改進(jìn)Logistic映射的動(dòng)力學(xué)特性

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

混沌具有隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性，可用以產(chǎn)生性能良好的偽隨機(jī)序列，以替代傳統(tǒng)的偽隨機(jī)序列而應(yīng)用于密碼系統(tǒng)和保密通信等領(lǐng)域之中[1]。離散混沌由于其算法簡(jiǎn)單及處理時(shí)運(yùn)算速率快而在混沌應(yīng)用中得到了廣泛的研究[1-3]，其中Logistic映射是一個(gè)在理論和應(yīng)用上研究最早和應(yīng)用最多的一種離散映射，使其成為一種典型的偽隨機(jī)序列信號(hào)源。但Logistic映射只有一個(gè)初值和一個(gè)參數(shù)，且混沌參數(shù)范圍和滿映射區(qū)間都較小，致使其密鑰空間不大，序列安全性較低。雖然迄今大量文獻(xiàn)研究新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造[4-5]，或提出改進(jìn)的混沌系統(tǒng)，但大多研究系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，很少基于應(yīng)用背景深入研究如何提高擴(kuò)展混沌映射區(qū)間和參數(shù)范圍等。本文基于如何擴(kuò)展混沌映射區(qū)間和系統(tǒng)參數(shù)區(qū)間，提出了一個(gè)改進(jìn)的Logistic映射。對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性分析后發(fā)現(xiàn)，映射具有任意的參數(shù)區(qū)間、任意的混沌區(qū)間和任意的滿映射區(qū)間，一定條件下還會(huì)出現(xiàn)恒定混沌現(xiàn)象。

1 改進(jìn)的Logistic映射

Logistic映射有3種形式[5]，其動(dòng)力學(xué)特性相類似。本文研究如下形式的Logistic映射:

該映射數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，把其作為一個(gè)偽隨機(jī)信號(hào)源存在如下缺陷:式(1)只有一個(gè)參數(shù)，且映射參數(shù)區(qū)間較小，僅為μ∈[0，2]，其混沌區(qū)的參數(shù)區(qū)間更小，約為[1.4，2](包括其中的周期窗口)，導(dǎo)致其密鑰參數(shù)空間很小;滿映射區(qū)間較小，僅為I=[-1，1]，較小的映射區(qū)間在迭代過(guò)程中將使其數(shù)值變化率小，用其產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)時(shí)將導(dǎo)致序列碼率低，式(1)映射軌跡和分岔圖如圖1所示。

圖1 Logistic映射軌跡和分岔圖

為了探索更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，把式(1)改進(jìn)如下:

式中，b ＞0，b∈R。分析表明，xn∈[-b，b]，μ∈(0，2/b)，b∈(0，2/μ)。從式(1)看出，減小參數(shù)b可擴(kuò)展參數(shù)μ的范圍，增加參數(shù)b可增大滿映射的區(qū)間。

b=0.5時(shí)的分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜如圖2所示，改進(jìn)前后該映射的參數(shù)范圍由[0，2]擴(kuò)展到[0，4];混沌區(qū)間由[1.4，2]擴(kuò)展到[2.8，4]。b =2時(shí)的分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜如圖3所示，滿映射區(qū)間由[-1，1]擴(kuò)展到[-2，2]。

圖2 b=0.5時(shí)，改進(jìn)映射隨參數(shù)μ 變化的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

圖3 b=2時(shí)，改進(jìn)映射隨參數(shù)μ 變化的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

考察參數(shù)變化時(shí)映射的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。解不動(dòng)點(diǎn)方程x=b-μx2得其不動(dòng)點(diǎn):

不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性滿足:

不動(dòng)點(diǎn)x2滿足在整個(gè)參數(shù)區(qū)間都是不穩(wěn)定的，故不討論。而平衡點(diǎn)x1滿足穩(wěn)定的條件為:

故得:

解得:

周期2 軌道穩(wěn)定條件為:

即:

在μ=5/(4b)時(shí)，又發(fā)生倍周期分岔，如此演化最終在1.401/b 后周期趨于無(wú)窮大，進(jìn)入混沌狀態(tài)，其混沌映射區(qū)間IC近似為:

例如，當(dāng)b =0.5時(shí)，周期2 處的分岔參數(shù)為μ =3/(4b)=1.5，周期4 處的分岔參數(shù)為μ =5/(4b)=2.5，擬周期參數(shù)為1.401/b=2.802，混沌區(qū)間為IC=0.599/b，這些理論分岔參數(shù)都在圖4(a)的分岔圖中得到了驗(yàn)證。

圖4 改進(jìn)的Logistic映射的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

另一種最有意義的分岔規(guī)律是，當(dāng)滿足μ =2/b時(shí)，如圖4(b)所示，出現(xiàn)一種恒定混沌現(xiàn)象，其Lyapunov 指數(shù)隨著參數(shù)b的增加而略微增大，此種情況的混沌區(qū)間將趨于無(wú)窮大，這意味著有趨于無(wú)窮大的密鑰空間，這在實(shí)際應(yīng)用中將有重要的意義。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一種改進(jìn)的Logistic映射，該映射其滿映射區(qū)間和混沌區(qū)間都得到了有效擴(kuò)展，尤其在滿足一定條件下可出現(xiàn)恒定混沌現(xiàn)象，參數(shù)在任意大的正數(shù)區(qū)間變化時(shí)，該映射都保持一種混沌狀態(tài)，且Lyapunov是近似為恒量。用其作為信號(hào)源產(chǎn)生偽隨機(jī)序列時(shí)可獲得性能良好的序列和很大的密鑰空間，在偽隨機(jī)信號(hào)發(fā)生器的設(shè)計(jì)及其在保密通信和信息加密等需要偽隨機(jī)序列的領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。

[1]Narendra Singh，Aloka Sinha.Chaos-based secure communication system using logistic map[J].Optics and Lasers in Engineering，2010，48(3):398-404.

[2]Mamta Rani，Rashi Agarwal.A new experimental approach to study the stability of logistic map[J].Chaos，Solitons ＆Fractals，2009，41(4):2 062-2 066.

[3]Persohn K J，Povinelli R J.Analyzing logistic map pseudorandom number generators for periodicity induced by finite precision floating-point representation[J].Chaos，Solitons ＆ Fractals，2012，45(3):238-245.

[4]Thomas Curtright，Andrzej Veitia.Logistic map potentials[J].Physics Letters A，2011，375(3):276-282.

[5]Chen Shihliang，Hwang Tingting，Lim Wenwei.Randomness Enhancement Using Digitalized Modified Logistic Map[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II:Express Briefs，2010，57(12):996-1 000.