基于T-S模型的隨機雙線性系統的穩(wěn)定問題

(杭州電子科技大學，浙江 杭州310018)

0 引 言

雙線性系統介于線性系統和非線性系統之間，其動態(tài)要比非線性的簡單，并且雙線性系統比線性系統更好地逼近非線性系統，許多實際的物理過程不能夠用線性系統描述，但是可通過適當地建模，用雙線性系統表示。由于這兩個優(yōu)點，對雙線性系統的穩(wěn)定性分析和控制器設計顯得尤為重要。研究非線性系統比較有效的方法是T-S模型的模糊控制，在此方法上研究的成果[1-4]已有很多。文獻[1]首次提出了T-S 模糊雙線性系統。目前關于T-S 模糊隨機雙線性系統的研究成果并不多，因此在該文中，根據It^o 隨機穩(wěn)定性理論的相關知識，采用并行分布補償方法、Lyapunov 函數法等方法研究基于T-S模型的隨機雙線性系統的穩(wěn)定性問題。

1 系統描述

式中，x∈Rn是狀態(tài)向量，u∈R是控制輸入，ω(t)∈R是標準維納過程，Ai，Bi，Ci，Ni是已知的具有適當維數的實常數矩陣;r是If-Then 規(guī)則數，ξ(t)=(ξ1(t)，…，ξr(t))T是前提變量向量，Fi1，Fi2，…，是模糊集合。

由上述模糊規(guī)則描述的系統得到的模糊隨機雙線性系統為:

采用文獻[5]的設計概念，模糊控制器的描述為Control rule j:If ξ1(t)is Fj1，and…，and ξr(t)is Fj，

全局控制器可以表示為:

把式(3)帶入式(2)，得到的閉環(huán)系統方程為:

考慮定義在Rn上的隨機微分方程[6]:

引理1[6]若存在正定函數V(x，t)∈C2，1(Sh×[t0，∞);R+)是徑向無界、上下有界的，對所有的(x，t)∈Sh×[t0，∞)，如果那么隨機系統式(5)是大范圍隨機漸近穩(wěn)定的。

2 主要結果

那么閉環(huán)系統式(4)是大范圍隨機漸近穩(wěn)定的。

證明 考慮二次型的Lyapunov 函數V(x)=xTPx，其中P是滿足矩陣不等式(6)、式(7)的正定矩陣。顯然，V(x)是正定的且是徑向無界的。微分算子沿著式(4)的軌跡作用在函數V(x)上，則:

對于式(8)中的若干項應用不等式ATB+ABT＜γATA+γ-1BBT，得P(Ai+BiKiρcosθi+Niρsinθi)+

由此可得:

對式(7)采用Schur 補引理，結合式(8)中的另一些項，同理得:

3 數值實例

4 結束語

[1]Li T S，Tsai S H.T-S Fuzzy Bilinear Model and Fuzzy Controller Design for a Class of Nonlinear Systems[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(3):494-506.

[2]Dong J，Yang G H.State Feedback Control of Continuous-time T-S Fuzzy Systems via Switched Fuzzy Controllers[J].Information Sciences，2008，178(6):1 680-1 695.

[3]Zhou S S，Lam J，Zheng W X.Control Design for Fuzzy Systems Based on Relaxed Nonquadratic Stibility and H∞Performance Conditions[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15(2):188-199.

[4]Zhou S，Ren W Y，Lam J.Stabilization for T-S Model Based Uncertain Stochastic Systems[J].Information Sciences，2011，181(4):779-791.

[5]Chiou J S，Kung F C，Li T S.Robust Stabilization of a Class of Singularly Perturbed Discrete Bilinear Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45(6):1 187-1 191.

[6]Mao X.Stochastic Differential Equations and Applications[M].Chichester:Horwood Pubication，1997:107-146.