波利亞解題表在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解題中的應(yīng)用

黃兆芹

江蘇省泰州市姜堰區(qū)里華初級中學(xué)

中考是人生中的第一次挑戰(zhàn)，解題是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中最重要的活動(dòng)形式之一，因此提高學(xué)生分析和解決問題的能力可以說是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)。喬治.波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家，他是解題方法論的鼻祖。波利亞主張數(shù)學(xué)教育的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問題的能力，教會(huì)學(xué)生思考。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的過程應(yīng)包括四大步驟：“弄清題意”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”。為了解決一個(gè)問題，首先我們必須了解問題，弄清楚要求什么；其次，我們必須了解各個(gè)量之間有怎樣的聯(lián)系，未知數(shù)和已知數(shù)之間有什么關(guān)系，為了得到解題的思路，應(yīng)該制定一個(gè)計(jì)劃；再次，實(shí)現(xiàn)我們的計(jì)劃，檢驗(yàn)每一個(gè)步驟；最后，驗(yàn)算所得到的解，并將結(jié)果和方法試著用于其他問題。[1]

下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例。

例：如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，且直線DC的解析式為y=x+3

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACPB的面積最大值。

講解：第一，弄清問題

問題1.你要求解的是什么？

問題2.有哪些已知條件？

本題需要求解的（1）二次函數(shù)的解析式（2）四邊形ACPB的面積最大值。已知二次函數(shù)的一般式，其中有兩個(gè)待定系數(shù)b、c，直線的解析式，P是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)這些條件。

在例21中，作者以權(quán)威機(jī)構(gòu)的數(shù)據(jù)來支持自己的立場觀點(diǎn)；同樣，在例22中，說話者以一個(gè)具體的調(diào)查來質(zhì)疑“一帶一路”倡議，一方面增加其立場態(tài)度的可信度，另一方面壓縮其他觀點(diǎn)的可能性。

弄清問題階段，就是教會(huì)學(xué)生形成正確的審題方法。審清題目中的文字?jǐn)⑹觯阂阎鞘裁?？未知是什么？已知條件是什么？未知條件是什么？滿足條件是否可能？比如有的數(shù)學(xué)問題的給出是以數(shù)學(xué)語言直接給出，這時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生借助圖像、圖表將題目中的條件之間的關(guān)系表示出來。對于幾何證明題，我們可以將已知條件標(biāo)注在圖中，這樣就一目了然了。

第二，擬定計(jì)劃

問題3.怎樣求出？

分析：要求二次函數(shù)的解析式，已知二次函數(shù)的一般式，其中有兩個(gè)待定系數(shù)b、c，就需要已知拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)。題中標(biāo)出A、B、C、D，沒有哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的，但是我們知道C、D兩點(diǎn)比較特殊，它們既在拋物線上，同時(shí)也在直線CD上，具有雙重身份，且C為直線DC：y=x+3與y軸的交點(diǎn)，因此可以很快求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，C（0,3），代入拋物線就可以求出c，只剩下一個(gè)待定的系數(shù)b。D點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，就可以將頂點(diǎn)坐標(biāo)D用還有b的代數(shù)式表示出來，再代入直線CD，求出b，從而二次函數(shù)的解析式就求出來了。

要求四邊形ACPB的面積最大值，A、B、C三點(diǎn)是固定的，則四邊形ACPB的面積取決于P點(diǎn)坐標(biāo)的確定。S四邊形ACPB=S△ABC+S△BCP,△ABC的面積是固定的，△BCP的面積是變化的，但是可將不變的BC看作底邊，實(shí)際上求四邊形ACPB的面積最大值，就是求△BCP的面積的最大值，就是求BC邊上的高的最大值，就是過拋物線上的點(diǎn)P作BC的垂線段，求垂線段的最大值，則當(dāng)與BC平行的直線與拋物線相切時(shí)，過P點(diǎn)的垂線段最大。可以先求出BC的直線方程，設(shè)與BC平行的直線，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線解析式，從而求出此時(shí)的高，問題解決了。

擬定計(jì)劃階段，實(shí)際上是充分暴露思維過程的階段。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行分析、歸納，指導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題常見的一些策略：以退求進(jìn)、問題轉(zhuǎn)化、模式識別等。

至此，我們在已知和未知之間建立了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通。

第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（解題過程）

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃階段，要求學(xué)生規(guī)范運(yùn)算過程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、一絲不茍的品質(zhì)。

第四，回顧

①正面驗(yàn)證每一步推理是合理的、有效的，計(jì)算是精確的。

②還能用其他方法得到這個(gè)結(jié)果嗎？條條大道通羅馬，萬事不是絕對的，我們應(yīng)該在信念上堅(jiān)信每道題目都是有多種解法的，那么，本例有沒有其他解法呢？有，下面是本例的另兩解。

解法二：

（1） 能將本例的方法運(yùn)用于其他的問題嗎？能！

例：如圖，直角梯形 ABCD 中，AD//BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4，以AB為直徑作⊙0，點(diǎn)P在梯形內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，則△CPD的最小面積是_________。在這里我們也運(yùn)用了在“變中尋求不變量”的思想。

可見，這是本題解決問題的“泉眼”，勤于分析已知條件，對于培養(yǎng)解數(shù)學(xué)題的“靈感”是非常有必要的。

回顧階段，善于一題多變及多題不變（在變中尋求不變量）提高學(xué)生的解題能力?；仡欕A段，實(shí)際上就是反思階段。我們不僅要反思審題過程，特別對那些有過反復(fù)曲折過程的問題進(jìn)行反思，而且要反思解題的思路，特別做完一道題后，應(yīng)認(rèn)真分析解題過程有沒有思維回路，哪些過程可以合并或轉(zhuǎn)換，還有沒有更好的解題途徑。有時(shí)我們還需反思題目的結(jié)論，能否從其它角度重新審視題目，將問題的結(jié)論進(jìn)行推廣。

波利亞也曾說過：在你找到第一個(gè)蘑菇時(shí)，繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇。在問題解決后，我們不妨“回頭看看”，可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一題多解、一題多變、多題尋求不變。注意數(shù)學(xué)的思想和方法的總結(jié)、提煉和升華，進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維、優(yōu)化解題過程。只要我們平時(shí)多采用波利亞的解題理論多分析，就能提高學(xué)生的自我意識、自我評價(jià)，提高學(xué)生的獨(dú)立分析問題和解決能力的能力，從而能在中考中考出自己的水平。

[1][美]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.