含可調(diào)參數(shù)的保單調(diào)有理樣條插值

劉永春 王強(qiáng) 彭豐斌

摘要：為了使有理插值樣條在計(jì)算機(jī)圖形和CAD領(lǐng)域有更靈活的應(yīng)用，構(gòu)造了帶有可調(diào)參數(shù)的的二次有理樣條函數(shù)（2/2型），并給出了詳細(xì)的構(gòu)造方法。該函數(shù)可通過(guò)選取適當(dāng)?shù)男螤顓?shù)使得曲線(xiàn)具有保形性?？梢酝ㄟ^(guò)調(diào)整參數(shù)交互式的修改插值曲線(xiàn)的形狀，以得到滿(mǎn)意的曲線(xiàn)，并證明了此類(lèi)插值函數(shù)的保單調(diào)性和給出了其誤差分析。最后通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)例，說(shuō)明了它較穩(wěn)定和保單調(diào)的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：有理樣條；參數(shù)；保單調(diào)

中圖分類(lèi)號(hào)：O241.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A[WT]文章編號(hào)：1672-1098（2014）02-0075-04

有理插值在逼近理論中有著重要的作用，Hermite插值是其中典型的方法。然而生成的曲線(xiàn)雖然具有較好的光滑性，但容易產(chǎn)生不必要的震蕩，并且有時(shí)還會(huì)破壞原函數(shù)的單調(diào)性[1-2]。所以本文詳細(xì)敘述構(gòu)造一個(gè)分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)（即2/2型）的過(guò)程，它具有非常好的保單調(diào)性并得以驗(yàn)證，而且是含有可調(diào)參數(shù)的。因?yàn)橥ǔ５挠欣聿逯禈訔l， 初始條件一旦確定， 曲線(xiàn)的形狀也就隨之固定了。帶有可調(diào)參數(shù)的有理插值樣條， 可以通過(guò)調(diào)整相應(yīng)子區(qū)間上的可調(diào)參數(shù)， 從而對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行局部的調(diào)整。用含參數(shù)分段有理函數(shù)進(jìn)行插值可解決穩(wěn)定性和保單調(diào)性問(wèn)題。

1 有理插值函數(shù)的構(gòu)造

2 插值函數(shù)的保單調(diào)性

1. 2/2型的分段有理插值曲線(xiàn)；

數(shù)據(jù)二下兩種插值曲線(xiàn)的比較通過(guò)圖1～圖2可知，能明顯看出來(lái)二次多項(xiàng)式插值曲線(xiàn)雖然有良好的光滑性，但是破壞了原數(shù)據(jù)單調(diào)的性質(zhì)，并且圖1中二次多項(xiàng)式插值曲線(xiàn)有明顯的震蕩，不穩(wěn)定。而本文所構(gòu)造的2/2型的分段有理插值曲線(xiàn)則同原數(shù)據(jù)有著一致的單調(diào)性，并且曲線(xiàn)變化穩(wěn)定，因此通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)更有力地說(shuō)明了其穩(wěn)定性和保單調(diào)性的特點(diǎn)。5

小結(jié)針對(duì)Hermite插值的不穩(wěn)定性，構(gòu)造了分母分子均為二次的分段有理插值函數(shù)（即2/2型），數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此有理插值的保單調(diào)性，而且適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)可調(diào)參數(shù)，可以達(dá)到曲線(xiàn)的保形性。不過(guò)此插值卻不能達(dá)到C1連續(xù)， 若為了解決此問(wèn)題， 可以在Δi=0的區(qū)間上， 按照Hermite插值供述構(gòu)造Si（x），但是后者所定義的S（x）卻會(huì)失去了保單調(diào)性。所以，本文所構(gòu)造的插值還有許多不足，需要繼續(xù)改進(jìn)。

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（責(zé)任編輯：何學(xué)華）