改進(jìn)的Tent映射及其動(dòng)力學(xué)特性研究

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

在非線性科學(xué)中，混沌以及混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)是近代重要成就之一。混沌所具有的隨機(jī)特性可用以產(chǎn)生偽隨機(jī)序列從而應(yīng)用于保密通信和信息加密之中。Tent映射(帳篷映射)是一個(gè)算法簡單但序列復(fù)雜的離散映射，用其產(chǎn)生偽隨機(jī)序列具有運(yùn)算速度快、序列分布均勻的優(yōu)勢[1]。因此，Tent映射在混沌保密通信和混沌密碼設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。但帳篷映射存在參數(shù)少、映射范圍小等缺陷，將直接導(dǎo)致產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列密鑰空間小，安全性變差[4-5]。為此，本文對原始的Tent映射做了改進(jìn)。改進(jìn)后的Tent映射增加了兩個(gè)參數(shù)，除保留其分布均勻的優(yōu)勢外，參數(shù)空間和映射范圍都得了明顯的擴(kuò)展。

1 Tent映射

Tent映射，如下所示:

式中，x(n)∈(0，1)，u∈(0，2)，當(dāng)u ＞1時(shí)，系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)，其分叉圖如圖1所示。其滿映射區(qū)間以及參數(shù)u的范圍都比較小，導(dǎo)致由此映射產(chǎn)生的序列密鑰空間也會(huì)比較小[6]。

圖1 Tent映射分叉圖

2 改進(jìn)的Tent映射

為了增加參數(shù)和擴(kuò)展?jié)M映射范圍，對Tent映射改進(jìn)如下:

式中，x(n)∈(0，a)，u1∈(0，2)，u2∈(0，2)，a ∈R。雖然只增加了幾個(gè)參數(shù)，但改進(jìn)的Tent映射卻增加了復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。式(2)中的a 被稱之為幅度參數(shù)，因?yàn)闈M映射的幅度即最大的映射范圍與a 有關(guān)。尤其當(dāng)u1=u2=2時(shí)，滿映射幅度a的分叉圖如圖2(a)所示，不但滿映射幅度隨參數(shù)a 比例增加而增加，且隨a的變化過程中，映射始終是混沌的。如果以a 作為密鑰參數(shù)，理論上該參數(shù)對應(yīng)的密鑰空間趨于無窮，即a∈(0，∞)。保持參數(shù)a、u2為固定值，觀察映射隨參數(shù)u1變化的分叉情況。仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)u1＞1時(shí)映射是混沌的，當(dāng)u1=2時(shí)為滿映射，滿映射幅度為a，出現(xiàn)混沌的u1參數(shù)區(qū)間為u1∈(1，2)。圖2(b)為u2=2、a=3時(shí)的分叉圖。保持參數(shù)a、u1為固定值，觀察映射隨參數(shù)u2變化的分叉情況。仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)u2＞1時(shí)映射是混沌的，混沌映射的大小隨u2的增加而減小，但其混沌映射區(qū)間則維持不變，映射區(qū)間長度為a，出現(xiàn)混沌的u2參數(shù)區(qū)間為u2∈(1，2)。圖2(c)為u1=2、a =4時(shí)的分叉圖。保持參數(shù)a為固定值，當(dāng)u1=u2=u，a =4時(shí)，觀察映射隨參數(shù)u 變化的分叉情況。此時(shí)除滿映射幅度等于a 外，其分叉情況與原始的Tent映射相同，只是滿映射的幅度不同，如圖2(d)所示。

圖2 改進(jìn)型Tent映射分叉圖

Tent映射最大優(yōu)點(diǎn)是具有良好的隨機(jī)特性，其迭代值近似均勻分布，圖3是Tent映射在滿映射區(qū)間[0，1]的分布柱狀圖，u=2.0，x(0)=0.01，把0 1 均勻分為50 等份，均勻特性如圖3(a)所示。表1為映射在這些區(qū)間分布次數(shù)的具體值，計(jì)算得到的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為S =93.48。圖3(b)為改進(jìn)的Tent映射當(dāng)u1=u2=2.0，a=16時(shí)，在滿映射區(qū)間[0，16]的分布柱狀圖，表2為映射在這些區(qū)間分布次數(shù)的具體值，計(jì)算得到的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為S=115.31。

圖3 映射分布柱狀圖

表1 帳篷映射迭代50萬次后，迭代值分布具體數(shù)據(jù)與方差

表2 幅度改進(jìn)型帳篷映射(a=16) 迭代50萬次后，迭代值分布具體數(shù)據(jù)與方差

比較得知，改進(jìn)后的映射分布保持了原來的均勻特性，能夠使迭代值更加均勻的分布在一個(gè)更大的范圍內(nèi)。如果使用此改進(jìn)映射產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行加密，能夠使得整個(gè)系統(tǒng)的密鑰空間更大，具有更好的安全性。

美國國家技術(shù)與標(biāo)準(zhǔn)局推出的測試程序包(Statistical Test Suite)是目前對為隨機(jī)序列性能測試工具中最具有權(quán)威的一種。本文采用sts2.1.1 測試軟件包對改進(jìn)Tent映射的數(shù)字序列進(jìn)行了測試，該軟件包含16 項(xiàng)測試[7]，其中有15 項(xiàng)是對偽隨機(jī)序列性能進(jìn)行測試的指標(biāo)，測試結(jié)果如表3所示。測試是在4×107bit數(shù)據(jù)下進(jìn)行的，分2 000組，每組20 000 bit數(shù)據(jù)。

表3 STS 測試結(jié)果報(bào)告

從通過率來看，只有通用統(tǒng)計(jì)測試沒有通過，其它測試項(xiàng)都通過了測試，從均勻性來看，也只有通用統(tǒng)計(jì)測試沒有通過，其余項(xiàng)的均勻性都較為良好。總體來說，改進(jìn)前后映射產(chǎn)生的序列性能都比較良好，能夠使用這些映射產(chǎn)生為隨機(jī)序列運(yùn)用到實(shí)際加密當(dāng)中。

3 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一種新的改進(jìn)型Tent映射，通過分析、仿真以及各個(gè)參數(shù)的分叉圖等對它的一些基本性質(zhì)進(jìn)行了研究。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的Tent映射即保持了原始Tent映射產(chǎn)生偽隨機(jī)序列速度快、序列在映射區(qū)間內(nèi)分布均勻的優(yōu)點(diǎn)，又改善了原始Tent映射參數(shù)區(qū)間和滿映射區(qū)間小的缺點(diǎn)，增強(qiáng)了序列的隨機(jī)特性、擴(kuò)展了序列的密鑰空間。由于改進(jìn)型Tent映射具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為特性，因此改進(jìn)型Tent映射將能更好地應(yīng)用在混沌保密通信和混沌密碼設(shè)計(jì)中。

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