時(shí)間模糊開(kāi)關(guān)控制的自旋系統(tǒng)Lyapunov控制

(杭州電子科技大學(xué)，浙江 杭州310018)

0 引 言

近年來(lái)，量子計(jì)算的研究越來(lái)越廣泛[1]。結(jié)合量子計(jì)算與模糊規(guī)則，對(duì)量子不確定性的研究構(gòu)成了量子控制研究的一個(gè)新的分支[2]。量子力學(xué)主要考慮在n維希爾伯特空間中特定領(lǐng)域內(nèi)的粒子，而模糊規(guī)則主要處理Rn空間特定子空間的一系列變量[3]。因此，可以考慮應(yīng)用模糊規(guī)則與模糊計(jì)算來(lái)進(jìn)一步研究量子計(jì)算。量子計(jì)算的模糊控制具有類似Bang-bang控制的開(kāi)關(guān)特性，所涉及的問(wèn)題將不包括量子計(jì)算機(jī)的物理實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。對(duì)量子計(jì)算的興趣主要集中在機(jī)器學(xué)習(xí)的角度而不是物理角度。在物理學(xué)上關(guān)于量子力學(xué)特有的一些性質(zhì)在本文中暫先不以考慮，考慮的自旋粒子不是選擇性地可激發(fā)的。本文從控制理論的角度出發(fā)討論了自旋1/2系統(tǒng)的模糊控制問(wèn)題。通過(guò)量子態(tài)的軌跡誤差分析和量子克隆，得到的量子態(tài)信息反饋到被控量子系統(tǒng)中。反饋控制的目的是讓量子態(tài)從給定初態(tài)到達(dá)目標(biāo)態(tài)。

1 問(wèn)題的提出

主要研究自旋1/2系統(tǒng)的狀態(tài)控制問(wèn)題，描述系統(tǒng)的方程為薛定諤方程:

3)如果在當(dāng)前時(shí)刻sgn(ekek-1)的符號(hào)改變，則在下一時(shí)刻應(yīng)減少控制差Δu。

研究目標(biāo)為對(duì)一個(gè)自旋1/2系統(tǒng)，找到一個(gè)模糊開(kāi)關(guān)控制器，使得該純態(tài)量子系統(tǒng)從一個(gè)給定初態(tài)到達(dá)目標(biāo)態(tài)。

2 控制器設(shè)計(jì)

對(duì)一個(gè)自旋1/2系統(tǒng)的控制可通過(guò)改變其所在空間的電磁場(chǎng)在x軸，y軸和z軸的強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文所設(shè)計(jì)的控制律保持或改變當(dāng)前的控制行為可以通過(guò)增加或減少該時(shí)刻電磁場(chǎng)的強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果把可行的控制域構(gòu)成的閉包劃分成n個(gè)模糊子集U(i)，其相對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)之和1。當(dāng)前時(shí)刻電磁場(chǎng)的增加或減少表現(xiàn)為控制u 應(yīng)遵守以下n-1條模糊規(guī)則:IF U(k)is U(1)THEN U(k+1)is U(2);IF U(k)is U(2)THEN U(k+1)is U(3);……;IF U(k)is U(n-1)THEN U(k+1)is U(n)或者IF U(k)is U(2)THEN U(k+1)is U(1);IF U(k)is U(3)THEN U(k+1)is U(2);……;IF U(k)is U(n)THEN U(k+1)is U(n-1)。當(dāng)sgn(ek-1)＜0，sgn(ek)＞0 或sgn(ek-1)＞0，sgn(ek)＜0時(shí)，由零點(diǎn)定理可知控制u(*)在區(qū)間[u(k-1)，u(k)]內(nèi)，此時(shí)對(duì)[u(k-1)，u(k)]做n 等分，相應(yīng)的劃分小區(qū)間用U(1)，U(2)，…，U(n)表示。為滿足以上分析的條件1 ～3，在第k步選取控制律u(k)滿足:

其中開(kāi)關(guān)增益λ 隨著不同的分析結(jié)果做適當(dāng)調(diào)整。量子測(cè)量可使被測(cè)對(duì)象以概率ci向其特征態(tài)塌縮[4]，量子測(cè)量對(duì)被測(cè)對(duì)象的影響和破壞是研究量子控制的一個(gè)瓶頸。采用量子克隆的思想，在對(duì)自旋1/2系統(tǒng)的量子態(tài)進(jìn)行控制后，把控制后的量子態(tài)進(jìn)行復(fù)制并測(cè)量，再與目標(biāo)態(tài)進(jìn)行比較?？傮w的控制算法為:

2)通過(guò)IF-THEN 規(guī)則，利用模糊開(kāi)關(guān)控制式對(duì)所研究的自旋1/2系統(tǒng)的量子態(tài)進(jìn)行控制;

在實(shí)際操縱中，量子系統(tǒng)中存在著不可避免的不確定性因素，而這些不確定的因素?zé)o法通過(guò)一些常規(guī)的控制算法來(lái)解決，如最優(yōu)控制，反饋控制等。近年來(lái)，越來(lái)越多的研究致力于通過(guò)模糊控制算法對(duì)量子系統(tǒng)的量子態(tài)進(jìn)行控制，將模糊控制應(yīng)用與量子系統(tǒng)控制可以在一定程度上有效地解決量子系統(tǒng)控制中由不確定因素引起的問(wèn)題[4-6]。本文的創(chuàng)新之處在于在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，對(duì)自旋1/2系統(tǒng)提出了一個(gè)具體特殊的模糊開(kāi)關(guān)控制算法。

3 數(shù)值實(shí)例

考慮僅有一個(gè)控制作用的自旋1/2系統(tǒng)，設(shè)控制作用u(t)僅在y軸方向上改變電磁場(chǎng)，且選取自旋為σz表象，于是系統(tǒng)的薛定諤方程為:

本文對(duì)量子系統(tǒng)的控制可以看作一組離散事件，由式(2)可知第k步所選取的控制u1k滿足即其中Δu為±λ 或λ 由IF-THEN 規(guī)則1 ～6 決定。將控制集合U 劃分為n個(gè)控制子集U(1)，U(2)，…，U(n)。當(dāng)Δu為正時(shí)，在下一微小的時(shí)間段內(nèi)增大控制集的下指標(biāo);當(dāng)Δu為負(fù)時(shí)，在下一微小的時(shí)間段內(nèi)減少控制集的下指標(biāo);當(dāng)Δu為零時(shí)，選取下一微小的時(shí)間段內(nèi)保持當(dāng)前的控制行為。對(duì)每步控制后的量子態(tài)進(jìn)行量子克隆，再對(duì)克隆得到的量子態(tài)進(jìn)行復(fù)制。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了在Lyapunov 穩(wěn)定性理論下構(gòu)造純態(tài)量子系統(tǒng)的觀測(cè)算子以提高量子狀態(tài)演化的速度，所需解決的問(wèn)題是一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在改進(jìn)后的Bang-bang控制下所需的狀態(tài)演化時(shí)間有所減少。此外，所提及的Bang-bang控制在實(shí)驗(yàn)仿真時(shí)具有較強(qiáng)的可操作性。對(duì)量子系統(tǒng)的控制是一組離散事件，相關(guān)思想可推廣到對(duì)量子混合態(tài)的控制中。

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