在“問(wèn)題探究”中激活思維

陳鳳霞

新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，而應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。因此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)充分挖掘教材中的問(wèn)題背景，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新的時(shí)間與空間，從而有效培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

下面是“問(wèn)題引導(dǎo)式”教學(xué)設(shè)計(jì)下的以“圓周角”為背景的一堂教學(xué)實(shí)錄，意在嘗試如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)與探究性活動(dòng)。

一、設(shè)計(jì)理念

建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)。讓學(xué)生親身經(jīng)歷幾何定理概念的探究過(guò)程才能真正做到有意義的主動(dòng)建構(gòu)。在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲望，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，主動(dòng)獲取知識(shí)，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探索、交流中要學(xué)數(shù)學(xué)、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)和樂(lè)學(xué)數(shù)學(xué)，力求體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的指導(dǎo)思想。

“引導(dǎo)—探究—發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，是指依據(jù)教師或教材所提供的材料和問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生自己積極主動(dòng)的思維活動(dòng)，親自探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的概念、定理、公式和解題方法等的教學(xué)模式。本堂課采用了以下模式：提出問(wèn)題—引導(dǎo)作圖、討論、試行概括，形成假說(shuō)（提出各種可能性）—驗(yàn)證假說(shuō)探究（得出肯定或否定的結(jié)果）—發(fā)現(xiàn)規(guī)律性結(jié)論（概念、定理、公式、法則）—重點(diǎn)研討—練習(xí)應(yīng)用及時(shí)反饋—評(píng)價(jià)總結(jié)。這一模式讓學(xué)生以研究者的方式參與全過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，營(yíng)造寬松愉悅、和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)過(guò)程

1.設(shè)疑，作圖，激活思維。

師：前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了圓心角，什么樣的角叫圓心角？你能畫(huà)圖說(shuō)明嗎？

生：頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角。如圖：

師：請(qǐng)大家畫(huà)圖并觀察，思考問(wèn)題。

問(wèn)題1：在⊙O中畫(huà)圓心角∠AOB。

當(dāng)∠AOB的頂點(diǎn)O在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系會(huì)產(chǎn)生哪幾種情況？請(qǐng)你畫(huà)出圖加以說(shuō)明。

生：角的頂點(diǎn)O可以在四個(gè)位置：圓外、圓內(nèi)（除圓心）、圓上、在圓心。

問(wèn)題2：當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)在圓上，這個(gè)角的兩邊與圓的位置關(guān)系又會(huì)產(chǎn)生哪幾種情況？請(qǐng)你畫(huà)出圖加以說(shuō)明。

生：當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓上時(shí)，角的兩邊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與圓有三種位置關(guān)系：角的兩邊都與圓相交、角的一邊都與圓相交、角的兩邊都與圓不相交。

【評(píng)】問(wèn)題1啟發(fā)學(xué)生辨別角的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系，認(rèn)清角的頂點(diǎn)的位置，問(wèn)題2則是辨別當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓上時(shí)角的兩邊和圓的關(guān)系，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線段的運(yùn)動(dòng)建立起圓周角的模型，為圓周角的定義做好鋪墊，使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念。

2.歸納，同化定義。

師：幾何中把你們?cè)趩?wèn)題2中所畫(huà)出的滿(mǎn)足第一種角的條件的角叫做圓周角。你能類(lèi)比圓心角把圓周角的定義總結(jié)一下嗎？

生：頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊都與圓相交的角是圓周角。

師：那圓心角與圓周角間有什么區(qū)別呢？

生1：圓心的位置不同。

生2：還要滿(mǎn)足角的兩邊都與圓相交。

師：總結(jié)得很好！請(qǐng)找出你剛才在問(wèn)題1與問(wèn)題2中所畫(huà)的角中的圓周角，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)它。

【評(píng)】由學(xué)生總結(jié)定義比老師直接給出定義更直觀，學(xué)生對(duì)概念的理解會(huì)更深刻。通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生親身體驗(yàn)概念的形成。

3.討論，合作探究。

問(wèn)題3：如圖，畫(huà)出所對(duì)的圓心角和圓周角，BC所對(duì)的圓心角有幾個(gè)？圓周角有幾個(gè)？用量角器量出圓心角的度數(shù)，再量出所畫(huà)各圓周角的度數(shù)。你能發(fā)現(xiàn)什么？

（學(xué)生自己作圖，觀察、測(cè)量。）

（小組合作探究，與別的同學(xué)比較畫(huà)出的圓心角與圓周角，發(fā)現(xiàn)不同，考慮并分析正確性。開(kāi)始時(shí)有的同學(xué)覺(jué)得別人的圓周角與自己的不一樣有所懷疑，經(jīng)過(guò)討論辨析發(fā)現(xiàn)都是正確的，從而弄清同一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)。）

師：根據(jù)作圖與測(cè)量，你們得出了哪些結(jié)論？

生1：BC弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而圓周角有很多。

生2：BC弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)我測(cè)量的結(jié)果都相等。

師：那其他同學(xué)的結(jié)果呢？

生：也是的。

師：另外有補(bǔ)充嗎？

（愣了一會(huì)兒）

生：我發(fā)現(xiàn)我所量出的BC弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍。

師：那其他同學(xué)有類(lèi)似結(jié)論嗎？

生（恍然大悟）：喔，我們也是呀！

師：你們得出了很多假設(shè)，他們正確與否呢？我們需要需要嚴(yán)密地推導(dǎo)，大家以小組為單位，對(duì)下面的問(wèn)題互相討論，并嘗試驗(yàn)證它們的正確性。

