)體j稱為個(gè)體i的入度鄰居，此時(shí)的有向邊（j，i）的邊權(quán)wij>0，否則wij=0。若有向圖G中的有序節(jié)點(diǎn)序列（i1，i2，…，ir）滿足eij，ij+1∈ε，j∈{1，…，r-1}，則稱這個(gè)有序節(jié)點(diǎn)序列（i1，i2，…，ir）為有向圖G中的一條有向路徑。如果有向圖G中的任意兩個(gè)不同節(jié)點(diǎn)i和j之間都存在一條有向路徑，則稱圖G是強(qiáng)連通的[3]。本文假定所有個(gè)體具有自環(huán)，亦即eii∈ε（i∈v）表示第i個(gè)個(gè)體可以獲得其自身信息，這意味著wii>0。如果圖G中任意節(jié)點(diǎn)i的入度和出度都相等，亦即對(duì)所有i∈ν成立，∑Nj=1wij=∑Nj=1wji，則稱圖G為平衡圖。若W中的元素wij≥0，同時(shí)還滿足W1=1，1=（1，1，…，1）T，則W是隨機(jī)矩陣。此外如果W是隨機(jī)矩陣且成立1TW=1T，那么W稱為雙隨機(jī)矩陣。此時(shí)所對(duì)應(yīng)的有向圖為平衡圖，這意味著網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)具有相同的重要性。

2 問題描述

考慮具有N個(gè)體的多個(gè)體系統(tǒng)，其中個(gè)體i具有如下一階動(dòng)力學(xué)方程

由于個(gè)體間信息交換通常受到測量噪聲和通信時(shí)延的影響，個(gè)體i接收到個(gè)體j的信息為

式中：ξji（k-τ）為k時(shí)刻個(gè)體i接收到的時(shí)延測量噪聲； xj（k-τ）為個(gè)體i在k時(shí)刻接收到個(gè)體j在k-τ時(shí)刻的狀態(tài)；τ為通信時(shí)延。

現(xiàn)對(duì)個(gè)體i在k時(shí)刻設(shè)計(jì)如下的隨機(jī)逼近一致性控制輸入為

3 主要結(jié)論

為證式（6）的一致收斂性，現(xiàn)給出下面引理。

引理1[7] 如果下列條件成立：

4 仿真結(jié)果

下面用一個(gè)簡單的例子來驗(yàn)證本文的主要結(jié)論。設(shè)有3個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向非平衡網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。

5 結(jié)束語

針對(duì)基于有界通信時(shí)延和測量噪聲的多個(gè)體系統(tǒng)，本文提出一種隨機(jī)逼近一致性算法并分析了閉環(huán)系統(tǒng)的的一致收斂性。 通過構(gòu)造了一個(gè)適當(dāng)?shù)木€性回歸函數(shù)，證明所有個(gè)體狀態(tài)最終收斂到一個(gè)隨機(jī)變量，從而實(shí)現(xiàn)均方一致性，最后用仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文理論分析。但仍有許多問題需要進(jìn)一步研究，下一步將考慮控制增益和收斂速度的關(guān)系，以及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q情形時(shí)的魯棒一致收斂性問題。

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（責(zé)任編輯：何學(xué)華）