（學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，躍躍欲試。）

問(wèn)題4：如圖，BC弧所對(duì)的圓心角∠BOC的度數(shù)為60°，延長(zhǎng)BO交⊙O于A，連接AC，則BC弧所對(duì)的圓周角∠BAC等于多少度？如果∠BOC的度數(shù)為m°，那么∠BAC等于多少度？

（學(xué)生思考并解題，得出結(jié)果后又提出疑問(wèn)：若BC弧所對(duì)的圓周角的一條邊不是直徑也會(huì)有這樣的結(jié)果嗎？）

結(jié)論：需要分類(lèi)驗(yàn)證。

生：（說(shuō)驗(yàn)證過(guò)程）略。

【評(píng)】注重學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”從特殊到一般，注重知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的思維。

師：通過(guò)驗(yàn)證大家知道了“一條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)”，但是對(duì)“一條弧所對(duì)的圓周角是否是圓心角的一半”存在不同意見(jiàn)，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們看下一個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題5：你能證明：“一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”嗎？

提示分析：為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，可將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心和圓周角的頂點(diǎn)。這時(shí)可能出現(xiàn)三種：①折痕是圓周角的一條邊，②折痕在圓周角內(nèi)部，③折痕在圓周角的外部。

（學(xué)生證明）

師：大家先得出圖1的特殊情況的證明方法，然后把后面的兩種一般情況通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化為第一種情況，用到了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，今后要注意這種方法的運(yùn)用。

師：同時(shí)要知道這種證明一個(gè)命題的方法叫做完全歸納法，完全歸納法是把要研究的某類(lèi)事物的所有情況，逐一加以討論，再進(jìn)行概括而得出一般性的結(jié)論。情況的分類(lèi)要正確，不能重復(fù)不能遺漏。

師：現(xiàn)在你們能總結(jié)一下剛才驗(yàn)證的結(jié)論嗎？

生：（1）一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半。

（2）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。

【評(píng)】注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，并及時(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)，使學(xué)生的獨(dú)立思考與合作探究相結(jié)合，注重學(xué)生的活動(dòng)空間與時(shí)間的把握。

問(wèn)題6：觀察圖中，∠C2，∠C3，∠C4的大小有什么關(guān)系？∠AC6B與∠AC7B呢？你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你會(huì)驗(yàn)證嗎？你會(huì)用文字語(yǔ)言歸納你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖

師：（歸納總結(jié)）略。

4.展示，反饋知識(shí)。

（學(xué)生練習(xí)）

三、教學(xué)反思

1.本節(jié)課學(xué)生的探究活動(dòng)比較多，教師既要全局把握，又要順其自然，千萬(wàn)不可拔苗助長(zhǎng)，為了后面多做幾道練習(xí)而人為主觀安排時(shí)間。用問(wèn)題引導(dǎo)探究符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因?yàn)閹缀我?guī)律（公式）的探究活動(dòng)本身既是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，又是對(duì)公式的識(shí)記過(guò)程，也可以提高他們應(yīng)用公式的技能。因此，不但不可以省，而且要充分挖掘，使不同層次的學(xué)生都有事情做且樂(lè)此不疲，更充分地參與其中，課堂氣氛和諧、融洽，體現(xiàn)了課堂的動(dòng)態(tài)平衡性。

2.在圓周角定理的探求過(guò)程中，學(xué)生表現(xiàn)出觀察角度的差異，有的學(xué)生只是側(cè)重觀察某個(gè)特殊位置，把它孤立地看，而不知道將一般位置聯(lián)系地看；有些學(xué)生則既觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的觀察力。教師要善于抓住這個(gè)契機(jī)，適當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維方式與解題方式指導(dǎo)，培養(yǎng)他們“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”的優(yōu)良觀察品質(zhì)。

3.數(shù)學(xué)課堂需要以一種生態(tài)的理念作支撐。要從生態(tài)化的角度對(duì)課堂進(jìn)行審視，用生態(tài)的和諧平衡、動(dòng)態(tài)生成的思想，指導(dǎo)課堂教學(xué)中教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置、教學(xué)內(nèi)容的選擇與編排、教與學(xué)方式方法的選擇與適應(yīng)、教學(xué)環(huán)境的創(chuàng)建等，力求營(yíng)造和諧的、動(dòng)態(tài)的、充滿(mǎn)生命力的、可持續(xù)性的教授知識(shí)、學(xué)習(xí)知識(shí)和交流知識(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生態(tài)環(huán)境。

4.整節(jié)課雖然設(shè)計(jì)了很多循序漸進(jìn)的問(wèn)題，力求用問(wèn)題引導(dǎo)探究，也嘗試用“生態(tài)學(xué)原理”的觀念指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，考慮了課堂生態(tài)環(huán)境的平衡。但“生態(tài)學(xué)原理”與“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”兩個(gè)概念的結(jié)合還是比較牽強(qiáng)。今后還需借用生態(tài)學(xué)中觀念與方法，分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)境中“教師、學(xué)生、教材、環(huán)境”等因素所具有的生態(tài)特性，探索適宜的教學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀，另外對(duì)教學(xué)評(píng)價(jià)的開(kāi)展也要進(jìn)行更具體的研究。